Анализ и построение имитационной модели заданного временного ряда

В обоих случаях εt считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности εt обозначим через p.

В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота и дисперсия выражаются формулами:

;    .                                         (30)

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства

,                                                  (31)

где квадратные скобки, как и ранее, означают целую часть числа. Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения может быть произведена лишь приближенно с помощью исследования показателей асимметрии ( ) и эксцесса ( ):

;    ;                        (32)  ;      .               (33)

В этих формулах - выборочная характеристика асимметрии; - выборочная характеристика эксцесса; и  - соответствующие среднеквадратические ошибки.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

;          ,               (34)

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

;                      (35)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, трендовая модель признается неадекватной.

Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой

                                                                                               (36)

где - среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности , - стандартное (среднеквадратическое отклонение) для этой последовательности.

Проверка независимости значений уровней случайной компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d-критерий Дарбина-Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по формуле

.                                    (37)

Заметим, что расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной связи; в этом случае его надо преобразовать по формуле и в дальнейшем использовать значение .

Для показателя, представленного временным рядом, точность определяется как разность между значением фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем с использованием модели, при этом в качестве статистических показателей точности применяются следующие:

среднеквадратическое отклонение

,                                    (38)

средняя относительная ошибка аппроксимации

,                                      (39)

коэффициент сходимости

                               ,                                         (40)

 

коэффициент детерминации

                                                 ,                                                (41)

где - количество уровней ряда, - число определяемых параметров модели, - оценка уровней ряда по модели, - среднее значение уровней ряда.

 

1.9 Прогнозирование динамики

 

При экстраполяционном прогнозировании экономических процессов необходимо определить два элемента: точечный и интервальный прогнозы.

Точечный прогноз – это значение экономического показателя в будущем, определенное путем подстановки значения времени в уравнение выбранной кривой роста. Совпадение фактических данных в будущем и точечного прогнозного значения маловероятно. Поэтому точечный прогноз дополняют двухсторонними границами, т.е. таким интервалом, в котором с большой степенью вероятности ожидается фактическое значение прогнозируемого показателя. Такой прогноз называется интервальным, он определяется с помощью доверительного интервала

Yф(t) = U(t) ± ΔY,                   (40)

где Yф(t) – фактическое значение в будущем; ΔY – доверительный интервал.

Величина доверительного интервала зависит от стандартной ошибки аппроксимации временного ряда с помощью кривой роста, от времени упреждения прогноза, от длины временного ряда и от уровня значимости прогноза.

Несмотря на то, что приведенные формулы позволяют определить прогноз на любое число шагов, попытка заглянуть слишком далеко приведет к очень большим ошибкам. Длина периода упреждения не должна превышать одной трети длины ряда наблюдений.

Стандартная ошибка аппроксимации прогнозируемого показателя определяется выражением

(42)

где k – число параметров трендовой модели.

Для линейного тренда доверительный интервал определяется формулой

(43)

где L – период упреждения, т.е. число шагов, на которые делается прогноз; tα – критерий Стьюдента для числа степеней

свободы n – 2 уровня значимости α = 0,2 .

Для полиномов второго и третьего порядка используется выражение, в котором начало отсчета времени перенесено на середину временного ряда наблюдений:

(44)

где tL – время прогноза, а суммирование выполняется по всем значениям временного ряда

(45)

Несмотря на то, что приведенные формулы позволяют определить прогноз на любое число шагов, попытка заглянуть слишком далеко приведет к очень большим ошибкам. Длина периода упреждения не должна превышать одной трети длины ряда наблюдений.

 

 

 

Глава II. Построение анализа и оценки имитационной модели

2.1 Расчет показателей  динамики развития экономических  рядов

 

 

Необходимо рассчитать показатели динамики временного ряда представленного в табл. 1 (см. приложение 1, табл.1), для этого рассчитаем аналитические показатели динамического ряда базисным и цепным методами.

Прежде всего, для определения скорости развития этого явления по формулам (1) вычисляются цепной и базисный  абсолютный прирост:

, , ,… , , ;

, , ,…,

Для определения относительных показателей: коэффициент роста и прироста используются формулы (2):

≈0.67; ≈0.25; ≈3; …; ≈1,01; ≈1,01; ≈1,01.

Чтобы узнать,  на сколько процентов уровень одного периода увеличится (уменьшится) по сравнению с уровнем другого периода, необходимо вычислить темпы роста и прироста по формулам (6) и (7):

≈67; ≈25; ≈-300; …; ≈101; ≈101;  ≈101.

