Кривые в евклидовых пространствах

    Мы видим, что градиент функции при заменах координат преобразуется иначе, чем вектор. Такая величина будет ниже называться ковектором.

    Пусть теперь система координат евклидова, а = — два вектора, которые выходят из одной точки Р = () В системе координат () такой, что х=х(z), x()= эти же векторы имеют соответственно координаты () и (), связанные с прежними координатами формулами

                                             ,

где (a;) — матрица Якоби, вычисленная при , k = 1, ..., n.

    Скалярное произведение векторов в исходной системе

координат имеет вид

                                 .                                               (23)

В новой системе координат оно равно

                        ,                                     (24)

Где матрица

                                                                                    (25)

— та самая матрица, которая появилась в предыдущем пункте при решении задачи о вычислении длины кривой в произвольных координатах. Поэтому скалярное произведение векторов в новых координатах определяется той же самой матрицей G=(). Формула (25) на алгебраическом языке означает, что

                                                     (26)

где обозначает транспонирование матрицы. Выясним, как преобразуются компоненты матрицы G при переходе к новым координатам. Пусть заданы новые координаты в той же области, и ,     j= 1,...,n. Положим В = () = . Мы знаем, что тогда векторы в координатах имеют компоненты    причем

                                                                                               (27)

    Пусть матрица, дающая выражение для скалярного произведения

в координатах (у), равна . Это означает, что

                                   .                                             (28)

Используя равенство (27), получаем

                                    ,                                              (29)

 

откуда

                                                                                                          (30)

Итак,

                                                      H=

    Определение 5. Квадратичной формой (на секторах) в точке называется набор чисел ,i, j = 1, ..., n, с , отнесенный к системе координат (). Если две системы координат () и () связаны заменой х=х(), причем , то для новой системы координат () эта же квадратичная форма задается набором чисел , который связан с исходным набором формулой

                                                                                          (31)

 

В матричной форме это означает, что

                                                       G=

    Если в точке Р задана квадратичная форма , преобразующаяся при заменах координат по закону (31), то на касательных векторах в точке Р можно определить квадратичную (или билинейную) функцию (или ), полагая

 

.

    Из закона преобразования (31) следует, что так определенные функции не зависят от выбора системы координат, а зависят только от точки Р и вектора ξ (или векторов ξ и η).

 

 

Заключение:

    В моей курсовой работе были рассмотрено евклидово пространство и его свойства, которые описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а расстояние между точками определяется по теореме Пифагора, т. е. некоторой квадратичной формой. Также были рассмотрены свойства кривых в евклидовых пространствах.

 

Литература:

 

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. “Современная геометрия.” ,издание 2-ое, Москва “Наука”, 1986г.//стр. 23;
2. Беклемишев Д.В., “Курс аналитической геометрии и линейной алгебры”, 7-е изд., Высш. шк. 1998г.-320 с.//стр. 222;
3. Аминов Ю.А. “Дифференциальная геометрия и топология кривых”, Наука,1987. - 160 с.;
4. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. “ Курс дифференциальной геометрии и топологии”, Изд-во Моск. ун-та, 1980, — 439 с. 268 ил.;
5. Кострикин А.И., Манин Ю.И. “Линейная алгебра и геометрия”,//стр. 117;
6. Умнов А.Е.” Аналитическая геометрия и линейная алгебра. “МФТИ.2004.-368с.,//стр. 243;
7. Умнов А.Е. “Линейная алгебра и аналитическая геометрия”.