Возможно изображение структурной
схемы в масштабе. Такую модель относят
к структурно-параметрической. Её примером
служит кинематическая схема механизма,
на которой размеры упрощенно изображенных
звеньев (длины линий-стержней, радиусы
колес-окружностей ит.д.) нанесены в масштабе,
что позволяет дать численную оценку некоторым
исследуемым характеристикам.
Для повышения полноты восприятия
на структурных схемах в символьном (буквенном,
условными знаками) виде могут указывать
параметры, характеризующие свойства
отображаемых систем. Исследование таких
схем позволяет установить соотношения
(функциональные, геометрические ит.п.)
между этими параметрами, то есть представить
их взаимосвязь в виде равенств f(x1, х2, …)= 0, неравенств
f(x1, х2, …)> 0 и в
иных выражениях.
Под параметрической моделью
понимается математическая модель, позволяющая
установить количественную связь между
функциональными и вспомогательными параметрами
системы. Графической интерпретацией
такой модели в технике служит чертеж
устройства или его частей с указанием
численных значений параметров.
В зависимости от целей исследования
выделяют следующие модели:
функциональные. Предназначены для изучения особенностей работы (функционирования) системы, её назначения во взаимосвязи с внутренними и внешними элементами;
функционально-физические. Предназначены для изучения
физических (реальных) явлений, используемых
для реализации заложенных в систему функций;
модели процессов и явлений, такие как кинематические, прочностные, динамические и другие. Предназначены для исследования
тех или иных свойств и характеристик
системы, обеспечивающих её эффективное
функционирование.
С целью подчеркнуть отличительную
особенность модели их подразделяют на
простые и сложные, однородные и неоднородные,
открытые и закрытые, статические и динамические,
вероятностные и детерминированные ит.д.
Стоит отметить, что когда говорят, например,
о техническом устройстве как простом
или сложном, закрытом или открытом ит.п.,
в действительности подразумевают не
само устройство, а возможный вид его модели,
таким образом подчеркивая особенность
состава или условий работы.
Четкого правила разделения
моделей на сложные и простые не существует.
Обычно признаком сложных моделей служит
многообразие выполняемых функций, большое
число составных частей, разветвленный
характер связей, тесная взаимосвязь с
внешней средой, наличие элементов случайности,
изменчивость во времени и другие. Понятие
сложности системы— субъективно и определяется
необходимыми для его исследования затратами
времени и средств, потребным уровнем
квалификации, то есть зависит от конкретного
случая и конкретного специалиста.
Разделение систем на однородные
и неоднородные проводится в соответствии
с заранее выбранным признаком: используемые
физические явления, материалы, формы
и т.д. При этом одна и та же модель при
разных подходах может быть и однородной,
и неоднородной. Так, велосипед — однородное
механическое устройство, поскольку использует
механические способы передачи движения,
но неоднородное по типам материалов,
из которых изготовлены отдельные части
(резиновая шина, стальная рама, пластиковое
седло).
Все устройства взаимодействуют
с внешней средой, обмениваются с нею сигналами,
энергией, веществом. Модели относят к
открытым, если их влиянием на окружающую
среду или воздействием внешних условий
на их состояние и качество функционирования
пренебречь нельзя. В противном случае
системы рассматривают как закрытые, изолированные.
Динамические модели, в отличие от статических,
находятся в постоянном развитии, их состояние
и характеристики изменяются в процессе
работы и с течением времени.
Характеристики вероятностных
(иными словами, стохастических) моделей случайным образом
распределяются в пространстве или меняются
во времени. Это является следствием как
случайного распределения свойств материалов,
геометрических размеров и форм объекта,
так и случайного характера воздействия
внешних нагрузок и условий. Характеристик
и детерминированных моделей заранее
известны и точно предсказуемы.
Знание этих особенностей облегчает
процесс моделирования, так как позволяет
выбрать вид модели, наилучшим образом
соответствующей заданным условиям. Этот
выбор основывается на выделении в системе
существенных и отбрасывании второстепенных
факторов и должен подтверждаться исследованиями
или предшествующим опытом. Наиболее часто
в процессе моделирования ориентируются
на создание простой модели, что позволяет
сэкономить время и средства на её разработку.
