Шпаргалка по "Геометрие"

8. Окружность и круг. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности, ее свойство.

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. Эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности. AO – радиус.  
  
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. 
 
  
AB – хорда, CD – диаметр.  
Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, называется касательной, а их общая точка – точкой касания. Pадиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.  
  
a – касательная, OA ⊥ a.

Теорема.  
Прямая, проведенная через центры касающихся окружностей, проходит через точку их касания.  
 
  
 
Доказательство.  
 
Соединим центры окружностей с точкой их касания. Получим два отрезка OA и O1A. Через точку A касания двух окружностей проходит общая касательная b к этим окружностям. Пусть B точка на прямой b. Тогда ∠ BAO1 = ∠ BAO = 90 °. Следовательно, угол OAO1 – развернутый и точки O, A, O1 лежат на одной прямой a, перпендикулярной к касательной b. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Углы в окружности (центральный и вписанный). Теорема о вписанном угле.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Окружность, описанная около треугольника.

 

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его  вершины.  
 
  
 
Теорема.  
 
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.  
 
  
 
Доказательство.  
 
Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного треугольника. Δ AOB – равнобедренный ( AO = OB как радиусы). Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

11. Окружность, вписанная в треугольник.

 

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается через все его сторон.  
 
  
 
Теорема.  
 
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.  
 
  
 
Доказательство.  
 
Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD – как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE. Значит AO биссектриса угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Понятие площади. Основные свойства площади.

Площадь      Фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников.    Для простых фигур площадь –  это положительная величина, численное  значение которой обладает следующими свойствами:   1. Равные фигуры имеют равные  площади;   2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.   3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Теорема Пифагора.

Площадь прямоугольника     Площадь прямоугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле S = a*b.

Площадь параллелограмма 
 
  
Теорема  
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне S = a • h.  
 
Доказательство  
 
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый.  
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE • AD. Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a • h. Теорема доказана.

 

 

Площадь треугольника

Теорема  
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне S = a • h. 

  
 
  
Доказательство 

 
Пусть ABC – данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD.  
Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, и  
 
  
 
Теорема доказана

Площадь трапеции

 
  
Теорема  
Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту  
 
  
 
Доказательство  
 
  
 
Пусть ABCD – данная трапеция  
Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. 
Площадь треугольника ACD равна  
 
  
 
Площадь треугольника ABC равна  
 
  
 
Высоты AF и CE этих треугольников равны расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно,  
 
 Теорема доказана.

Теорема Пифагора

Теорема.  
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.  
 
  
 
Доказательство.  
 
Пусть Δ ABC прямоугольный и ∠ ABC – прямой.  
Проведем высоту BD из вершины B прямого угла. По определению косинуса угла  
 
  
 
Сложим получены равенства почленно:  
 
  
 
Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Стереометрия. Основные фигуры в пространстве. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

    Стереометрия 
Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.  
  
Плоскость обозначается греческими буквами α, β, γ, … .

 

Аксиомы стереометрии Система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии  и 3 следующих:     1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.   2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.   3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Плоскость и точка Теорема   Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и при том только одну.          Доказательство     Пусть AB – данная прямая и С – не лежащая на ней точка. Проведем через точки A и С прямую. Прямые AB и AC различны, так как точка С не лежит на прямой AB. Проведем через прямые AB и AC плоскость α. Она проходит через прямую AB и точку С.   Докажем, что плоскость α, проходящая через прямую AB и точку С, единственна.   Допустим, существует другая, плоскость α.`, проходящая через прямую AB и точку С. По аксиоме о том, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку, плоскости α и α` пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки A, B, C. Но они не лежат на одной прямой. Что противоречит предположению. Теорема доказана.

Плоскость и прямая

Теорема  
 
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.  
 
  
 
Доказательство  
 
Пусть a – данная прямая и α - данная плоскость. По аксиоме планиметрии 1 существует точка A, не лежащая на прямой a. Проведем через прямую a и точку A плоскость α`. Если плоскость α` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.

 

Возможны  ТРИ случая взаимного 

расположения двух прямых в пространстве: 

 

1. Параллельны 

2. Скрещиваются 

3. Пересекаются 

 

Определение 1. Две  прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 

 

Определение 2. Прямые, которые не пересекаются и не лежат  в одной плоскости, называются скрещивающимися.  
 
Определение 3. Прямые, которые пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются пересекающимися.

 

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

 

 

На рис. 26 прямая a лежит в плоскости, а прямая с  пересекает в точке N. Прямые a и с  — скрещивающиеся.

 

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

 

 

 На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость a (альфа) || b (в плоскости B (бета) указана  прямая a1 || b). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.

Взаимное  расположение прямой и плоскости  в пространстве. 

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки. 

Теорема     Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.          Доказательство     Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

 

 

 

16. Взаимное расположение плоскостей. Признак параллельности плоскостей.

 

 

Признак параллельности плоскостей 
 
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. 

Теорема  
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.  
  
Доказательство  
Пусть α и β - данные плоскости, a1 и a2 – прямые в плоскости α, пересекающиеся в точке A, b1 и b2 – соответственно параллельные им прямые в плоскости β.  
Предположим, что плоскости α и β не параллельны, а значит пересекаются по некоторой прямой с. По теореме о признаке параллельности прямой и плоскости прямые a1 и a2, как параллельные прямые b1 и b2, параллельны плоскости β, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости α через точку A проходят прямые a1 и a2, параллельные прямой с. Это невозможно по аксиоме параллельных. Что противоречит предположению. Теорема доказана.

17. Многогранник. Призма. Изображение призмы и ее сечений.

Многогранники 
 
Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.  
 
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины –вершинами многогранника.  
 
Простейшие многогранники: куб, призма, пирамида.

 

          

 

 

Призма 
Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называютсяоснованиями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, - боковыми ребрами призмы.  
 
  
 
Свойства призмы: 

1. Основания  призмы равны и лежат в параллельных  плоскостях. 

2. Боковые ребра  параллельны и равны.  
 
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.