Математиканы оқытудағы есептердің орны

 

.

 

           Кіріспе

 

 

    §1.   Оқытуға арналған  математикалық есептердің мәні.

   

     §2.   Математиканы оқыту процесіндегі есептердің ролі.

 

§3.  Математиканы есептер арқылы оқыту.

 

 

 

 

 

 

1.Оқытуға  арналған математикалық есептердің мәні.

а) білім

б) практикалық

в) ойды дамытушылық

г) тәрбиелік мәні

2.Математиканы оқыту процесіндегі есептердің ролі.

а) оқытушылық

б) математикалық есептерді шешу барысында оқушылардың ойлау    

 қабілетін дамыту

в) математикалық есептердің тәрбиелік мәні

 

а):

1. Есептер  математикалық ұғымды меңгеру  үшін қажет.

2. Есептер  математикалық символиканы меңгеру  үшін қолданылады.

   3. Есептер дәлелдеуді оқыту үшін ;

  4. Есептер математикалық білік, дағды қалыптастыру үшін қажет.

б):

1. Есептер шешу кезінде қабылдау, ойлай білу және есептер шешу кезіндегі еске сақтау.

2. Есеп арқылы ойлауды оқыту.

3. оқушылардың ойлау қызметінің пәрменділігін арттыратын есептер.

Математиканы оқыту процесінде есептер әр түрлі міндеттер атқарады.

Математикалық есептер жалпы алғанда теорияны меңгеруге. Орта мектепте математиканың әдістері мен ұғымдарын меңгеруге қажетті бірден-бір тиімді құрал болып есептеледі. Оқушылардың ойлау қабілетін дамытуда тәрбие беруде және оқушыларға математиканың практикалық істерге қолданылуы туралы білім, білік қалыптастыруда есептердің атқаратын ролі зор.

Есептер математиканы оқытуға қойылатын мақсаттардың бәріне жақсы қызмет етеді. Міне сондықтан да есептер шешуге бүкіл математиканы оқытуға жұмсалатын уақыттың жартысынан көбі жұмсалады. (5-10 сыныптарда 700-800 академиялық сағат).

Математикалық есептерді дұрыс шешкізіп оқытудың жақсы әдісі жоғары деңгейдегі математикалық білім, білік, дағды қалыптастыруда айтарлықтай зор роль атқарады.

Бұл тарауда математиканы оқытуға есептер қолданудың жалпы және барынша маңызды аспектілері, есептер шешуге қолданылатын жалпы әдістер және т.б. қарастырылады. Сабақ кезінде математика есептерін шешуге және оны талдап шешуге ерекше мән берілді. Оқу процесінде қолданылатын есептер шешудің практикалық ұсыныстары айтылады.

§1 Оқытуға арналған математикалық есептердің мәні.

 

Математиканы оқыту процесінде есептердің сан қырлы және зор мәні бар.

1. (а) Математикалық есептердің білім берерлік мәні.

Математикалық есептерді шеше отырып, оқушылар көптеген жаңа мәселелерді таниды: есеп шартында жазылған жаңа жағдайлармен танысады, математикалық теорияның есептер шешуге қолданылуын, есептер шешудің жаңа әдістерін танымдық немесе есептер шешуге қажетті математиканың жаңа бір саласымен танысады, т.б. Басқа сөзбен айтқанда оқушы математикалық есептерді шешу барысында тереңдетеді. Белгілі бір класқа жататын есептер тобын шешудің әдісін игеру арқылы оқушыларда есептер шеше білу, яғни жеткілікті түрде жаттығу арқылы дағды қалыптастырып, математикалық білімін көтереді.

 

2. (б) Математикалық есептердің практикалық мәні.

Математикалық есептерді шешу барысында оқушы математикалық білімдерін практикалық қажеттіліктерге пайдаланады, өзінің болашақтағы практикалық қызметіне (қажетті) керекті істермен айналысады. Практикалық қажеттілігі бар барлық конструкторлық есептерде математикалық есептер шешуге тура келеді. Процестерді сипаттап жазумен зерттеу математикалық аппаратты қолданбай, яғни математикалық есептеулерсіз мүмкін емес. Математикалық есептер физикада, химияда, биологияда, электротехника мен радиотехникада, ең алдымен олардың теориялық негіздерін түсіндіруге қажет. Бұл есептерді шешкенде көбінесе физикалық, химиялық, географиялық және техникалық-практикалық мәні бар есептер қарастыру қажетсінеді.

