Определение числовых характеристик случайных величин

Министерство образования  и науки РФ

Новосибирский государственный  технический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по информатике

"Обработка экспериментальных  данных"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Факультет: ЛА  Преподаватель:

Группа: СД-81 Третьякова Н.В.

Студент: Исаев К.А.

Вариант: №7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск 2009

 

 

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………стр.

 

Задача №1. Определение числовых характеристик случайных величин……………..стр.

 

Задача №2. Методы обработки числовых данных……………………………………...стр.

 

Задача №3. Разложение функций в ряд Фурье………………………………………….стр.

 

Задача №4. Обработка экспериментальных данных ПЭ………………………………стр.

 

Заключение……………………………………………………………………………….стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение:

 

При создании новой техники и ее совершенствовании используется определенная методика. Она подразделяется на несколько частей. Одна из главных частей это стендовые прочностные испытания. При помощи их проверяются заданные характеристики на практике. Для получения точных данных и при минимальной затрате времени применяют  различные программы. В данном курсовом проекте рассматриваются некоторые из них:- определение числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, медиана, усеченное среднее, центр сгиба и полусумма экстремальных значений;

- обработка числовых данных с помощью метода линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу;

-разложение функции в  ряд Фурье;

- обработка экспериментальных  данных прочностного эксперимента:

аппроксимирование исследуемых  функций, разложения Фурье, Фурье –  Уолша, Фурье – Хаара при проведении испытаний авиаконструкций на прочность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК  СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Задание:

Вычислить следующие числовые оценки ряда из о случайных величин  ... : математическое ожидание, дисперсию, медиану, усеченное среднее, центр сгиба и полусумму экстремальных значений. Ряд из п случайных величин задавать одномерным массивом Х(п).

 

1. Задать одномерный массив  из 20 элементов -Х(20).

2. Число элементов массива п вводится с клавиатуры (для четного п = 20, для нечетного п — 19).

3. Проранжировать массив в порядке неубывания. Просчитать перечисленные выше числовые характеристики.

4.  Вывод всех промежуточных  и окончательных данных осуществляется на экране дисплея и на печатающем устройстве с предварительным созданием файла данных.

 

Введение:

I. В математической статистике и теории вероятностей для оценки математического ожидания (среднего значения) используется формула

   (1)

II. Дисперсия - эта мера рассеивания, т. е. отклонение от среднего. В статистическом понимании дисперсия

     (2)

есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин  от их среднего арифметического (1). Следующие  числовые характеристики можно определить, предварительно проранжировав массив, т. е. получив вариационный ряд.

Вариационный ряд - последовательность чисел, расположенная в порядке возрастания их величин. Для того чтобы расположить элементы одномерного массива в порядке неубывания, т. е. так, чтобы для всех элементов массива выполнялось бы условие (i = 1, 2, ..., n-1), можно воспользоваться следующим алгоритмом. Сначала из всех элементов Х,(i = 1, 2, ..., п) найти минимальный и его номер и затем переставить первый и минимальный элементы. Из оставшихся (n-1) элементов (i = 2, 3, ... n) найти минимальный и поменять его местами со вторым и т.д. Перестановка двух элементов массива, например, с номерами i и j выполняется следующим образом: некоторой промежуточной переменной А присваивается значение ,затем заменяем на a Xj присвоим значение А. Таким образом, получим вариационный ряд.

III. В математической статистике медиана вариационного ряда из n величин ... называется либо , если п нечетное и равное 2К+1, либо ( + ) /2 при п четном, равном 2К. В качестве оценки медианы по п независимым наблюдениям случайной величины X принимают медиану вариационного ряда  , ... , . Таким образом,

(3)

 

IV. Полусумма экстремальных значений определяется как

 

(4)

V. Усеченное среднее определяется как

   (5)

VI. Центр сгиба (квантильная оценка) есть

      (6)

где ]у[ - означает целую часть числа у.

 

Исходные данные

 

160.8 160. 161. 161.8 161.3 160.3 160.7 161.7 161.9 160.9

160.4 161.4 161.6 160.6 160.2 161.2 161.5 161.1 160.1 160.5

 

Алгоритм работы программы

1. Задать размеры массива X(N), N= 20.

2. Задать переменную N.

3. Ввести элементы массива X(N).

4.  Вычислить оценку  математического ожидания, используя  формулу (1).

5. Вычислить оценку дисперсии,  используя формулу (2).

6. Получить вариационный  ряд, проранжировав массив X(N) в порядке неубывания.

7.   Вывести на экран  и занести в файл данных  элементы вариационного ряда.

8. Вычислить оценку медианы  вариационного ряда для четного и нечетного N, используя формулу (3).

9. Вычислить квантильную оценку, усеченное среднее и полусумму экстремальных значений, используя формулы (4)-(6).

