Алгебралық және транседентті теңдеулерді шешу үшін Pascal тілінің қайталау процесін оқып үйрену. Мектеп курсында информатиканы оқытудағы пр

Енгіз a, b, e

4    10   12

x = 5,5000

dx = 1,5000

 

№2 есеп. Итерация әдісін қолданып 10^-6 дәлдігін пайдаланып туындысын табамыз.

uses crt;

function f(k: real): real;

  begin

       f:=cos(k);

  end;

var  x,g,e,a,p,y: real;

  begin

     clrscr;

    writeln('Введите  x,e,g');

    read(x,e,g);

    a:=e*(1-g)/g;

  repeat

             y:=f(x);

             p:=x-y;

             x:=y;

   until (abs(p)>a);

               writeln('x=',x:4:4);

end.

Жауабы:

Енгіз x, e, g

4    10    12

x = 0,6536

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тест с±раќтары

1. Егер алгебралық немесе трансендентті теңдеу жеткілікті түрде күрделі болса, онда….

1. оның түбірлерін дәл табуға болмайды.

2. түбірлерін кез-келген жағдайда дәл табуға болады.
3. оның түбірлерін өте сирек жағдайда дәл табуға болады.
4. оның түбірлерін жорамал түрде табуға болады.

2. Егер функциясы шексіз интервалында анықталған және үзіліссіз болса, сонымен қатар, үшін (6) теңсіздік орындалса, онда …

1. теорема дұрыс болып табылады.
2. теорема дұрыс емес болып табылады.
3. Кейде дұрыс кейде дұрыс емес болып табылуы мүмкін
4. Теңсіздік орындалмайды

3. Егер теорема шарттары орындалса, бастапқы мәнін [a,b] кесіндісінен кез-келген етіп алсақ итерация әдісі жинақты бола алады ма?

1. иә жинақты бола алады
2. жоқ бола алмайды
3. болуы мүмкін
4. жинақсыз болады.

4. аралығында (3.5) өрнегімен берілген функция үзіліссіз және ал, болғандықтан оның…

1. бір ғана түбірі болады
2. екі түбірі болады
3. түбірі болмайды
4. бір немесе екі түбірі болады

5. АВ хордасаның теңдеуі қандай формулаға тең.

6. Егер, х₁ -  бастапқы жуықтау болса  (f(x) таңбасы f(x₀)) таңбасына қарама қарсы, онда келесі жуықтаулар келесі әдістермен құрылады:

a)          (n=2.3…)

b)    

c)   

5.  

7. Дербес жағдайда x_n және үшін жалпы цифрлар дәл түбіріне тиісті болғанда қанша жағдай болуы мүмкін:

1. 4 жағдай
2. 2 жағдай
3. 1 жағдай
4. 5 жағдай

8. А₁ В₁, А₁ , В₂ А₂ … сынығының басқа түрі болуы мүмкін яғни, “баспалдақ” түріндегі шешімі … жағдайда болады.

9. А₁ В₁, А₁ , В₂ А₂ … сынығының басқа түрі болуы мүмкін яғни,  “спираль” түріндегі шешім …жағдайында болады.

10. Ньютон әдісін жаз:

11. Егер функциясы шексіз интервалында анықталған және үзіліссіз болса онда теорема … болып табылады.

1. дұрыс
2. дұрыс емес
3. шексіз
4. жинақты

12. Мына формула кімнің әдісі

1. Ньютон әдісі
2. Рунге-Кутта әдісі
3. Коши әдісі
4. Гаус әдісі

13. Мына формула қай түрдегі шешім болып табылады

1. Спираль
2. Баспалдақ
3. Шексіз
4. Жинақты

13. Мына формула қай түрдегі шешім болып табылады

1. Баспалдақ
2. Спираль
3. Дұрыс емес
4. Жинақты

14. Мына формула қандай теңдеуге тең

1. АВ хордасаның теңдеуі
2. АВ параболасының теңдеуіне тең
3. АВ жанамасының теңдеуіне тең
4. АВ жазықтығының теңдеуіне тең

15. Теорема қай кезде жинақты болады?

1. Егер теорема шарттары орындалса, бастапқы мәнін [a,b] кесіндісінен кез-келген етіп алсақ итерация әдісі жинақты бола алады.
2. Егер теорема шартсыз орындалса, бастапқы мәнін [a,b] кесіндісінен кез-келген етіп алсақ итерация әдісі жинақты бола алады
3. Егер теорема шартсыз орындалса, бастапқы мәнін [a,b] кесіндісінен кез-келген етіп алсақ гаус әдісі жинақты бола алады
4. Егер теорема шартты орындалса, бастапқы мәнін [a,b] қисығынан кез-келген етіп алсақ гаус әдісі жинақты бола алады

 

 

Қосымша бөлім

1. Теңдеулердің  графигін шешу 

13-сурет 

 

 

 

 

2. Ньютонның  түрі өзгертілген әдісі

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Конбинацияланған  әдіс

25-сурет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    27-сурет    

 

 

 

 

 

 

28-сурет

 

 

 

 

 

 

 

Итерация. 29-сурет 

 

 

 

 

 

Итерация. 33-сурет

Зерханалық жұмыс 

Тақырыбы: Сызықты емес жүйенің туындысын табу.

Мақсаты: Сызықты емес жүйенің туындысын Ньютон әдісімен ЭЕМ-де оқу

        және реализациялау.