3. (в) Оқушылардың ойлана білу дағдысын дамытудағы математикалық есептердің мәні.

Математикалық есептер шешу оның шартында берілгендер мен іздендіні салыстыруға, әсіресе берілгендерді, фактілерді керісінше салыстыруға, проблемалар мен қорытынды бір-бірінен ажыратыға мүмкіндік береді. А.Я. Хинчиннің айтуынша математикалық есептер оқушыларды дәлелді дұрыс ойлауға үйретеді. Есептер толығынан дәлелді, белгілі заңдар негізінде жалпы қорытындылар жасайды, дәлелді аналогияға сүйеніп, барлық жағдайларды қарастырады.

Математикалық есептерді шешу арқылы ерекше ойлау стилі, ойымыздың формальді-логикалық схемасы, ойдың орнықтылығы, ойлау жолының дәлдігі, символиканы қолдана білу, еске сақтау, көз алдына келтірудің дәлдігіне үйретеді.

4. Математикалық есептердің тәрбиелік мәні

Есептер өзінің мазмұны арқылы тәрбиелейді. Қоғам дамуына қарай есеп мазмұны да өзгереді. Россияның революциядан бұрынғы есептер жинақтарында және қазіргі капиталистік елдерде сатып алу, сатып беру кезінде табыс табу, азартты ойындар туралы есептер бар.

Совет мектебінің оқулықтарында оқушылардың моральдық сапасы, ғылыми дүние таным, интернационализм, коллективизмге, отанды сүюге тәрбиелейтін есептер бар. Отанды сүюге, халық шаруашылығының жетістіктерін насихаттайтын есептер бар. (Қазіргі біздің жас Республикадағы есептер). Есептер шешу дұрыс жолға қойылса оқушы ұстамдылық, шыдамдылыққа, өз жолдасының еңбегін бағалай білуге үйренеді. Мектепке математикалық анализдің ендірілуі оқушылардың диалектикалық-материалистік дүние танымын қалыптастыруға мүмкіндік туды. Білімнің негізі дүниетаным халықаралық конференция.

 

§2. Математиканы оқыту процесіндегі есептердің ролі.

 

Әрбір нақты математикалық есеп бірнеше педагогикалық, дидактикалық, оқытудың мақсаттарының іске асуын, олардың дамуына ықпал ету мақсатын алға қояды. Бұл мақсаттар есептің мазмұны, не қолданылуы арқылы іске асады. Мұғалім есептер арқылы дидактикалық талаптар қойғанда есептің оқыту процесіндегі мәнін көрсетеді.

Есеп мазмұнынан және оны қолданудың дидактикалық талаптарынан мыналарды бөліп алуға болады.

2.1. Математикалық есептердің оқытудағы  ролі (білім, білік, дағды).

1) Математикалық ұғымдарды меңгеру  үшін есептер шешіледі.

Математикалық ұғым қалыптастыру ұғыммен оның анықтамасы мен қасиетімен көп жұмыс жүргізу керек. Бұларды құрғақ жаттаудан ұғым қалыптаспайды. Көптеген жаттығулар орындап есептер шешкенде ұғым қалыптастырғанда оқушының нақты білімі болады. Мысалы, логарифм ұғымын меңгеруде көрсеткіштік функция мен оның мәндерін логарифмдік формада жазу және керісінше, сондай-ақ белгісізді логарифмге тәуелді жай логарифмдік теңдеулер шешу, бұлардың негізінде нақты мысалдар арқылы логарифмнің анықтамасын қалыптастыру,

аlogx=x, a>0, a≠1, x>0.

 

Бұл арада мынадай есептер шешу пайдалы:

1. Мынадай анықтама дұрыс бола ма?

аx=x    теңдігін қанағаттандыратын дәреже көрсеткіш  а негіздегі в санының  логарифмі деп аталады.

2. Келесі тұжырымды талдаңдар: “Берілген  санның берілген негіздегі логарифмі  дәреже көрсеткіш болып табылады”. Осы сөйлем логарифмнің анықтамасы  болу үшін мұны қалай анықтайды.

2) Математикалық символиканы меңгерудегі  есептердің ролі.