10. Вывести на экран  и занести в файл данных  все результаты вычислений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Программа на Fortran’e:

 

program zad_1

integer, parameter::n=19

integer i,j,k

real x(n), mo, disp, med, uscp, xd, xkb, s, a

open (1, file='z1.txt')

! Читаем исходные данные

read (1,*)x

a=0.2

! Вычисляем математические ожидания

mo=0

do i=1,n

mo=mo+x(i)

end do

mo=mo/n

!Вычисляем дисперсию

disp=0

do i=1,n

disp=disp+(x(i)-mo)**2

end do

disp=disp/n

!Ранжируем ряд

do j=1,n-1

S=x(j); k=j

do i=j+1,n

if (x(i)<=S) then

s=x(i); k=i

end if

end do

x(k)=x(j); x(j)=s

end do

!Вычисляем медиану

 

if (n/2.==int(n/2.))then

k=n/2; med=(x(k)+x(k+1))/2.

else

k=(n-1)/2; med=x(k+1)

end if

!Вычисляем полусумму экстремальных значений

xd=(x(1)+x(n))/2.

!Вычисляем усеченное среднее

uscp=0;k=int(k*a)

do i=k+1,n-k

uscp=uscp+x(i)

end do

uscp=uscp/(n-2*k)

!Вычисляем центр сгиба

k=n/4

xkb=(x(int(k))+x(int(3*k)+1))/2.

print 1,x; write (1,1)x

1 format (10x,Упорядоченный вектор'/10x,4(5f8.1/))

print 2,n,mo,disp,med,uscp,xd,xkb

write (1,2)n,mo,disp,med,uscp,xd,xkb

2 format (20x,'n=',i2//2x,Математическое ожидание',10('_'),'=',f8.4/ &

2x,'Дисперсия', 24('_'),'=',f8.4/ &

2x,'Медиана', 26('_'),'=',f8.4/ &

2x,’Полусумма экстремальных значений','_','=',f8.4/ &

2x,'Усеченное среднее', 16('_'),'=', f8.4/ &

2x,'Центр сгиба', 22('_'),'=',f8.4/)

end program zad_1

Результаты:

160.8 160. 161. 161.8 161.3 160.3 160.7 161.7 161.9 160.9

160.4 161.4 161.6 160.6 160.2 161.2 161.5 161.1 160.1 160.5

 

 Ранжированный вектор x

 160.0   160.1   160.2   160.3   160.4

160.5   160.6   160.7   160.8   160.9

 161.0   161.1   161.2   161.3   161.4

 161.5   161.6   161.7   161.8   161.9

                                           n=19

  Математическое ожидание__________=160.9737

  Дисперсия________________________=  0.3388

  Медиана__________________________=161.0000

  Полусумма экстремальных  значений_=160.9765

  Усечённое среднее________________=160.9500

  Центр сгиба______________________=160.8000

 

 

 

 

 

Задача 2

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ

Задание:

В приведенных ниже тарировочных таблицах для термопары даны показания вольтметра при изменениях температуры с постоянным шагом.

	Х1	Х3	Х5	Х7	Х9	Х11
T.C	0	20	40	60	80	100

 

	У1	У3	У5	У7	У9	У11
U.mB	-0,67	-0,254	0,171	0,609	1,057	1,517

Найти показания вольтметра с помощью линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу при следующих  температурах:

	Х2	Х4	Х6	Х8	Х10
T.C	7	27	47	67	87

Дать сравнительный анализ двух методов. Данные вывести в виде таблицы.

 

Теоретическая часть.

Линейная интерполяция.

Сущность  интерполяции состоит в отыскивании  значений функции в некоторой  заданной точке.

Простейшим  видом интерполяции является линейная интерполяция, в основе которой лежит  аппроксимация кривой на участке  между точками (X_k,Y_k ) и (X_k+1,Y_k+1) прямой, проходящей через те же точки. Уравнение прямой можно представить в виде

Y=(Y_k(X-X_k+1)-(Y_k+1(X-X_k)))/(X_k-X_k+1)      (1)

Таким образом можно найти значение у при любом значении х

Интерполяция по Лагранжу.

Метод состоит  в нахождении единичного многочлена п-й степени Р_п(Х), аппроксимирующего функцию f(x) кривой, проходящей через все п+1 заданные в таблице точки (X_i ,Y_j), где i=0,1,2,3,...,п.

         (2)

Алгоритм работы программы.

1. Задать размеры массивов Х(N),Y(N),N=11

2. Задать переменную N.

3. Ввести элементы массивов Х(N) Y(N).

