Компьютерное моделирование производственных процессов

На первый взгляд может показаться, что с понятием точного и приближенного решения также связана проблема выполнения вычислений в конкретной системе команд той или иной вычислительной платформы.

Действительно, современные компьютеры по своей природе являются цифровыми, поэтому решении любых задач, включая задачи оптимизации с непрерывными переменными, будет всегда получено некоторое цифровое значение, точность которого ограничена разрядностью системы команд компьютера и количеством цифр для представления действительных чисел.

Хотя данная проблема серьезно обсуждалась в первые годы появления компьютеров, сейчас ее актуальность существенно упала. Это связано с тем, что точности 32- или 64-разрядной системы команд платформы Win Intel вполне достаточно для обеспечения приемлемого уровня точности при решении большинства практических задач. Что касается специальных классов задач, в которых необходима повышенная точность расчетов, то они служат темой специальных исследований с применением профессиональных математических программ.

В общем случае с проблемой поиска точных и приближенных решений тесно связана проблема разработки соответствующих конструктивных средств их практического нахождения. Применительно к решению задач оптимизации соответствующие конструктивные средства получили название методов и алгоритмов их точного или приближенного решения.

История математики и теории решения задачи оптимизации тесно связана работкой тех или иных алгоритмов решения актуальных для своей эпохи задач

 Само понятие алгоритма  является одним из центральных  в вычислительной и конструктивной  математике. В общем случае, под  алгоритмом понимают формальное предписание выполнить точно определенную последовательность действий, направленных на достижение заданной цели или решение поставленной задачи.

При рассмотрении алгоритмов выделяют три основных свойства, которым должна удовлетворять та или иная последовательность действий, чтобы быть алгоритмом:

• детерминированность — характеризует точную фиксацию следующего действия после выполнения предыдущего. Другими словами, при рассмотрении алгоритмов должны быть исключены случаи неопределенности продолжения процесса выполняемых действий;
• массовость — характеризует применение алгоритма для решения задач целого класса, в рамках которого он должен позволить решить любую конкретную задачу с заданными значениями исходных данных;
• результативность — характеризует завершение процесса выполнения действий алгоритма за конечное число шагов или конечный интервал времени. В результате завершения процесса выполнения действий алгоритм либо должен решить поставленную задачу, либо сообщить о том, что по той или иной причине процесс решения не может быть продолжен.

При решении задач оптимизации выбранный или разработанный алгоритм должен позволять решать ту или иную конкретную типовую задачу оптимизации за конечное время или сообщить пользователю о невозможности ее решения. В общем случае для описания алгоритмов используется естественный язык с элементами математической символики, который может дополняться структурной схемой алгоритма в некоторой графической нотации.

Отдельные действия алгоритма при его описании получили название шагов алгоритма, а их совокупность, выполняемая в рамках некоторого цикла, называется итерацией алгоритма. Поскольку эти понятия служат вспомогательным целям и используются, главным образом, при описании конкретных алгоритмов, более подробно они рассматриваются в соответствующих главах книги.

В контексте задач оптимизации рассматривается более общее и менее формальное понятие метода решения задачи оптимизации, под которым будем понимать некоторое обобщенное описание вычислительного процесса в форме рекомендаций по выполнению некоторых действий, также направленных на достижение заданной цели или решение поставленной задачи.

Таким образом, метод решения задачи оптимизации отличается от алгоритма более общим характером описания и, как следствие, является более универсальным по сравнению с последним. В то же время менее формальный способ спецификации метода позволяет говорить о его конкретизации в рамках того или иного алгоритма.

Для решения типовой задачи оптимизации могут быль применены различные методы и алгоритмы. Так, например, наиболее известными и получившими широкое распространение являются: метод динамического программирования и метод ветвей и границ. Они, в свою очередь, могут быть реализованы в различных вариациях что позволяет различать соответствующие алгоритмы, ориентированные, например, на решение задач целочисленного и комбинаторного программирования.

В то же время для специальных классов задач, например, для задач оптимизации на графах, предложены специальные алгоритмы, такие как алгоритмы Дейкстры или Краскала, которые имеют весьма узкую область применения. В этом случае может вообще отсутствовать общий метод, от которого наследует свойства рассматриваемого алгоритм. Указанные взаимосвязи между методом и алгоритмом решения задач оптимизации могут быть изображены графически .

 

3. Компьютерное моделирование и программные средства

 

Компьютерная модель, или численная модель — компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере, суперкомпьютере или множестве взаимодействующих компьютеров(вычислительных узлов), реализующая абстрактную модель некоторой системы. Компьютерные модели стали обычным инструментом математического моделирования и применяются в физике, механике, экономике других науках и прикладных задачах в различных областях радиоэлектроники, машиностроения, автомобилестроения и проч. Компьютерные модели используются для получения новых знаний о моделируемом объекте или для приближенной оценки поведения систем, слишком сложных для аналитического исследования.

Компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения сложных систем. Компьютерные модели проще и удобнее исследовать в силу их возможности проводить т.ч.вычислительные эксперименты, в тех случаях, когда реальные эксперименты затруднены из-за финансовых или физических препятствий или могут дать непредсказуемый результат. Логичность и формализованность компьютерных моделей позволяет выявить основные факторы, определяющие свойства изучаемого объекта-оригинала (или целого класса объектов), в частности, исследовать отклик моделируемой физической системы на изменения ее параметров и начальных условий.

Построение компьютерной модели базируется на абстрагировании от конкретной природы явлений или изучаемого объекта-оригинала и состоит из двух этапов— сначала создание качественной, а затем и количественной модели. Компьютерное же моделирование заключается в проведении серии вычислительных экспериментов на компьютере, целью которых является анализ, интерпретация и сопоставление результатов моделирования с реальным поведением изучаемого объекта и, при необходимости, последующее уточнение модели ит.д.

К основным этапам компьютерного моделирования относятся:

• постановка задачи, определение объекта моделирования;

• Разработка концептуальной модели, выявление основных элементов системы и элементарных актов взаимодействия;

• формализация, то есть переход к математической модели; создание алгоритма и написание программы;

• планирование и проведение компьютерных экспериментов;

• анализ и интерпретация результатов.

Различают аналитическое и имитационное моделирование. При аналитическом моделировании изучаются математические (абстрактные) модели реального объекта в виде алгебраических, дифференциальных и других уравнений, а также предусматривающих осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному решению. При имитационном моделировании исследуются математические модели в виде алгоритма(ов), воспроизводящего функционирование исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

Компьютерное моделирование применяют для широкого круга задач, таких как:

• конструирование транспортных средств;

• эмуляция работы других электронных устройств;

• прогнозирование цен на финансовых рынках;

• исследование поведения зданий, конструкций и деталей под механической нагрузкой;

• прогнозирование прочности конструкций и механизмов их разрушения;

• проектирование производственных процессов;

• стратегическое управление организацией;

• исследование поведения гидравлических систем;

• моделирование роботов и автоматических манипуляторов;

• моделирование сценарных вариантов развития городов;

• моделирование транспортных систем;

• конечно-элементное моделирование краш-тестов.

Различные сферы применения компьютерных моделей предъявляют разные требования к надежности получаемых с их помощью результатов. Для моделирования зданий и деталей самолетов требуется высокая точность и степень достоверности, тогда как модели эволюции городов и социально-экономических систем используются для получения приближенных или качественных результатов.

Алгоритмы компьютерного моделирования

• Метод конечных элементов;

• Метод конечных разностей;

• Метод контрольных объёмов;

• Метод подвижных клеточных автоматов;

• Метод классической молекулярной динамики;

• Метод дискретного элемента;

• Метод компонентных цепей;

• Метод узловых потенциалов;

• Метод переменных состояния.

 

В наше время существует множество программных средств решения задач оптимизации. Решение задач оптимизации состоит в поиске оптимального плана с использованием математических моделей и вычислительных методов, которые реализуются с помощью компьютеров и специальных программ-оптимизаторов. Таких программ сейчас существует множество, например: MathCAD, Mathematica, Matlab, Excel, Maple и др.

Мощным средством анализа данных Excel является надстройка Solver (Поиск решения). С ее помощью можно определить, при каких значениях указанных влияющих ячеек формула в целевой ячейке принимает нужное значение (минимальное, максимальное или равное какой-либо величине). Процедура «Поиск решения» (MS EXCEL) представляет собой мощный инструмент для выполнения сложных вычислений. Она позволяет находить значения переменных, удовлетворяющих указанным критериям оптимальности, при условии выполнения заданных ограничений. Наилучшие результаты она позволяет получить для задач выпуклого программирования. Такие результаты оптимизации оформляются в виде отчетов трёх типов: результаты, устойчивость и пределы. Надстройка табличного процессора MS Excel, которая предназначена для решения определенных систем уравнений, линейных и нелинейных задач оптимизации, используется с 1991 года.

Но при решении задач оптимизации в Excel всплывают некоторые недостатки, а в частности процесс решения, заключающийся в заполнении данными задачи ячеек таблиц, внесении в них формул, выполнении команд и заполнении диалоговых окон не является до конца автоматическим. Поэтому он не оптимален при решении больших потоков задач. Новые возможности в этом открывает MathCAD — математическая система автоматического проектирования (Mathematical Computer Aided Design) фирмы MathSoft (США), которая становится все более доступной в связи развитием компьютерной техники. В системе MathCAD описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков, а также путем обращения к специальным функциям. Среди них есть и функции Maximize, Minimize, предназначенные для решения задач оптимизации — поиска максимума и минимума функций с множеством переменных. В экономике решение таких задач для целевой функции, обычно являющейся линейной, позволяет снизить расходы сырья, транспортные затраты и получить наибольшую прибыль от производства товаров.

Для полностью автоматического решения простейших оптимизационных задач их просто нужно записать в окне редактирования системы MathCAD, сопроводив текстовыми пояс нениями.

Для более сложных задач система MathCAD позволяет облегчить реализацию алгоритмов линейного программирования, совместить средство решения с итоговым отчетом, легко перестраивающимся на другие подобные задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Программная  реализация оптимизационных моделей

 

1. Построение математической модели задачи

 

1. Определение переменных