Математиканы оқытудың бір мақсаты математиканың тілін, символикасын білу. Жай таңбалар, символдар бастауышта және IV-V сыныпта (амал таңбалары, теңдік, теңсіздік, жақша, бұрын белгісі және оның шамасы, параллелдік т.б.) Үйрететін символдарды дұрыс қолдану үшін есептер шешіледі. Есептердің мағынасы мен шығару жолы жақшаны дұрыс қолдануға үйретеді.

2. Мына есептерде жақша қандай роль атқарып тұр, қандай өрнектерде жақша қандай роль атқарып тұр, қандай өрнектерде жақша амалдардың орындалу ретін өзгертпейді.

(1)              (2) 

 

(3)              (4) 

 

(5)  

 

3. Амалдардың орындалу ретін түсіндіріңіздер және жақша қандай роль атқарады.

 

(1)                 

 

(2)      t=-8,         (3)    мұндағы .

Символиканы үйренуде басты мәселе есептер шешу барысында оны дұрыс қолдану.

 

3) Дәлелдеуді  оқытуға қажетті есептер.

Математиканы оқытудың маңызды міндеттерінің бірі оқушыларға дәлелдеуді үйрету. Жай есептердің өзі дәлелдеуден басталады. Элементар есептер сұрақтар зерттеуді қажетсінеді. Мұндай есептердің жауабын іздеу олардың шындығын іздеуге келеді.

Есептер мен сұрақтар өзінің шешімін берілгеннен дәлелдеуге тиісті ұғымға логикалық қадам жасап ілгерілеу б.т. Күрделі есептер бірнеше логикалық тізбектен тұрады. Есептер шешудің мақсаты – үйреніп отырған ұғымды нақтылау, соның табиғатын түсіну, оның әртүрлі байланыстарын қарау... есептер мен сұрақтар символика мен математика тілін меңгеру үшін керек. Есептер – сұрақтар.

5. x>y ,  бұдан міндетті түрде  х2>y2 бола ма?

6. Екі  биссектриса перпендикуляр бола  ма? Екі биіктік ше?

Дәлелдеу кезінде есеп  желісінен сөзбен символды, олардың бірігуінен тұратын кейбір элементтерді қалдырып кетуге негізделіп құрастырылған жаттығулардың маңызы зор. Осындай жаттығулар тіл сабақтарында көп қолданылады.

7. Тік  бұрышты үшбұрышта гипотенузаның  ұзындығы оның катетінен ұзын  болатынын дәлелдейік.

DABС – тік бұрышты үшбұрышын қарастырамыз:

ÐC=900, АС және ... – оның катеттері, ... – гипотенуза. С нүктесі ...  деп аталады.

В

 

 

 

С              А       В нүктесі   ...   жатқандықтан ВС   ...    СА

Перпендикулярлық теорема бойынша және   ...   ВС   ...  АВ.

Дәл осылайша, нүкте ...   деп аталады, ...   А нүктесінің ВС түзуінің. Демек,   ...   перпендикуляр   ....  .

Сондықтан  ...  < …  ( …  теореманың негізінде).

4-5 сыныпта  математикадан дәлелдеу есептері  мүлдем жоқ.

8. а¹0, в¹0 болсын. Ал а+в¹0 дұрыс па?

9. Рационал  сандардың көбейту ережесі және  оң сандарды көбейтудің ауыстырымдылық  заңын қолданып кез келген  екі рационал сан үшін осы  заңның орындалатынын дәлелдеу  керек.

.

 

4-5 сыныптар алгебрасында теңбе-теңдіктер  мен теңсіздіктерді функциялардың  қасиеттеріне сүйеніп дәлелдеу  есептері өте жиі қолданылады.

 

10. Егер х2+px+q=(x+x2)  теңдігі ақиқат болса, онда p2-4q=0  теңдігі ақиқат екенін дәлелдеңдер. Бұл сөйлемге кері сөйлемді тұжырымдаңдар.

4-5 сыныптар  геометриясында дайын сызбаларды  қолданып дәлелдеу практикасы  бар. Бұл да дәлелдеуді оқытуға  аса қажетті.

 

11.  1) Берілген BD^AC, AB=BC.  Дәлелдеу керек: AD=DC?

      2) Берілгені: BD^AC, AD=DC; Дәлелдеу керек: AB=BC? 