4. Найти показания вольтметра с помощью линейной интерполяции, используя формулу(1)

5. Найти показания вольтметра с помощью интерполяции по Лагранжу, используя формулу(2)

6. Вывести на экран и занести в файл данных все результаты вычислений

Программа на Fortran’e:

program zad_2

integer, parameter::n=11

real x(n),y(n),p(n),P1,P2

integer i,j,k

open (1,file='z2.txt')

!Читаем исходные днные

read (1,*)x,y

print *,x,y

p(:)=y(:)

!Получаем напряжение термопары используя линейную интерполяцию

do i=2,n,2

y(i)=((y(i-1))*(x(i)-x(i+1))-(y(i+1)*(x(i)-x(i-1))))/(x(i-1)-x(i+1))

end do

print *,x,y

! Получаем напряжение термопары используя интерполяцию по Лагранжу

do k=2,n,2

P(k)=0.

do j=1,11,2

P1=1.

P2=1.

do i=1,11,2

if (i/=j)then

P1=P1*(x(k)-x(i))

P2=P2*(x(j)-x(i))

end if

end do

P(k)=P(k)+y(j)*P1/P2

end do

end do

print 5,x,y,P

write (1,5)x,y,P

5 format (5x,Температура в С '/11F8.1/5x,'Напряжение термопары в mV'/11F9.4,5x,/5x'Интерполяция по Лагранжу'/11F9.4)

end program zad_2

Результаты:

0.  7.  20.  27.  40.  47.  60.  67.  80.  87.  100.

-0.670  0.  -0.254  0.  0.171  0.  0.609  0. 1.057  0.  1.517

     Температура  в С

     0.0     7.0    20.0    27.0    40.0    47.0    60.0    67.0    80.0    87.0   100.0

     Напряжение  термопары в mV

  -0.6700  -0.5244  -0.2540  -0.1053   0.1710   0.3243   0.6090   0.7658   1.0570   1.2180   1.5170

     Интерполяция  по Лагранжу

  -0.6700  -0.5245  -0.2540  -0.1068   0.1710   0.3229   0.6090   0.7648   1.0570   1.2161   1.5170

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД  ФУРЬЕ.

Задание:

Для своего варианта исходных данных оформить подпрограммами-функциями  функций f(x), fa(x), fb(x).

Составить программу для  вычисления:

а) коэффициентов разложения функций f(x) в ряд Фурье для n=5, 10, 20. Интегрирование производить по методу Гаусса;

б) вычислить значения функций  f(x) и φ(x) для n=5, 10, 20.

Построить графики функций  f(x) и φ(x) для n=5, 10, 20. Номер гармоники k передается в подпрограмму fa(x), fb(x) и головную программу через общую область. Максимальное значение f(x) и период Т функции f(x) равны 1.

Исходные данные:

Теоретическая часть:

 

   

Алгоритм программы:

1. Задать размеры массивов для коэффициентов Фурье ak, bk, a(20), b(20).

2. Задать количество вычисляемых гармоник n=5, 10, 20.

3.При помощи оператора цикла, в котором параметр цикла k изменяется от 1 до n, вычислить: а) шаг интегрирования h=1/k; б) задать начальные значения ak=0, bk=0.

4. При помощи вложенного оператора цикла, в котором параметр цикла i изменяется от 1 до k, вычислить:

а) нижний предел интегрирования pN: pN=(i-1)*h;

б) верхний предел интегрирования pB: pB=i*h;

в) коэффициенты ak, bk, используя интегрирования методом Гаусса, где fa(x)=2f(x)cos(2πkx); fb(x)=2f(x)sin(2 πkx).

5. Вычислить коэффициент a0.

6. Вычислить значения функций f(x) и fi(x) при помощи оператора цикла, параметр j которого изменяется от 1 до 11:

а) задаем начальное значение переменной fi=0;

б) вычисляем X: X=0.1(j-1);

в) при помощи вложенного оператора цикла, в котором параметр цикла k изменяется от 1 до n, вычисляем функцию fi.

7. Печатать x, f(x), fi(x).

Программа на Fortran’e:

 

function f(x)

real f,x

if (x>=0. .and. x<=1./2.) then

f=-4.*x+1

else

f=4.*x-3

end if

return

end function f

 

 subroutine qg8(xl,xv,f,y)

         a=.5*(xv+xl)

         b=(xv-xl)

         c=.4801449*b

         y=.05061427*(f(a+c)+f(a-c))

         c=.3983332*b

         y=y+.1111905*(f(a+c)+f(a-c))

         c=.2627662*b

         y=y+.1568533*(f(a+c)+f(a-c))

         c=.09171732*b

         y=b*(y+.1813419*(f(a+c)+f(a-c)))

         return

         end

 

 

function fa(x)

common k,pi

real fa,x

integer k

fa=2.*f(x)*cos(2.*pi*k*x)

return

end function fa

 

 

function fb(x)

common k,pi

real fb,x

integer k

fb=2.*f(x)*sin(2.*pi*k*x)

return

end function fb

 

program zad3

external f,fa,fb

common k,pi

integer,parameter::n=5

real a(n),b(n),a0,pn,pb,h,fi,f,fa,fb,aa,bb,pi