Контрольная работа по "Информатике"

 

 

Задание №4

 

 

Разработать рацион кормления  коров с минимальной себестоимостью.

Вид питательного вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг		Минимальная потребность
	сена	картофеля
Кормовые единицы, кг.	0,45	0,3	24
Переваримый протеин, гр.	120	10	3000
Каротин, мг.	30	2	1200
Себестоимость, руб.	1,5	0,9

 

Содержание картофеля  в рационе не должно быть менее 20% его веса.

Содержание сена в  рационе не должно быть менее 50% питательного рациона.

 

Решение:

х₁-  сено

х₂ – картофель

Ограничения по потребности

0,45х₁ + 0,3х₂ ³ 24

120х₁ + 10х₂ ³ 3000

30х₁ + 2х₂ ³ 1200

х₁³ 0, х₂ ³ 0

Ограничение по составу

х₂ ³ 0,2(х₁ + х₂) или 0,2х₁ - 0,8х₂ £ 0

х₁ ³ 0,5(х₁ + х₂) или -0,5х₁ + 0,5х₂ £ 0

Целевая функция

1,5х₁ + 0,9х₂  → min

 

Наносим на график уравнения  ограничения.

После этого определяем область допустимых значения.

Чертим вектор с координатами (1,5; 0,9) и линии уровня, перпендикулярные ему. Видим, что линия уровня пересекает область в точке (1).

Найдем координаты точки (1). Это точка пересечения прямых

0,45х₁ + 0,3х₂ = 24 и 30х₁ + 2х₂ = 1200

х₁ = (24-0,3*x₂)/0,3

Подставим во второе уравнение.

30*(24-0,3*x₂)/0,3 + 2x₂ = 1200

Откуда х₂ = 22,22 кг

х₁ = 38,52 кг

Себестоимость: Z = 1,5*38,52+ 0,9*22,22 = 77,78 руб.

Задание №5

 

 

Дана математическая запись модели:

-x₁ - 5x₂ + 3х₃ = 4;

2x₁ + 5x₂ - 3х₃ ≥ 2;

2х₁ + 4х₂ ≥ -4;

F(x)= -5x₁ + х₂ - 2х₃ → max.

Решить задачу оптимизации  модели модифицированным симплексным  методом.

Решение:

Решим прямую задачу линейного программирования  модифицированным симплексным методом.

 Определим  максимальное значение целевой функции F(X) = -5x₁+x₂-2x₃ при следующих условиях-ограничений.

-x₁-5x₂+3x₃=4

2x₁+5x₂-3x₃≥2

2x₁+4x₂≥-4

 Для построения  первого опорного плана систему  неравенств приведем к системе  уравнений путем введения дополнительных  переменных (переход к канонической форме).

-1x₁-5x₂ + 3x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 4

2x₁ + 5x₂-3x₃-1x₄ + 0x₅ = 2

2x₁ + 4x₂ + 0x₃ + 0x₄-1x₅ = -4

 Введем искусственные  переменные x.

-1x₁-5x₂ + 3x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ + 0x₈ = 4

2x₁ + 5x₂-3x₃-1x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 1x₇ + 0x₈ = 2

2x₁ + 4x₂ + 0x₃ + 0x₄-1x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 1x₈ = -4

Поскольку в  начальном плане присутствуют отрицательные  значения b_i<0, то с помощью двойственного симплекс-метода устраняем отрицательные значения.

 Полагая,  что свободные переменные равны  0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,0,4,2,-4)

x₀ = 0

x₆ = -1+x₁+5x₂-3x₃

x₇ = 2-2x₁-5x₂+3x₃+x₄

x₈ = 2-2x₁-4x₂+x₅

 Среди свободных  членов в системе уравнений  есть отрицательные элементы. Используем  двойственный симплекс-метод. Выберем  из них наибольший по модулю, а в его уравнении – любой отрицательный.

 Чтобы теперь  выразить все переменные через  небазисные, в выражении для x₈ выразим x₅ и подставим полученное выражение во все остальные равенства.

x₀ = 0-5x₁+x₂-2x₃

x₆ = 4+x₁+5x₂-3x₃

x₇ = 2-2x₁-5x₂+3x₃+x₄

x₅ = 4+2x₁+4x₂+x₈

 

 Переходим  к первому этапу модифицированного  симплекс-метода.

 Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса.

 Имеем:

 Матрица  коэффициентов A = a_ij

-1	-5	3	0	0	1	0	0
2	5	-3	-1	0	0	1	0
-2	-4	0	0	1	0	0	-1

 Матрица b.

 

 Итерация №1.

<X> = (6, 7, 5)

 

 Матрица c.

c = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0)

c_B = (1, 1, 0)

c_N = (0, 0, 0, 0, 0)

 

 Вычисляем:

 Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

 

u = c_BB^-1 = (1, 1, 0)

 

c^* = c_N - uN = (-1, 0, 0, 1, 0)

 Откуда s = 1

 

 

 Откуда r = 2

 Итерация №2.

<X> = (6, 1, 5)

 

 Матрица c.

c = (-1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)

c_B = (0, -1, 0)

c_N = (0, 0, 1, 0, 0)

 

 Вычисляем:

 

u = c_BB^-1 = (0, -0.5, 0)

 

c^* = c_N - uN = (2.5, -1.5, 0.5, 0.5, 0)

 Откуда s = 2

 

 

 Откуда r = 1

 Итерация №3.

<X> = (3, 1, 5)

 

 Матрица c.

c = (0, 2.5, -1.5, 0.5, 0, 0, 0.5, 0)

c_B = (-1.5, 0, 0)

c_N = (2.5, 0.5, 0, 0.5, 0)

 

 Вычисляем:

 

u = c_BB^-1 = (-1, -0.5, 0)

 

c^* = c_N - uN = (-0, 0, 1, 1, 0)

 Нулевая строка  симплексной таблицы неотрицательна. Первый этап симплекс-метода завершен.

 Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию.

 Выразим базисные  переменные:

x₃ = 3.33-1.67x₂-0.3333x₄

x₁ = 6-1x₄

 которые подставим  в целевую функцию:

F(X) = 5(6-1x₄)-x₂ + 2(3.33-1.67x₂-0.3333x₄)

 или

F(X) = 36.67+2.33x₂+5.67x₄

 Имеем:

 Матрица коэффициентов  A = a_ij

 

 Матрица b.

 

 Итерация №1.

 <X> = (3, 1, 5)

 

 Матрица c.

c = (0, -2.3333, 0, -5.6667, 0)

c_B = (0, 0, 0)

c_N = (-2.3333, -5.6667, 0, 0, 0)

 

 Вычисляем:

 Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

 

u = c_BB^-1 = (0, 0, 0)

 

c^* = c_N - uN = (-2.3333, -5.6667, 0, 0, 0)

 Откуда s = 2

 

 

Выводимую переменную r найти  невозможно. Прерываем процесс поиска первого опорного плана.

 Вектор результатов  X = (6, 0, 3.33)^T

Значение целевой функции F(X) = bc = -36.67

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве/Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.М. и др.; М. Агропромиздат, 1990.
2. Практикум по математическому моделированию экономических процессов в сельском хозяйстве/А.Ф. Карпенко, В.А. Кардаш, Н.С. Назирова и др.; М.: Агропромиздат, 1985.
3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для ВУЗов/Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2002.
4. Экономико-математические методы и модели. Под ред. Кузнецова А.В. Минск, БГЭУ, 1999 г.
5. http://ru.wikipedia.org/wiki/