           В

Кейбір геометриялық теңдіктерді

                                 дәлелдеуде ұсынылады. Стереометрияда  да 

                                  көптеген теңдіктер бар.

А         D        C

9-11 сыныптарда  математиканың барлық тарауларын  қарастыратын теңдіктер оқытылады.

 

12. Рационал  сандар арасынан квадраттары 

1) 3;  2) 5;  3)6;  4)7;  5)10  сандарына тең  болатын сандар болмайтынын дәлелдеңдер.

 

13. Ғ(х)=cos2x  және  Ғ(х)=-sin2x функциялары   f(х) =-sin2x функциясының алғашқы образы екенін дәлелдеңдер.

Мұндағы Ғ(х)=Ғ(х)+1.

4) Математикалық білік және дағды  қалыптастыруға арналған есептер (§4.3 айтылады).

5) Математикалық жаңа фактілерді  үйренуге қажетті идеялар мен  методтар жаңа ұғымдармен методтарды  ендіруге керекті есептер, проблемалық  ситуация туғызуға арналған есептер  – оқыту ролін атқарады. Есептер  бұл арада күрделі теореманы  дәлелдеуге дайындық ролін атқарады.

Квадрат теңдеулерді шешу тәсілдерін үйрену үшін проблемалық жағдай туғызуда есептерді пайдаланады. Мысалы,

14. Теплоход өзен ағысы бойынша 48 км жүрсіп кейін қайтты, бүкіл  жолға 5 сағ уақыт жіберді. Өзен  ағысының жылдамдығы 4 км/сағ. Теплоходтың  меншікті жылдамдығын табыңдар.

Егер теплоходтың меншікті жылдамдығын V км/сағ десек,

   5V2-96V-20,   V¹±4.

Квадрат теңдеуді шешу тәсілдері осылайша проблемалық жағдайда қарастырылады.

 

15. алғашқы  бағасы 10000 теңге бұйым 4 жыл ішінде  әр жылы 5% арзандаған болса, оның  бағасы енді қанша болды?

10000( ,   t=4.   A=10000(

 

16. Берілгені  AB=BC, AM //BN,  BM//CN. Д/к. DABM=DBCN

                                                     Бұл есепті шешу Фалес теоремасын

                                                     жеңілдетеді.

А           М

 

2.2. Есептер шешу арқылы оқушының  ойын дамыту.

1) Есеп шығару кезіндегі ойша  орындау мен қабылдау, еске түсіру.

Математикалық есептерді шығару кезінде көптеген ойша орындалатын дағдылар қажет болады.

Есептің берілгендеріне талдау жасау, ізделінді мен берілгендерді, бұрын өтілген есептермен салыстыру берілген жағдайдағы қасиеттерді анықтау, қарапайым модельдерді құрастыру, ойша экспериментті іске асыру, синтездеу, есеп шығаруға қажетті информацияны таңдау, оны бір жүйеге келтіру, бұл информацияны қысқаша текст, символика, график түрінде тұжырымдап есеп шығаруға қолдану. Есеп шешімін жалпылау, берілгендер арасындағы ерекше жағдайды зерттеу. Есеп шығару кезінде осы заманғы психологияның жетістіктерін пайдалану. Психологтары есептерді бір сыныптың әр оқушылары әр түрлі формада түсінеді. Математикаға қабілетті оқушы есептердің дербес элементтерін, бір тұтас комплекстегі өзара байланысты элементтерді, комплекстегі әрбір элементтердің ролін түсінеді. Орташа оқушы есептің дербес элементтерін ғана түсіне алады. Сондықтан есептерді шешуді үйреткен кезде есеп элементтердің арасындағы қатысты арнайы талдау керек. Бұл есептер шартын талдауға қажетті тәсілдерді таңдап алуға мүмкіндік береді. Есеп шығару кезінде көбінесе бұрын өтілгендерді еске түсіруге тура келеді. Қабілетті оқушы ең қажетті информацияны «жалпыланған, структурасы қабаттасқан» информацияны есінде қалдырады. Есте сақталған информация мида асып төгіледі, есте қалғандары пайдалануға оңай, оңай есте қалады. Есептер шешу кезіндегі жалпылау тек ойды дамытып қана қоймай, еске сақтауды да және «жалпыланған ассоциацияны» қалыптастырады. Есеп шығару кезінде осылардың бәрін ескеру керек.