Алгебралық және транседентті теңдеулерді шешу үшін Pascal тілінің қайталау процесін оқып үйрену. Мектеп курсында информатиканы оқытудағы пр

Тақырыбы: Алгебралық және транседентті теңдеулерді шешу үшін Pascal тілінің қайталау процесін оқып үйрену. Мектеп курсында информатиканы оқытудағы проблемалық оқытудың ерекшеліктері.

Мақсаты: Алгебралық және транседентті теңдеулерді шешу үшін  Pascal    

   тілінің қайталау процесін оқып үйрену.

Жоспар

Кіріспе

 Теориялық бөлім

1. Алгебралық  және транседентті теңдеулерді  жуықтап шешу

1.1. Теңдеулердің  графиктік шешімі.

1.2. Кесіндіні қақ бөлу

1.3. Хорда әдісі

1.4. Ньютон әдісі (Жанамалар әдісі)

1.5. Ньютонның түрі өзгертілген әдісі.

1.6. Комбинацияланған  метод.

1.7. Итерация әдісі

 

  2. Мектеп  курсында информатиканы оқытудағы  проблемалық оқытудың ерекшеліктері.

Практикалық бөлім

І. Алгебралық және транседентті теңдеулерді шешу үшін  Pascal тілінің қайталау процесі бойынша есеп шығару

ІІ. Мектеп курсында информатиканы оқыерекшеліктерін  ашып көрсеті.

Қосымша

Зертханалық жұмыс

Қорытынды

Әдебиеттер

МАЗМҰНЫ

Кіріспе...........................................................................................................................3

 Теориялық бөлім……………………………………………………….....................4

1. Алгебралық және транседентті  теңдеулерді жуықтап шешу……......................4

1.1. Теңдеулердің  графиктік шешімі…………………………………......................4

1.2. Кесіндіні қақ бөлу………………………………………………….....................5

1.3. Хорда әдісі………………………………………………………….....................6

1.4. Ньютон әдісі (Жанамалар әдісі)…………………………………......................7

1.5. Ньютонның түрі өзгертілген әдісі……………………………….......................8

1.6. Комбинацияланған метод………………………………………….....................8

1.7. Итерация әдісі……………………………………………………........................9

2. Мектеп курсында  информатиканы оқытудағы проблемалық  оқытудың ерекшеліктері………………………………………………......................................16

Практикалық бөлім……………………………………………………..................17

І. Алгебралық және транседентті теңдеулерді шешу үшін  Pascal тілінің қайталау процесі бойынша есеп шығару…………………………….....................17

ІІ. Мектеп курсында информатиканы  оқу ерекшеліктерін ашып көрсету…………………………………………………………………….................18

Тест  сұрақтары…......…………………………………………………..................17

Қосымша………………………………………………………………….................27

Зертханалық жұмыс………………………………………………………………29

Қорытынды………………………………………………………………................32

Әдебиеттер………………………………………………………………...............37

 

 

 

Кіріспе

ЭЕМ -ді есептеу үшін математикалық  әдістер сандық әдістеріне  негізделеді. ЭЕМ мұғалімдерге математикалық модельдің ең қиын білім және техникасының эффектісін жоғарылатуға мүмкіндік береді. Бүгін де санау әдістерін зерттеу  адамзат тіршілігіне тугелдей енген, ал матиматикалық модельдер тану прцесі жолында. 

Бүгінгі аса маңызды есептерді, мәселен, сызықтық емес теңдеулерді,  шешу жетістіктері компьютерсіз және сандық әдістерсіз мүмкін болмас еді.

Жұмыста сызықтық емес теңдеулерді шешудің тәжірибеде көп тараған үш әдісі  қарастырылған, олар: түбірді бөліп алу әдісі, жартылай бөлшектеу  әдісі және жай итерация әдісі.