Однако повышение точности модели, как
правило, связано с ростом её сложности,
так как необходимо учитывать большое
число факторов и связей. Разумное сочетание
простоты и потребной точности и указывает
на предпочтительный вид модели.
1.2 Оптимизационные
модели на производстве
Задачи оптимизации являются
одними из наиболее важных и распространенных
задач, встречающихся в практике инженерных
и экономических исследований. Определение
наилучших в некотором смысле условий,
решений, значений параметров является
во многих случаях основной целью инженера-проектировщика,
экономиста. Владение аппаратом решения
задач оптимизации необходимо каждому
специалисту в области машиностроения.
Оптимизационные проблемы возникают в
частности: при управлении различными
технологическими процессами, где достигается
максимальная производительность при
минимальных затратах; при проектировании
различных устройств и установок, когда
требуется подобрать оптимальные параметры
при заданных условиях; при решении задач
выпуска продукции; составлении плана
перевозок с минимальными затратами (транспортная
задача); рационального использования
сырья и материалов; при оптимизации раскроя.
Процесс постановки и решения
задач оптимизации может быть представлен
в форме взаимосвязанных этапов, на каждом
из которых выполняются определенные
действия, направленные на построение
и последующее использование информационно-логических
моделей систем. Характерной особенностью
данного процесса является его циклический
или итеративный характер, который отражает
современные требования к анализу и проектированию
сложных систем.
Таким образом, отдельными этапами
процесса постановки и решения задач оптимизации
являются:
1. Анализ проблемной
ситуации.
2. Построение математической
модели.
3. Анализ модели.
4. Выбор метода и
средства решения.
5. Выполнение численных
расчетов.
6. Анализ результатов
расчетов.
7. Применение результатов
расчетов.
8. Коррекция и доработка
модели.
Конкретное содержание этапов
зависит от специфических особенностей
решаемых задач оптимизации в той или
иной проблемной области. При этом каждый
новый цикл процесса постановки и решения
задач инициируется этапом анализа проблемной
ситуации, в чем проявляется реализация
требования проблемно-ориентированного
подхода к построению и использованию
информационно логических моделей систем
для решения задач оптимизации.
При рассмотрении процесса
постановки и решения задач оптимизации
ключевую роль играет понятие математической
модели задач оптимизации и свойства ее
основных элементов. Именно от свойств
математической модели зависит возможность
решения отдельной задачи оптимизации
и выбор наиболее эффективного алгоритма
и способа для этой цели. Игнорирование
или незнание особенностей математических
моделей задач оптимизации служат источником
ошибок и неудач в решении данных задач.
В общем случае под математической
моделью задачи оптимизации будем понимать
специальную запись постановки и условий
решения типовой задачи оптимизации с
использованием понятий математики и
математической символики. Применительно
к конкретной задаче оптимизации математическая
модель соответствует математической
постановке данной задачи.
При постановке задачи оптимизации
должны быть определены или специфицированы
следующие ее базовые компоненты:
- характеристика переменных,
фиксированный набор значений которых
характеризует отдельное решение задачи;
- набор, ограничивающий условия,
исключающих из рассмотрения отдельные решения по причине
их физической или логической невозможности;
- оценочная функция, позволяющая
количественно сравнивать различные решения с целью выбора
наилучшего из них.
Понятие переменной является
одним из фундаментальных в математике,
характерным свойством который служит
множество принимаемых ею значений. В
зависимости от специфических свойств
этого множества в задачах оптимизации
используются три основных типа переменных:
- непрерывные, множество принимаемых значений которых имеет мощность континуума и, как правило, совпадает с множеством всех неотрицательных вещественных чисел
или является его подмножеством;
- целочисленный или дискретный,
множество принимаемых значений которых имеет счетную или даже конечную мощность и, как правило, совпадает с множеством всех неотрицательных целых чисел или является его подмножеством;
- булевы, множество принимаемых
значений, которых имеет всего лишь два
значения: 0 и 1.
Как в математике, так и в математической
модели задач оптимизации переменные
традиционно принято обозначать латинскими
буквами: без индексов — х, у, z; с одним индексом — xiyjzk с двумя индексами — xijyijzik « Важно понимать, что каждая переменная
должна иметь реальную интерпретацию
или физический смысл в постановке задачи,
а набор их значений — определять некоторое
потенциальное решение исходной проблемы.