≈-33;  ≈-75;  ≈-400; …; ≈1; ≈1;  ≈1.

 

Средний абсолютный прирост за весь период наблюдения находится по формуле (7):

На основе анализа, можно сказать, что среднемесячный прирост в среднем, за весь период наблюдения, составил -2,85

 

 

 

 

2.2. Выявление аномальных  уровней ряда. Анализ временного  ряда на наличие тренда

 

По формулам (14) вычисляем среднее значение и среднеквадратичное отклонение временного ряда:  =-138,90  и =1382,04

Затем находим все значения по формуле (18), и находим табличное значение , которое для n=100 равно 1 и проверяется есть ли среди расчетных значений значения, превышающие 1. Результат показан в табл.1.

t	yt		На аномальность
1	444	-	Неаномально
2	428	0,002	Неаномально
3	404	0,003	Неаномально
…	…	…	…
98	-1760	0,002	Неаномально
99	-1784	0,003	Неаномально
100	-1816	0,005	Неаномально

Таких значений в рассматриваемом вариационном ряду нет, следовательно, в ряду нет аномальных уровней ряда.

Так как расчетные значения больше табличного, то гипотеза от отсутствии тренда в среднем и тренда в дисперсии отвергается, следовательно, во временном ряду тренд есть.

2.3. Построение  тренд-сезонных экономических процессов

 

Для построения сезонной волны используем метод Четвертикова, сначало необходимо сгруппировать исходный временной ряд по годам, результат этого этапа показан в табл. 1 (см. приложение 2).

Далее выравнивается ряд скользящей средней (формула (21)). Получается предварительная оценка тренда. С использованием формулы (25), вычислим предварительную среднюю сезонную волну. Результат в таблице 2.

Табл. 2

Предварительная средняя сезонная волна.

Месяцы	Средняя сезонная волна
1	-1,18
2	-1,02
3	-1,05
...	...
10	-2,18
11	-1,85
12	-1,92

 

Найдем ряд лишенный сезонной волны, представленного в табл. 2. Проводя расчет по формулам (28).

Вновь сглаживается скользящей средней, далее получается новая оценка  тренда.

Окончательная сезонная волна производится после умножения сезонной волны на коэффициент напряженности (формула (30)). Конечный результат всех пунктов вычисления запишем в последнюю строку.

Если отметить полученные значения на координатной плоскости, то можно получить графическое изображение исследуемой сезонной волны, которая достаточно адекватно воспроизводит фактическое изменение процесса в течении года, отображенное на рис. 1

 

Рис. 1. Графическое изображение сезонной волны.

Таким образом в изучаемом экономическом явлении явно присутствуют сезонная составляющая спад.

2.4. Построение  аналитической модели ряда с  использованием метода Фурье

Для построения аналитической модели ряда методом Фурье необходимо воспользоваться данными, указанными в табл.2.

Чтобы построить ряд Фурье необходимо определить параметры и , которые находятся для соответствующих уравнений -й гармоники. Для первой гармоники, при =1 уравнение примет вид , в котором параметры , и , будут найдены по формулам (24).

;  ; .

Тогда уравнение модели примет следующий вид:

.

Находим вторую гармонику Фурье:

  ; .

Уравнение второй гармоники примет вид:

.

Аналогично найдем третью и четвертую гармоники. Далее необходимо изобразить все полученные гармоники на одном графике. Результат этого действия показан на рис. 2.

 

 

Рис.2. График гармоник Фурье.

Анализируя рис. 2, можно сделать вывод, что  произошли незначительные отклонения фактических значений от прогнозируемых. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

На основании проделанной работы, можно сделать следующие выводы:

1.  Созданная  математическая модель адекватна  реальному объекту;

2.  Проведенные  исследования показали эффективность  модели и способов “приведения  её в действие” при определении  необходимых нам параметров по  сравнению с ручным способом  моделирования и расчетов параметров;

3.  Созданная  модель имеет достаточную, для  таких моделей, степень универсальности, т.к. диапазон входных параметров  системы можно легко и быстро  изменить.

 

Список использованной литературы

 

1. Прицкер А. «Введение в имитационное моделирование» -М.: Мир, 1987.-644с.

2. Емельянов А.А., Власова Е.А., «Имитационное моделирование экономических процессов» - М. Финансы и статистика,2002.

3. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 564 с.

4. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М: Наука, 1979. -327 с.

5. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1978. 399 с.

6.  Варфоломеев В.И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем. - М.: Финансы и статистика, 2000. -208 с.

7.        www.5ka.ru