Шпаргалка по "Геометрие"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21. Правильная пирамида. Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды.

Правильная  пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высоты совпадают с центром этого многоугольника. 

Осью правильного  пирамиды называется прямая, содержащая высоту. 

У правильной пирамиды: 

1. Боковы ребра  равны; 

2. Боковые грани  – равнобедренные треугольники.  
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Правильная  пирамида. Свойства

Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.  
Теорема  
Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.  
 
  
 
Доказательство  
 
Если сторона основания a, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна:  
 
  
 
где l – апофема, p – периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

 

 

18. Прямая призма. Боковая и полная поверхность призмы. Теорема о боковой поверхности прямой призмы.

 

Прямая  призма

  
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.  
Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям.  
У прямой призмы грани – прямоугольники.  
  
Призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.  
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.  
Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема   Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т.е. на длину бокового ребра.   Доказательство   Боковые грани прямой призмы – прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Следовательно, боковая поверхность призмы равна        где a1, a2, …, an – длины ребер основания, p – периметр основания призмы, а l – длина боковых ребер. Теорема доказана.

19. Параллелепипед, его свойства. Прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед

 
  
 
Параллелепипедом называется призма, в основании которой параллелограмм.  
Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.  
Параллелепипед называется наклонным, если его боковые ребра не перпендикулярны основаниям.  
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Параллелепипед. Свойства

Теорема  
У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. 

 
  
Доказательство  
 
Возьмем любые две противолежащие грани параллелепипеда: A1A2A2`A1` и A3A4A4`A3`. Так как все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой A4A3, а прямая A1A1` параллельна прямой A4A4`. Следовательно плоскости рассматриваемых граней параллельны.  
Так как грани параллелепипеда – параллелограммы, то отрезки A1A4, A1`A4`, A2`A3` и A2A3 – параллельны и равны. Следовательно грань A1A2A2`A1` совмещается параллельным переносом вдоль ребра A1A4 с гранью A3A4A4`A3` и, значит, грани равны.  
Точно также доказывается параллельность и равенство других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

Прямоугольный параллелепипед

 
 
  
 
Прямоугольный параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.  
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом  
Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.Пирамида. Построение пирамиды и ее сечений????

Пирамида

  
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.  
A1A2A34 – основание пирамиды, S – вершина пирамиды, A1S, A2S, A3S, A4S – ребра пирамиды.  
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Теорема  
Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.  
  
Доказательство  
Пусть S – вершина пирамиды, A – вершина основания и A` - точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэффициентом гомотетии  
При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, проходящую через точку A`, т.е. в секущую плоскость, а следовательно, вся пирамида - в отсекаемую этой плоскость часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой, подобной данной. Теорема доказана.

22. Правильные многогранники.

 
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с один и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.    
 
У тетраэдра грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.  
У куба все грани – квадраты. В каждой вершине сходятся по три ребра. Куб – это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.  
У октаэдра грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится по четыре ребра.  
У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.  
У икосаэдра грани – правильные треугольники. В каждой точке сходится по пять ребер.

23. Формула для нахождения объема параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

 

 

 

 

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

 

V = a · b · h

где V - объем прямоугольного параллелепипеда, a - длина, b - ширина, 

h - высота.

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула объема параллелепипеда

V = S_o · h

где  V - объем параллелепипеда, 

S_o - площадь основания, 

h - длина высоты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Формула для нахождения объема призмы

Объем призмы равен произведению лощади основания призмы, на высоту.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула объема призмы

 

V = S_o h

 
где  V - объем призмы, 

 

S_o - площадь основания призмы, 

 

h - высота призмы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25. Формула для нахождения объема пирамиды

 

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула объема пирамиды

V =	1	So · h
	3

 

 
где V - объем пирамиды, 

 

S_o - площадь основания пирамиды, 

 

h - длина высоты пирамиды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26. Цилиндр. Сечения цилиндра плоскостями.

Цилиндр    Доказательство   Цилиндром называется тело, которой стоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра.   Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.   Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Сечение цилиндра плоскостью

 
  
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет прямоугольник.  
Осевым сечением называется сечение, которое проходит через ось цилиндра. 

Теорема  
Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.  
 
  
 
Доказательство  
 
Пусть α – плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра. Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещает плоскость α с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью α с окружностью основания. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27. Конус. Сечения конуса плоскостями.

Конус      Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.   Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.   Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Сечение конуса плоскостями

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его  вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые  стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса  
 
  
 
Теорема  
 
Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.  
 
  
 
Доказательство  
 
Пусть α – плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус. Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость α с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью α с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.  
 
Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший кусок. Оставшаяся часть называетсяусеченным конусом.

 

 

 

 

 

 

 

27. Шар и сфера. Сечения шара плоскостями. Касательная плоскость к шару.

Шар

  
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.  
Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.  
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.

Сечение шара плоскостью

Теорема  
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.  
Доказательство  
Пусть α - секущая плоскость и O – центр шара. Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость α и обозначим через O` основание этого перпендикуляра.  
Пусть X – произвольная точка шара, принадлежащая плоскости α. По теореме Пифагора  
 
  
 
Так как OX не больше радиуса R шара, то  
 
  
т.е. любая точка сечения шара плоскостью α находится от точки O` на расстоянии, не большем  
  
следовательно, она принадлежит кругу с центром O` и радиусом  
  
Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью α есть круг с центром в точке O`. Теорема доказана.