Дәл нәтижеге жету мақсатында мысалдар толығымен түсіндіріліп қарастырылған. Берілген мысалдарда теңдеулер алдымен шығарылып содан соң құрастырылған программа бойынша компьютерде шығарылады.

Жаңа технологияны қолданудың арқасында  компьютермен жұмыс істеу балалардың оқуға  деген құштарлығын жоғарылатады.

Оқу процесінде осы әдістерді пайдалану оның индивидуализациялау және дифференциалдануына мүмкіндік береді, соның арқасында оқушылардың берілген шешімдерді өте тез ұғуына мүмкіндік береді.

Сызықты емес теңдеуді шешу үшін ең маңыздысы қолданбалы анализ есебі, қажеттілік, көпсандылық, және физикалық әртүрлі бөліктері, механиканың және басқа облыстар. 

 

 

 

 

 

 

Теориялық бөлім

Алгебралық және транседентті теңдеулерді

жуықтап шешу.

Егер алгебралық немесе трансендентті  теңдеу жеткілікті түрде күрделі  болса, онда оның түбірлерін өте сирек жағдайда дәл табуға болады. Сонымен қатар, кейбір жағдайларда теңдеу коэффициенттерінің тек жуық мәні белгілі болады да, теңдеу түбірін дәл анықтау есебінің мағнасы жоғалады. Сондықтан теңдеу түбірін жуықтап табу әсері мен олардың дәлдік дәрежесін бағалау мыңызды роль атқарады.

Айталық теңдеу берілсін, мұндағы f(x) функциясы қандай да бір шектеулі немесе шектеусіз интервалында a<x<b.

Кейінірек кейбір жағдайда үзіліссіз f^’(x) және f^’э(x) керек болдаы. Барлық жағдайда ноль болады, яғни тең болады. Бұл түбірдің теңдеуі деп аталады.

 

Теңдеулердің графиктік шешімі.

f(x)=0    (1) теңдеулернің нақты түбірлерін жуықтап y=f(x)

функциясының  графигі мен Оx осінің қиылысу  нүктелерінің абциссалары ретінде анықтауға болады.

Егер (1) - дің бір-біріне жақын жатқан түбірлері болмаса, онда осы әдіспен олар оңай бөлініп тасталынады. Тәжірибеде (1)-ші теңдеуді (2) теңдеуімен ауыстыру ыңғайлы болады. Мұндағы (x) және (x) функциялары f(x)-ке қарағанда қарапайым функциялар. Енді, y= (x) және y= (x) формулаларының графигін салып, іздеуді осы графиктердің қиылысу нүктелерінің абциссалары ретінде аламыз.

Мысалы: (3)  xlgx=1 теңдіктерін графиктік әдіспен шеш. Шешуі: (3) –ші теңдеуді келесі түрде жазайық

(2)-ші теңдеудің түбірлерін табу әлдеқайда оңай болады, егер  (x) және (x) функциясының біреуі сызықыты болса, яғни болса, онда теңдеу түбірлері (x)  қисығы мен y=ax+b түзуінің қиылысуы нүктелерінің абциссалары. Бұл әсіресе, тек сызықты функцияның a және b коэффициенттері әртүрлі болатын біртүрдегі теңдеулерді шешкенде ыңғайлы. Мұнда графиктік құрылым тұрақты (x) қисығын әртүрлі түзулермен қиылыстыруға келеді. Осындай түрге үшмүшелігі де жатады. Бұдан (3) теңдеудің түбірлері y=lgx логарифм қисығымен гиперболасының қиылысу нүктелерінің абциссалары ретінде табылады. Осы қисықтарды координаталардың қағазға салып, (3) теңдеудің жуықтап жалғыз түрін табамыз.

Кесіндіні қақ бөлу

 аралығында (3.5) өрнегімен берілген функция үзіліссіз және ал, болғандықтан  (бұл жердегі - сәйкес ең жеңіл және ең ауыр  компоненнтті қайнату температуралары) бір ғана түбірі бар.

