Анализ и построение имитационной модели заданного временного ряда

  .                           (12)

Задавая различные значения =1,2,3, . . ., получаем последовательность значений На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве от n/4 до n/3.

График автокорреляционной функции называется коррелограммом и показывает величину запаздывания, с которым изменение сказывается на его последующих значениях. Величина сдвига , которому соответствует наибольший коэффициент автокорреляции, называется временным лагом.

1.3 Аномальные уровни  ряда

 

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей, например, метод Ирвина предполагает использование следующей формулы:

                                                               (13)

где             .(14)

Расчетные значения  , и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина  , и если какое-то значение оказывается больше табличного, то соответствующее значение у уровня ряда считается аномальным.

1.4 Тренд во временном  ряду

 

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяют ряд методов, в частности метод проверки разностей средних уровней.

Чтобы более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.

Сглаживания временных рядов можно осуществлять аналитическими или механическими методами.

Суть аналитических методов заключается в построении кривой, проходящей между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний.

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем: берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания, и для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т.д.

Простейшим методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней.

 

1.5 Автокорреляция и  временной лаг

 

При наличии во временном ряду тенденции и циклических изменений значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно найти с помощью коэффициента корреляции между уровнями начального временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов по времени.

Определим коэффициент корреляции между рядами уt и yt-1. Формула для расчета коэффициента корреляции можно представить в виде:

 

                     (15)

В качестве переменной X рассматривают ряд у2, у3, ..., у6 в качестве переменной у — ряд у1, у2, ..., у5. Тогда приведенная формула для расчета коэффициента корреляции примет вид

 

 

 

 

 

 

                              (16)

Эта величина - коэффициент автокорреляции первого порядка, так как он определяет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1

Аналогично определяют коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков.

 

          (17)

Число периодов, по которым определяется коэффициент автокорреляции, называют лаг автокорреляции. С ростом лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается что лаг должен определяться отношением n/4 - количество наблюдений деленных на 4.

По коэффициенту автокорреляции судят о наличии линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (степенную функцию или экспоненту), коэффициент автокорреляции может быть меньше 0,7.

По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать судить о возрастающем или убывающем направлении связи в ряду.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и других порядков называется автокорреляционной функцией временного ряда. График значений коэффициентов автокорреляции разных порядков называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет найти лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями временного ряда наиболее тесная.

Если максимальным оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, временной ряд содержит только тенденцию (тренд).  
Если максимальным оказался коэффициент автокорреляции порядка n, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в n моментов времени.

Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым (близок к 0), можно сказать, что либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит нелинейную тенденцию, для выявления которой проводят дополнительный анализ.

 

1.6 Сезонная волна

 

При анализе колеблемости динамических рядов наряду с выделением случайных колебаний, возникает  за дача изучения периодических колебаний. Как правило, изучение периодических («сезонных») колебаний необходимо с целью исключения их влияния на общую динамику для выявления «чистой»(случайной) колеблемости.

В широком понимании к сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней. Часто эти колебания могут быть не связаны со сменой времен го да. К сезонным явлениям относят, например, потребление электроэнергии; неравномерность производственной деятельности в отраслях пищевой промышленности, связанных с переработкой сельскохозяйственного сырья; перевозки пассажирским транспортом; спрос на многие виды продукции и услуги.

Как бы ни проявлялась сезонность, она наносит большой ущерб национальной экономике, связанной с неравномерным использованием оборудования и рабочей силы, с неравномерной за грузкой транспорта, необходимостью создания резервов мощностей и т.д. Комплексное регулирование сезонных изменений по отдельным отраслям должно основываться на исследовании се зонных отклонений.

Многие временные ряды имеют ярко выраженные сезонные компоненты, повторяющиеся с определенной периодичностью. Эта периодичность имеет место каждый год.

Если в анализируемой временной последовательности наблюдаются устойчивые отклонения от тенденции (в большую или в меньшую сторону), то можно предположить наличие в ряду динамики некоторых (одного или нескольких) колебательных процессов.

Это особенно заметно, когда изучаемые явления имеют сезонный характер, — возрастание или убывание уровней повторяется регулярно с интервалом в один год (например, производство молока и мяса по месяцам года, потребление топлива и электроэнергии для бытовых нужд, сезонная продажа товаров и т.д.).

Задачи, которые необходимо решить в ходе исследования сезонности:

1. выявить наличие сезонности;
2. численно выразить сезонные колебания;
3. выделить факторы, вызывающие сезонные колебания;
4. оценить последствия сезонных колебаний;
5. провести математическое моделирование сезонности.

Для измерения сезонных колебаний статистикой предложены различные методы. Наиболее простые и часто употребляемые из них:

1. метод абсолютных разностей;
2. метод относительных разностей;
3. построение индексов сезонности.

