Алгебралық және транседентті теңдеулерді шешу үшін Pascal тілінің қайталау процесін оқып үйрену. Мектеп курсында информатиканы оқытудағы пр

Қайсыбір  -нүктесінен бастап А₀В, А, В₂ А₂… сынық сызығын құраймыз. А₁ және В₁, А₂   және   В₂ … нүктесінің ортақ абциссалары түбірінің сәйкес х₁, х₂ ,… тізбектелген жуықтауларын береді.

Сонымен қатар А₁ В₁, А₁ , В₂ А₂ … сынығының басқа түрі болуы мүмкін яғни, “баспалдақ” түріндегі шешімі жағдайда болады. Ал “спираль” түріндегі шешім жағдайында болады.

 

29 суретте  түбірінің аймағында –баяу өзгереді, яғни .Осындай итерация процесі жинақталады.

Ал егер жағдайда итерация процесі жинақталмауы мүмкін. Сондықтан итерация әдісінің практикалық қолданылуы үшін итерациялық процестің жинақталуының жеткілікті шарттарын анықтау керек.

Теорема1.

-сы  [a,b] –да анықталған және дифференциалданады және оның  .

Сонда орындалатындай q дұрыс бөлшегі a<x<b жағдайында бар болса, онда:

1.    (7) итерация процесі бастапқы мәнінен тәуелсіз жинақталады.

2.   шектік мәні [a,b]- да -ң жалғыз түбірі болып табылады.

 

Дәлелдеу.

 және тізбектілген жуықтауларын қарастырамыз. Осыдан Лагранж теоремасынан мұндағы    (6)-шы шарттың негізінде    (9) n=1,2,… мәндерін бере отырып

 (10) аламыз.

 

 

Біздің x_n тізбектей жуықтауларымыз (n+1)-ші дербес қосындылары болатын, яғни болатын қатарын қарастырайық.

(10) теңсіздікті ескере отырып (11) қатар мүшелерінің абсалют шамасы еселігі q-1 геометриялық прогрессияның сәйкес мүшелерінен кіші екенін көреміз. Сондықтан (11) қатар абсалют жинақты.

Демек    бар және екені айқын.

 функцияларының үзіліссіздігін  ескере отырып, (7) теңдікте шекке көшсек:   (12) екенін аламыз.

Сонымен -(8) теңдеудің түбірі. [a,b] кесіндісінде (8) теңдеудің басқа түбірі жоқ. Шындығында егер   (13) болса, онда (12) және (13) теңсіздіктерден мынаны аламыз:

Бұдан   (14)

Мұндағы теңсіздігін аламыз. Квадрат жақшадағы өрнек нөлге тең емес болғандықтан, , яғни  жалғыз түбір екені шығады.

Ескерту 1   Егер функциясы шексіз интервалында анықталған және үзіліссіз болса, сонымен қатар, үшін (6) теңсіздік орындалса, онда теорема дұрыс болып табылады.

Ескерту 2  Теореманың шарттары орындалса, бастапқы мәнін [a,b] кесіндісінен кез-келген етіп алса да итерация әдісі жинақты болады. Осының арқасында бұл тәсіл өзін-өзі түзеуші болып табылады, яғни  [a,b] кесіндісінен шығармайтын соңғы нәтижеге әсер етпейді, себебі қате (дұрыс емес) мәнді жаңа бастапқы мәні ретінде қарастыруға болады, тек жұмыс көлемі өсуі мүмкін. Өзін-өзі түзету қасиеті Итерация әдісін есептеу әдістеріндегі сенімділігінің  бірі етеді. Бірақ бұл әдісті қолданғанда қателіктер қайталана берсе, онда оның қажетті нәтиже алуға кесір келтіруі мүмкін.

  Жуықтауды бағалау.

(10) формуладан мынаны аламыз:

Геометриялық  прогрессияның қосындысын табайық:    

P санын шексіздікке ұмтылдырып және екенін ескере отырып      (15) екенін табамыз.

Осыдан неғұрлым q саны кіші болса, сол ғұрлым итерация процесі жылдам жинақты болатыны түсінікті.

Жуықтауды бағалау үшін, кейбір жағдайда пайцдалы болатын, басқа  да формуланы келтірейік. Айталық,

 

болсын. Онда екені айқын. Осыдан, екенін ескерсек , мынаны аламыз:

мұндағы , демек

      (16)

яғни,       (16^')

(9)- шы фомуланы пайдалана отырып,      (16^'')

екенін аламыз. Осыдан, дербес жағдайда, егер болса, онда екенін, яғни бұл жағдайда тізбегінен  .