При этом выбор той или иной буквы для
обозначения переменной не играет принципиального
значения. Фиксированный набор значений
отдельных переменных задачи оптимизации
называют альтернативой.
Традиционно в математике множество
всех вещественных чисел обозначают через R1 или просто R, множество всех целых чисел — через Z1 или просто Z, множество из двух чисел: 0 и 1 — через В1 или {0, 1}. С учетом этих обозначений требование непрерывности переменных
принято символически обозначать в виде: х, у,zЄR1 требование целочисленности переменных—
в виде: х, у,zЄZ1 требование булевости переменных
— в виде:x,y,zЄ {0, 1} или, если не возникает
недоразумений, х, у, zЄ В1.
Практические задачи оптимизации
имеют некоторый набор ограничивающих
условий, которые исключают из рассмотрения
отдельные решения по причине их физической
или логической невозможности. Данные
условия получили названия ограничений,
которые в своей совокупности определяют
или специфицируют множеством допустимых
альтернатив рассматриваемой задачи оптимизации.
В общем случае ограничение
представляет собой некоторую функциональную
зависимость, которая связывает отдельные
значения переменных друг с другом. В общем
случае подобная функциональная зависимость
записывается в виде некоторой функции,
например g(x, y, z), от исходных переменных
задачи оптимизации. При этом предполагается,
что данная функция, как правило, является
непрерывной. Очевидно, что различных
задачах оптимизации может присутствовать
различное число подобных функций
Математическая запись ограничения
дополнительно предполагает требование,
что значение данной функции ограничены
некоторым интервалом или числом. В зависимости
от знака ограничения задач оптимизации
используются два основных типа ограничений:
- равенства, которые символически
записываются в виде:
g(x, y, z) = a или g(x, y, z) = 0;
- неравенства которые символически записываются в виде:
g(x, y, z) ≤ (≥) а или g(x, y, z) ≤ (≥)
0.
Здесь а — некоторое вещественное
число, которое принимает заданное значение
в контексте рассматриваемой задачи оптимизации.
Саму функцию g(x, y, z) в этом случае называют
правой частью ограничения, а значение
а — левой частью ограничения. Поскольку
возможен случай, когда а = 0, то само значение
левой части ограничения не имеет принципиального
характера.
В зависимости от дополнительных
свойств функции g(x, y, z) в задачах оптимизации
используются следующие основные типы
ограничений.
- Линейные, в которых все функции g(x, y, z) является линейными относительно всех своих переменных.
- Нелинейные, в которых все функции g(x, y, z) является нелинейным относительно всех своих переменных. В последнем случае иногда дополнительно рассматривают следующие типы ограничений:
- выпуклые, в которых все функции g(x, y, z) является выпуклым относительно всех своих переменных;
- невыпуклые, в которых все функции g(x, y, z) является невыпуклыми относительно всех своих переменных.
Набор ограничений каждой задачи
оптимизации сужает исходное множество
ее решений или альтернатив. В простейших
случаях это может соответствовать сужению
множества R1до интервала
значений, как, например, в задачах о коробке
максимального объема или пожарном ведре.
В более сложных случаях это может соответствовать
сужению множества Rk до k-мерного
симплекса, как, например, в задачах линейного
программирования. В общем случае множество
допустимых альтернатив, удовлетворяющих
всем ограничениям рассматриваемой задачи
оптимизации принято обозначать через
∆β или просто
∆. Математические свойства этого множества
полностью определяются характером переменных
и ограничений задачи оптимизации. Тот
факт, что некоторый набор значений переменных
удовлетворяет всей совокупности ограничений
задачи, а соответствующая альтернатива,
символически записывается в виде: x,y,z
Є ∆β
Целевой или критериальной
функцией задачи оптимизации называется
некоторая оценочная функция, предназначенная
для количественного сравнения альтернатив
с целью выбора наилучшей. Целевая функция
определяется как некоторая математическая
функция, функционал или оператор, что,
в общем случае, записывается в виде: f(x,
y, z), где f: .