 

Әдістемелік нұсқау

 

Көптеген практикалық есептер  сызықтық емес теңдеулер жүйесін  шешуге алып келеді. Сызықты туындылырға  қарағанда сызықты емес туныдыны жүйелерін шешуге тікелей әдіс болуы  мүмкін емес.  Сондықтан сызықты  емес туынды жүйесін шешу үшін көбінесе итарациондық әдісі қолданылады және оларға Ньютон әдісі қатысты болып келеді. Итерациондық әдіске қарағанда Ньютон әдісі жылдамырақ шешімге алып келеді. Басқада итерациондық әдістер сияқты Ньютон әдісіне басқа әдістер көмегімен қажеттіліктер арқылы бастапқы анықтаулармен жуықтау керек (мысалы, графикалық). 

х₁, х₂,..,х_n  белгісіз n сызықты емес жүйесімен анықтайық

     (1)

және де белгісізі  а₁,а₂, …, а_n белгілі жуықталған мәнінде болсын. Есе мына мәндердің Dх₁, Dx₂, …, Dx_n  өсімшесін табудан тұрады, (1) жүйенің шешімінің арқасында былай жазылады

X₁=a₁+Dx₁, X₂=a₂+Dx₂, …, X_n=a_n+Dx_n.  (2)

 

F_i (i=1,…,n) функциясын Dх_i (i=1,…,n) өсімшесі үшін Тейлро қатарына қоямыз, өсу қатысын сызықты мүшеде біріктіреміз

     (3)

немесе

  (4)

 

F₁,F₂,…,F_n  мәні және оның өндірісі х₁=а₁, х₂=а₂,…., x_n=a_n арқылы есептеледі.

(4) алгебралық туныдысының анықталу жүйесі х₁ (i=1,…,n) якодианға қатысты болып келеді.

    (5)

Жалғыз жүйенің шешілуі  үшін әр итерацияд нольден бөлек болып тұруы керек. Ньютон методында бастапқы жуықтауды таңдау жақсы болып табылады.

Жүйе екі туныдыдан  болғанда

     (6)

бастапқы жуықтаулармен х=а, y=b (4) жүйе былай жазылады:

    (7)

Якобиан нольден айырылып тұрсын:

     (8)

Онда, сызықты теңдеу жүйесін шешу үшін Крамера әдісін пайдаланып, мына өсімшені аламыз Dх, Dу:

Онда, белгісіз жуықтау мына түрде жазыладые:

   (9)

Мысал ретінде Ньютон әдісінің бір итерациясын аламыз

Мысал, Жүйенің веществалық түрін  табу

    (10)

Шешуі: Бастапқы жуықтауды анықтау үшін F(x,y), G(x,y) графикалық функциясын саламыз.

a=1.2, b=1.56 бастапқы жуықтауы тең болсын. (10) жүйеге қойып мынаны аламыз: F(1.2, 1.56)=-0.0224;  G(1.2, 1.56)=-1.0043008.

Якобианды есептейік:

Dx=0.0375106     Dy=0.1110551

Онда:

x=a+ Dx=1.2+0.0375106=1.2375106

y=b+ Dy=1.56+0.1110551=1.6710551

Бұл алынған түбірлердің міндер процестерін қайталау отырып жуықтауларды анықтауға болады.

 

.Жаттығу

1. Жоғарыда келтірілген мысал бойынша түбірдің екінші жуықтауын тап

2. Таңдалып алынған варианттың графигін сал.

 

 Бақылау сұрақтары.

1. Ньютон әдісінің ерекшелігі?

2. Қандай әдіспен бастапқы жуықтауларды анықтауға болады?

3. Ньютон әдісінің итерациясына бастапқы жуықтаулар әсер етеді ма?

4. Қандай шарт кезінде сызықты емес жүйенің Ньютон әдісі бойынша бір ғана шешімі болады?

 

Қорытынды

 

Қазіргі заманда сандық әдістер  үлкен орын алады, әсіресе матеметикалық  әдістердің әртүрлі облыстағы ғылымның және жоғары сапалы ЭЕМ -нің пайда болуымен түсіндіріледі.

ЭЕМ мұғалімдерге математикалық модельдің  ең қиын білім және техникасының эффектісін жоғарылатуға мүмкіндік береді. Бүгін  де санау әдістерін зерттеу  адамзат  тіршілігіне тугелдей енген, ал матиматикалық модельдер тану прцесі жолында. 

Бүгінгі аса маңызды есептерді, мәселен, сызықтық емес теңдеулерді,  шешу жетістіктері компьютерсіз және сандық әдістерсіз мүмкін болмас еді.

Жұмыста сызықтық емес теңдеулерді шешудің тәжірибеде көп тараған үш әдісі  қарастырылған, олар: түбірді бөліп алу әдісі, жартылай бөлшектеу  әдісі және жай итерация әдісі.

Дәл нәтижеге жету мақсатында мысалдар толығымен түсіндіріліп қарастырылған. Берілген мысалдарда теңдеулер  алдымен шығарылып содан соң құрастырылған программа бойынша компьютерде шығарылады.

Жаңа технологияны қолданудың арқасында  компьютермен жұмыс істеу балалардың оқуға  деген құштарлығын жоғарылатады.

Оқу процесінде осы әдістерді пайдалану оның индивидуализациялау және дифференциалдануына мүмкіндік береді, соның арқасында оқушылардың берілген шешімдерді өте тез ұғуына мүмкіндік береді.

 

 

 

 

 

 

Қолданылған әдебиеттер

1) Б.П. Демидович, И.А.  Марон, Э.З. Шувалова "Численные  методы анализа", издательство "Наука", Москва, 1967г.

2) Л.И. Турчак " Основы численных методов", издательство "Наука", Москва, 1987г.

3) В.М. Заварыкин, В.Г.  Житомирский, М.П. Лапчик, "Численные  методы", издательство "Просвещение", Москва, 1991г.

4) Н.С. Бахвалов, "Численные  методы", издательство "Наука", Москва, 1975г.

5) Е.А. Волков  "Численные методы",  издательство  "Наука",  Москва, 1987г.