Ескерту. Мынадай кең тараған пікір бар: Егер Итерация әдісін қолданғанда және екі тізбекті жуықтаулары берілген дәлдікпен беттессе, онда теңдігі де сондай дәлдікпен дұрыс жалпы жағдайда бұл тұжырымның дұрыс емес екенін көруге болады. Мұнымен қоса егер 1- ге жақын болса, онда өте за болса да, үлкен болса алатынын оңай көрсетуге болады. (16) формуласы жуық мәнінің қателігін және екі тізбекті жуықтауларының қашықтығымен  бағалауға мүмкіндік береді.

 Итерациялау процесін және екі тізбекті жуықтаулары үшін   

тізбегіндегі  орындалатын болғанға дейін жалғастыру керек, мұндағы 

 және  түбірінің шектік абсалюттік қателігі және

тізбегін аламыз, яғни

.

Егер  және болса, онда ,

яғни       

 

Сонымен, жинақты  итерациялық процесте қателігі монотонды түрде нольге ұмтылады, яғни әрбір x_n -ның келесі мәні, алдыңғы x_n-1 мәніне қарағанда дәлірек болады. Әрине, барлық бұл қорытындылауларда жуықтау қателіктері ескерілмейді, яғни тізбекті жуықтау дәл табылды деп есептелінеді.

Практикада (тәжірибеде) (2)- теңдеудің түбірінің бар екені дөрекі тәсілдермен анықтайды да, итерация әдісімен бұл түбірдің жеткілікті дәл жуық мәнін табу талап етіледі, сонымен қатар (6) теңсіздік бұл түбірдің тек кейбір (a,b) аймағында ғана орындалады.

Бұл жерде егер х₀ бастапқы мәні дұрыс таңдап алынбаса, онда тізбекті жуықтаулары (a,b) интервалынан шығып кетуі немесе мағынасын жоюы мүмкін. Сондықтан 1- теореманың келесі басқаша айтылуы пайдалы:

Теорема2 -функциясы қандай да бір (a,b) кесіндісінде анықталынған және дифференциалданатын болсын, сонымен қатар

    (17)

теңдеуінің ( ) кесіндісінде жататын түбірі бар болсын, мұндағы және  (33-сурет)

 

Онда егер:  a) үшін; b) x₀ бастапқы жуықтауы кесіндісіне тиісті болса, онда:

1. барлық тізбекті жуықтаулар (a,b) интервалына тиісті:

2. тізбекті жуықтау процесі- жинақты яғни 

шегі бар және -(17) теңдеудің кесінділеріндегі жалғыз түбірі,

3. (15) бағалау дұрыс.

Дәлелдеу:

1. Шындығында, болсын. Онда теңдігі айқын және мағынасы бар болады.

 теңдігін қолдана отырып, Лагранж теоремысының негізінде

  теңдігін аламыз. Осыдан Жалпы егер және   болса, онда мағнасы бар және 

Демек, мұндағы n=1,2,3,…

2) және 3) тұжырымдардың дәлелдеулері 1-теореманың дәлелдеуіне ұқсас.

 

Мектептерде информатика пәнін  оқытудың

проблемалыќ ерекшеліктері.

Информатика сабағында  математикалық есептерді шешу қиындау болып келеді. Бүған мысал, математика сабағында оқытылып жүрген материалдар көбінесе ұмыт қалған. Сондықтан есеперді шешу үшін мақсатты түрде барлығы қолданып жүрген математикалық теорема, келтіріліп жүрген мысалдар, әдістемелерді қолданамыз.

Информатика пәнін  компьпютерде қолданып оқыту барлық мектептерде жолға қойылған. Информатика  пәні кейбір терењдетіліп оќытылдатын  мектептерде тµменегі сыныптардан  басталып оќытылады, ал кей бір мектептерде 10-шы сыныптан бастап оқытылуда. Информатика пәнінің басқа пәндер ерекшеліктеріне қарамастан сабақ 45 минуттан өткізілуде. Оқушыларға барлық материялды түсіндіріп, тапсырмаларды орындаудың қандай қиыншылықтар тудыратыны өз-өзінен белгілі:

      Бір сыныпта оқитын балалардың  компьютер жөнінде білім деңгейлері әртүрлі болып келеді. Тәжірибе көрсеткендей сыныптағы оқушыларды бастапқы деңгейлеріне қарай мынадай 4 топқа бөлуге болады.