Первые два способа предполагают нахождение разностей фактических уровней и уровней, найденных при выявлении основ ной тенденции развития (тренда).

Применяя способ абсолютных разностей, оперируют непосредственно размерами этих разностей, а при использовании метода относительных разностей, определяют отношение абсолютных размеров указанных разностей к выровненному уровню. При выявлении основной тенденции используют либо метод скользящей средней, либо аналитическое выравнивание. В некоторых случаях в стационарных рядах можно пользоваться разностью фактических уровней и средним месячным уровнем за год. Использование данных за несколько лет связано с тем обстоятельством, что в отклонениях по отдельным годам сезонные колебания смешиваются со случайными. Чтобы элиминировать случайные колебания, берут средние отклонения за несколько лет.

Для выделения сезонной волны надо определить средний уровень за каждый месяц по 3-5-летним данным  и общую среднюю за весь рассматриваемый период.

Общая средняя  получается делением суммы уровней за все три-пять лет на 36 или 60 (общее число месяцев). Затем определяется абсолютное отклонение средних месячных показателей от общей средней.

Метод абсолютных разностей заключается в расчете месячных средних и общей средней с последующим их сравнением:

(18)

• yt — средний месячный уровень показателя за три и более лет,
• yc — среднемесячное значение показателя  за все годы.

Если сезонность оценивается по данным за 3 года (36 месяцев), если за 5 лет (60 месяцев):

(19)

где: yi — значение уровня динамического ряда. Величина и знак значений абсолютных отклонений определяют наличие сезонности.

В качестве показателя, характеризующего сезонную неравномерность, используется показатель относительного отклонения. Метод относительных разностей является развитием метода абсолютных разностей. Для нахождения относительных разностей абсолютные отклонения делят на общую среднюю и выражают в процентах.  По величине и знакам значений относительных отклонений можно судить о величине и силе влияния сезонного фактора.

(20)

Вместо относительных разностей за каждый месяц может быть вычислен индекс сезонности, который рассчитывается как отношение среднего уровня соответствующего месяца к общей сред ней. Индекс сезонности рассчитывается:

 

(21)

• yt — средний уровень показателя соответствующего месяца  за три и более лет,
• yc — среднемесячное (по году) значение  показателя  за все годы (общая средняя).

Рассчитанные значения индекса сезонности сравниваются со значением 100 %. Если индекс сезонности превышает 100 % — это свидетельствует о влиянии сезонного фактора в сторону увеличения уровней динамического ряда и наоборот. Расчет индекса сезонности по данной формуле не учитывает наличие тренда.  Выделение сезонной волны можно выполнить на основе по строения аналитической модели проявления сезонных колебаний. Построение аналитической модели выявляет основной закон колеблемости данного временного ряда в связи с переходом от месяца к месяцу и дает лишь среднюю характеристику внутригодичных колебаний.

 

 

 

1.7 Аналитическая волна с использованием ряда Фурье

 

Рассмотрим теперь другой способ нахождения сезонной составляющей, использующий ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. В этом виде уравнение ряда Фурье запишется следующим образом:

.                   (22)                      

В этом уравнении определяет номер гармоники ряда Фурье. От числа учтенных гармоник зависит степень точности данной аналитической модели. Обычно используются от 1 до 4 гармоник в зависимости от необходимой точности и формы сезонной составляющей. Для нахождения параметров уравнения используется метод наименьших квадратов.

.                                            (23)

Найдя частные производные этой функции и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которых дает следующие формулы для вычисления параметров:

,    ,

.                                     (24)

Как видно из формул (18), параметры уравнений зависят от значений и .

Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять (по числу месяцев в году).

В годовой динамике обозначает номер месяца. Для определения параметров и находят соответствующие уравнения -й гармоники, то есть для , уравнение примет вид , в котором параметры , и , будут найдены из соотношений:

,   ,    .         (25)

Далее определяется количество необходимых гармоник, и можно сказать, что найдено аналитическое выражение сезонной составляющей .

1.8 Оценка адекватности  и точности трендовых моделей

 

Трендовая модель считается адекватной описываемому процессу, если значения случайной остаточной компоненты εt являются случайными центрированными некоррелированными нормально распределёнными величинами. Проверка адекватности модели состоит в проверке указанных свойств ряда остатков модели.

Трендовая модель конкретного временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда.

Протяженность самой длинной серии через , а общее число серий – через . Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5%-ного уровня значимости:

;                                           (26)

,                                           (27)

где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Другим критерием для данной проверки может служить критерий пиков (поворотных точек). Уровень последовательности εt считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е.

                                      εt-1<εt>εt+1,                                         (28)

и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е.

    εt-1>εt<εt+1.                                    (29)