Кесіндіні қақ бөлу әдісін дәл есептеу үшін келесі түрде  кірісеміз: аралығын қақ бөлеміз және  f(T) функциясының мәнін  орта нүктеде есептейміз. Егер, болса, онда -теңдеудің шешімі болып табылады.

Егер, болса, онда түбір жатқан келесі аралық ретінде функция қарама-қарсы  мағынаға ие аралық алынады.  Берілген жағдайда , болғанда, алда аралық қарастырылады, ал, болғанда, аралығы алынады.

Таңдалған аралықтардың бірімен сәйкес әрекетті қайталай отырып, шекті нүктесі теңдеудің шешімі болып табылатын ішкі аралықтардың белгілі бір жиынын аламыз.

Белгілісі, аяқталу шарты ретінде берілген дәлдік дәрежесінде, функция мәні нөлге жақын болған және аралық ұзындығы берілген мәннен аспаған жағдайлардың бірі алынады.

 

Хорда әдісі

Біз f(x) функциясы мәнін аустыратын [a,b] аралығын тапқан болайық. Анықтық үшін, f(a)>0, f(b)>0 қабылдаймыз. Итерация процесі (1) теңдеудің түбірлеріне жуықтау ретінде х₂, х₃,… хорданың абцисса өсімен қиылысу нүктелерінің мәндері қабылданады. АВ хордасаның теңдеуі тең.

Оның (x=x₂, y=0) абцисса өсімен қиылысу нүктесі ретінде теңдеуді аламыз.

     Гоеметриялық тұрғыдан,бұл әдіс =f(x) қисығын А және В нүктелері арқылы өтетін хордаға ауыстыруға эквивалентті .

     Алдағы жағдайда бұл әдісті f(x) функциясы соңында қарама- қарсы таңбаға ие болатын , кесінділердің біріне қолдана отырып,  х₃ түбірінің екінші жуықтауын аламыз және т.б.

Итерация процесі f(xn) мәні модулі бойынша берілген Е санынан кіші болған жағдайға дейін жалғаса береді.

        Бұл мәндерді жинақтай отырып , біз мына пікірге келеміз , егер,

х₁ -  бастапқы жуықтау болса  (f(x) таңбасы f(x₀)) таңбасына қарама қарсы, онда келесі жуықтаулар келесі әдістермен құрылады:

         ^(n=2.3…)

Егер f(x) функциясының екінші туындысы [a,b] аралығында өз таңбасын сақтаса, онда қозғалмайтын x нүктесін таңдау үшін

F(x )* f^ээ(x )>0    шартынан шығару керек.

 

Ньютон әдісі (Жанамалар әдісі)

Бұл әдістің  алдыңғы әдістен айырмашылығы: k-сыншы итерацияда хорданың орнына x=x болғандағы y=f(x) қисығына жанама келтіріледі және жанаманың абцисасы өсімен қиылысу нүктесі ізделеді.

    Теорема: Егер, f^э(x) және f^ээ(x) болғанда, нөлге тең емес болса және a<x<b болғанда белгілі бір таңбаларды сақтаса онда F(x )* f^ээ(x )>0 теңсіздігін қанағаттандыратын бастапқы x [a,b] жуықтауынан бұрын, кез-келген дәлдік нүктесі бойынша теңдеудің жалғыз түбірін Ньютон әдісімен есептеуге болады:

    

       Ньютон әдісі қарапайым геометриялық интерпретацияны келтіреді.

Егер, координатасы (x₀ ,f(x₀ )) , болатын b нүктесі арқылы y- f(x )= f^’(x )*(x- x ) жанамасын жүргізсек, онда x =x - f(x )/ f^’(x ) абциссасы осы жанаманың Ox (y=o) өсімен қиылысу нүктесі – f(x)=0 теңдеуінің түбірінің кезекті жуықтауы болып табылады.

    Осыған сәйкес, келесі жуықтаулар да b , b₂ және т.б. нүктелермен өтетін жанамалардың абцисса өсімен қиылысу нүктелері табылуы мүмкін. нөлге тең болмауы қажет.

 

 

 

Ньютонның түрі өзгертілген әдісі.

 Егер f^’(x)  [a,b] кесіндісінде  аз өзгерсе, онда алдыңғы тақырыптағы (3) формулада       (1)  деп алуға болады. Осыдан f(x) =0 теңдеуінің түбірі үшін тізбектелінген жуықтауларды аламыз. Геометриялық тұрғыда біз нүктелеріндегі жанамаларды y=f(x) қисығының тиянақталған (24-сурет) нүктелерінен өтетін жанамаға параллель түзулермен алмастырамыз.

(1) формула -нің мәндерін есептеу қажеттілігінен босатады. Яғни бұл формула  -ң күрделі болған жағдайында өте тиімді. 

 және туындыларының таңбалары тұрақты деп есептегенде (2) жуықтаулар тізбегі сәйкес процесі беретіндігін дәлелдеуге болады.

 

Комбинацияланған әдіс.

Айталық f(a) f(b)<0, ал және [a,b] кесіндісінде тұрақты таңбаларды сақтайды. Приопорционал бөліктер және Ньютон әдістерін біріктіре отырып әрбір сатысында f(x) теңдеуінің дәл түбірлерінің  асып кетуі бойынша және жетіспеуі бойынша мәндерін табатын әдісті аламыз.

Дербес жағдайда x_n және үшін жалпы цифрлар дәл түбіріне тиісті болады.  Мұнда төрт жағдай болуы мүмкін:

1.  (25 - сурет)
2.  (26 - сурет)
3.  (27 - сурет)
4.  (28 - сурет)

Біз бірінші  жаңдайды қарастырумен тоқталамыз. Қалған жағдайлар осындай жолмен анықталады және есептеулер сипатын суреттерге қарап оңай түсінуге болады.

 

Б±л жаѓдайда бірінші жаѓдайда ќарастырылытан f(x)=0 тењдеуін оѓан мєндес - f(x)=0 немесе + f(x)=0, м±ндаѓы z=-x, тењдеуімен аусытыру арќылы тењ жаѓдайѓа келтіруге болады.

Сонымен f^’(x)>0 жєне f^’’(x)>0,   болсын.

5-6 тараудан мына тењдеуі  шыѓады:

Егер x_n жуыќ т‰бірініњ абсалютті ќателігі алдын-ала беріліп, -ге тењ болса, онда жаќындау процесі   болѓанда тоќтайды.

Процесс аяќталѓанда  т‰бірініњ мєні ретінде соњѓы мєндерініњ арифметикалыќ орташасын алѓан д±рыс.

 

Итерация әдісі

 F(x)=0 (1) теңдеуі берілсін. Мұнда F(x) үздіксіз функция және бізге оның нақты түбірін табу керек. (1) теңдеуді оған тепе-тең (2) теңдеуін қарастырайық. Қандай да бір әдіспен х₀ түбірінің жуық мәнін таңдап алып (2) – ші теңдеудің оң жағына қояйық. Сонда   (3) санын аламыз. (3)- дің оң жағында х₀ –ң орнына х₁ санын қойып, жаңа санын аламыз. Осы процесті жалғастырып келесі сандар тізбегін аламыз:      (4)

Егер осы  тізбек жинақты болса, яғни шегі табылады, онда (4)-де шекке көшіп және функциясын үзіліссіз деп санап

   немесе     (5) табамыз.

Сөйтіп, шегі (2)- ң түбірі болып табылады және (4) фомула бойынша кез-келген дәлдікпен есептелінеді.

   Геометриялық әдісі:

ХОУ жазықтығында y=x және функциясының графигін салайық:(1) –ң әрбір нақты түбірі қисығы мен y=x түзуінің М қиылысу нүктесінің абциссасы болады.