1) Бұрын компьютерде жұмыс істегендіктен, пернелер тақтасы және тышқанмен жұмыс істеуге дағдыланған, оқу материалын  тез игеріп кететін алғащқы түсініктері қалыптасқан оқушылар;

2) Бұрын компьютерде жұмыс істеп дағдыланғандықтан, оқу материалын өте оңай, өзін сабаққа қатыспауға да болады деп санайтын оқушылар;

 Мысалы оќушыѓа берілген тапсырманы орындай алмаса осы жаѓдайдан ќалай шыѓару керек. Ол ‰шін оќушыѓа дењгей бойынша тапсырмалар беріп, оларѓа т‰сікті емес жерлерін т‰сіндіріп отыру ќажет.

 

 

Практикалыќ бµлім

№1 есеп. Ньютонның келісу жылдамдық әдістемесі квадратталған. Сызықты емес туынды есебінің басқа да жуықталған әдістемелік түрі бар. Сондай-ақ кейбір қосылыстар жалдымырақ. Негізгі алгоритмде программа бірнеше қатардағы барлық жеке өндірісті ұйымдастыру керек. Өндірістің функциясын есептеу алгоритмін программалау тікелей әдістеме. Мыс: n=2.

F(x,y)=cos(x)cos(y)-0,1x-0,2y+0.5xy анализдеу арқылы оның бірінші өндірісті тағайындалған функцияның экстремумын есептейміз. Бұл есеп 2 жүйелі сызықты емес туындысының шешіміне ұқсас тұр:

program nonlinear_system;

uses crt;

const

        max=20;

        eps=1.0e-10;

        eta=1.0e-3;

  type

          vector_fun=function(J:word;x,y:real):real;

   var   x,y:real;

         i,n:word;

         ch:char;

function F(x,y:real):real;

begin

        F:=cos(x)*cos(y)-0.1*x-0.2*y+0.15*x*y;

   end;

  function G(j:word; x,y:real):real;far;

  begin

        if j=1 then

            G:=-sin(x)*cos(y)-0.1+0.15*y

       else

             G:=-cos(x)*sin(y)-0.2+0.15*x;

   end;

   function dG(j,k:word;x,y:real):real; far;

   begin

        if j=1 then

           dG:=-cos(x)*cos(y)

       else

            begin dG:=sin(x)*sin(y)+0.15;

           end;

         begin

                 if k=1 then

                     dG:=sin(x)*sin(y)+0.15

                else

                dG:=-cos(x)*cos(y);

                end;

                end;

      procedure solve (G:vector_fun; var x,y:real);

          var

               j,k:integer;

               r,s,t,u,v:real;

               singular:boolean;

               ch:char;

       procedure Newton_step(var x,y:real);

              var

                   def:real;

                   j,k:word;

              begin

                   u:=G(1,x,y);

                   v:=G(2,x,y);

                   r:=dG(1,1,x,y);

                   s:=dG(1,2,X,Y);

                   T:=dG(2,2,x,y);

                   def:=r*t-s*s;

             if abs(def)<eta then

                  singular:=true

             else

                   begin

                        singular:=false;

                        x:=x-(t*u-s*v)/def;

                        y:=y-(s*u+r*v)/def;

                        end

                        end; {Newton_step}

                     begin {solve}  repeat

                     Newton_step(x,y);

                     dec(i);

                     until singular or(i=0)or(abs(u)+abs(v)<eps);

                     if singular then

                              writeln('аҐиҐ­Ёп ­Ґв')

                        else

                             if i=0 then

                      begin

                              writeln(n,'ЁвҐа жЁп');

                           writeln ('F(',x,' ,',y,')=(',u,',',v,')')

                       end

                          else

                              writeln ('аҐиҐ­Ёп:(x,y)=(',x,',',y,')');

                         end;{solve}

                       begin clrscr;

                       x:=0.0;

                       y:=0.0;

                       i:=max;

                       solve (G,x,y);

                       writeln('F(x,y)=',F(x,y));

                       writeln;

                       end.

Жауабы:

F(2.21526182907633E+0002,1.18389568040520E+0003)=(2.45557144204853E+0002, 7.66220769555075E+0001)

F(x,y)= 3.90806907323599E+0004

 

№2 есеп. sin 2x – lnx = 0 туындысының тізбектегі жалғыз түбірі бар [1,3; 1,5]. Есепті 10^-4 дейінгі дәлдігімен кесіндіні қақ бөлу әдісімен ЭЕМ-де  шешеміз.

uses crt;

function f(k: real): real;

begin

   f:=cos(k);

end;

var  c,x,dx,e,a,b: real;

begin

clrscr;

e:=0.1;

writeln('Введите  a,b,e');

read(a,b,e);

  repeat

   c:=(a+b)/2;

   if f(a)*f(c)<0 then b:=c else a:=c;

  until ((b-a)>e);

x:=(a+b)/2;

dx:=(b-a)/2;

writeln('x=',x:4:4,' dx=',dx:4:4);

end.

Жауабы: