Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Июня 2014 в 09:18, творческая работа
Публікація роботи [1],що містить усі або практично всі пов’язані з даною працею результати майже з усього світу, починаючи від евклідових часів аж до середини 1960-х, підтверджує, що це поле дослідження має хороші традиції, живе і знаходиться в гарній формі. Пройшло два десятиліття і поява роботи [2] засвідчила, що ця область математики процвітає більше, ніж коли б то не було. Область що розглядається (вона називатиметься GI – geometric inequalities – геометричні нерівності) є своєрідною: по-перше, тому що предмет її дослідження не вимагає будь-яких складних математичних знань або складної техніки; і по-друге, тому що вона є настільки привабливою,що її найвизначніші дослідження задовольняють вимогливі смаки професійних математиків та безпосередні смаки аматорів і все ще не штучно сформовані смаки недосвідчених розумних студентів. Більше того, завдяки наявності специфічних рис цієї області знань усі вони, а також учителі математики-ентузіасти, з певною мірою удачі мають майже рівні можливості зробити чудові внески до неї. Як і в будь-якій іншій галузі математики,талант, добра вдача і/або наполеглива праця можуть продукувати справжні перлини. Проте досягнення в області геометричних нерівностей є наочнішими, відчутнішими для оцінки з погляду рядової людини.
Виконав: студент 41-б групи
фізико-математичного факультету
Каменчук Євген
Краса є істина: геометричні
нерівності
«Краса є істина, а істина красива», - це все,
що ти знаєш на Землі, і все, що тобі необхідно знати.
Джон Кітс
Публікація роботи [1],що містить усі або практично всі пов’язані з даною працею результати майже з усього світу, починаючи від евклідових часів аж до середини 1960-х, підтверджує, що це поле дослідження має хороші традиції, живе і знаходиться в гарній формі. Пройшло два десятиліття і поява роботи [2] засвідчила, що ця область математики процвітає більше, ніж коли б то не було. Область що розглядається (вона називатиметься GI – geometric inequalities – геометричні нерівності) є своєрідною: по-перше, тому що предмет її дослідження не вимагає будь-яких складних математичних знань або складної техніки; і по-друге, тому що вона є настільки привабливою,що її найвизначніші дослідження задовольняють вимогливі смаки професійних математиків та безпосередні смаки аматорів і все ще не штучно сформовані смаки недосвідчених розумних студентів. Більше того, завдяки наявності специфічних рис цієї області знань усі вони, а також учителі математики-ентузіасти, з певною мірою удачі мають майже рівні можливості зробити чудові внески до неї. Як і в будь-якій іншій галузі математики,талант, добра вдача і/або наполеглива праця можуть продукувати справжні перлини. Проте досягнення в області геометричних нерівностей є наочнішими, відчутнішими для оцінки з погляду рядової людини. Вони, без сумніву, мають освітнє значення. Завдяки своїй основній перевазі, а саме: більшість із них є простими, але аж ніяк не тривіальними, вони придатні для простого використання математиками-педагогами як на шкільному, так і на університетському рівнях.
Метою цієї статті є доведення наступних трьох нерівностей:
, (1)
, (2)
(3)
де для довільного трикутника АВС у формулах (1)-(3) і наступних за ними S площа, – сторони, р – півпериметр, - медіани, - бісектриси, - висоти (див. також мал. 1, 2, 3). Геометричні нерівності (1), (2), (3), що представлені вище в порядку зростаючої складності (проста – середньої складності – складна) є, на думку автора, як красивими, так і нетривіальними. Найкращим шляхом для розуміння останнього твердження є спроба довести нерівності (1)−(3) або принаймні вивчити наведені нижче доведення. Деякий інтерес можливо може представляти такий приклад геометричної нерівності, що виглядає красиво, але є тривіальною
(4)
Вона допускає доведення типу «Дивись!» (мал. 1), якщо нагадати , що . Порівняння (4) і (2) стає досить повчальним, оскільки ці нерівності, маючи такі подібні форми, вимагають таких різних доведень. Теорема, представлена на мал. 1, добре відома, але разом з нерівностями добре пояснює протиставлення тривіального з нетривіальним.
|
Мал. 1. Дивись і помічай, що |
Скажемо декілька слів про методи, що застосовувались у наступних доведеннях, про нашу «скарбничку інструментів», яка насправді дуже обмежена і зводиться до використання:
, де , для (5)
Яка випливає з опуклості кривої на інтервалі (0, ∞) [3],[4];
(6)
Де для , що випливає з опуклості кривої на інтервалі [0, π] [3].
Цих двох відомих наслідків опуклості достатньо для завершення доведень наших верхніх меж (1) – (3) для площі S у термінах інших елементів трикутника і, більше того, для встановлення з доведеннями відповідних нижніх меж(див. :(1,а) і задачі 3-5) і як побічного продукту для отримання відомої нерівності Керрі (Curry) [1], яка є досить потужною при застосуванні до виводу нових геометричних нерівностей.
Задача 1. Визначте з доведенням, яка з нерівностей (1), (2), (3) є найбільш загальною, якщо така існує.
Спочатку доповнимо нашу нерівність (1) нижньою межею (1, а) аналогічно верхній межі типу (1), а саме:
(1, а)
(1, б)
і постане проблема доведення двох геометричних нерівностей замість однієї. Дивно, що нерівності (1,а) і(1,б), маючи подібні симетричні форми, допускають подібні прості доведення. В обох доведеннях використовується нерівність (5) про середнє арифметичне та середнє геометричне (n=2):
(7, а)
(7, б)
При доведенні нерівності (1,а) використовується форма (7, а), а при доведенні нерівності (1, б) – форма (7, б). Дійсно, починаючи доведення з використання відомого виразу для бісектриси в термінах сторін, матимемо
(8)
й аналогічно
(9)
(10)
Перемножуючи (8), (9) і (10) почленно і використовуючи формулу Герона, отримаємо шукану нерівність:
(11)
З відомого виразу для медіани в термінах сторін матимемо
(12)
й аналогічно
, (13)
, (14)
Перемножуючи (12),(13) і (14) почленно і використовуючи формулу Герона, остаточно отримаємо нерівність (1, б):
(15)
Бачимо, що доведення обох нерівностей (1, а) і (1, б) є вдалим і дуже простим, хоча відразу не очевидним. Якщо додати, що, крім своєї краси, нерівності (1, а) і (1, б) можуть бути корисними при одержанні і доведенні нових нерівностей. Дивно, що вони не знайшли свого місця не тільки в класичній [1], а й у новітній колекції [2].
Задача 2. Довести, що в довільному трикутнику
(*)
Використовуючи (*) або іншим шляхом, узагальнюємо нашу нерівність (1, б):
.
Той, хто вже відповів на запитання задачі 1, знає, що жодна з нерівностей (1) або (2) не є більш загальною, ніж інша, і тому не можна отримати нерівність (2) тільки з (1). Необхідні ще «цеглини» для побудови доведення нерівності (2), і читачеві буде їх надано нижче у формі лем 1 – 4. Кожен крок нашого доведення (кожну лему) дуже просто і легко довести. Складність доведення нерівності (2) полягає у відкритті всіх необхідних кроків. Наступне 4-крокове доведення нерівності (2) може вважатися складним порівняно з простим (тобто 1-кроковим) доведенням нерівності (1). Однак ми сподіваємося, що вся побудова є настільки очевидною, що останнє по членне множення (останній 5-й крок) даватиме істинне задоволення, як це було на завершальному етапі простого доведення нерівності (1).
Як зазначалося раніше, нерівність (2) не є і не може бути наслідком нерівності (1), але це не суперечить використанню (1) як однієї з компонент нашого складного доведення, а саме в уже доведеній формі.
Лема 1. Наступна нерівність для площ довільних трикутників у термінах позначень першого розділу має місце
, (16)
в якій знак рівності має місце тоді тільки тоді, коли трикутник рівносторонній.
Другою компонентою нашого доведення є наслідок нерівності (5) (n=3) про середнє арифметичне та середнє геометричне.
Лема 2. Нехай a, b, c – довільні додатні дійсні числа. Тоді має місце нерівність
, (17)
в якій знак рівності має місце тоді і тільки тоді, коли a = b = c.
Доведення. Достатньо підставити у нерівність (5)
Лема 3. Має місце така тотожність
(18)
Доведення. Як уже можливо відзначив проникливий читач, (18) являє собою результат почленного множення та формули Герона. Дійсно, множення рівностей
, , дає
, що еквівалентне (18). Останнім кроком у нашому доведенні є відома нерівність Керрі.
Лема 4. Для площі S довільного трикутника має місце така нерівність
(19)
Знак рівності має місце тоді і тільки тоді, коли трикутник рівносторонній.
Доведення. Ця нерівність включає найкращу з представлених в [1] верхню межу для S в термінах a, b, c. Вона наведена там без доведення. Однак її можна довести багатьма способами. Нижче буде використаний метод, що задається природнішим, і найбільше відповідає проблемі. Будучи дуже простим у використанні, цей метод також достатньо загальний. Це знаходить своє підтвердження в тому факті, що більш складна і достатньо нетривіальна нерівність (21) (лема 5) буде доведена саме цим методом. Розглядуваний метод базується на використанні вгнутості (опуклості) відповідної функції в формі нерівності Єнсена. В нашому випадку (мал. 2) маємо
Мал. 2.
(20)
Беручи до уваги, що , використовуючи(6) при n=3, підставляючи (20), отримаємо нерівність
Після всієї цієї підготовчої роботи почленне множення може показати себе в усій красі. Дійсно, перемножуючи (16), (17), (18), (19) почленно і роблячи довгоочікувані перетворення, отримаємо остаточну шукану нерівність (2). Звичайно, уважний читач може обчислити степені P=a+b+c, D=(a+b)(b+c)(c+a) і П=abc в чисельнику і знаменнику дробів, представлених у правих частих лем 1 – 4, і може передбачити успіх задовго до того, коли ми спробуємо здивувати його усіх P,D і П після почленного множення. Однак такого читача не можна здивувати, бо не існує верхньої межі для проникливості та винахідливості.
Задача 3. Встановіть нижню межу (2, а) для S, яка доповнює нерівність (2) до подвійної нерівності
(2, a)
(2, б)
На даний момент проникливий читач знає, а всі інші підозрюють, що жодна з наших трьох основних нерівностей (1) – (3) не є більш загальною, ніж інші. Тому лем 1 – 4 попереднього розділу може виявитись недостатньо для побудови доведення нерівності (3). Саме так і є насправді, і тому необхідний більш потужний наслідок опуклості синуса.
Лема 5. Для площі S довільного трикутника має місце така нерівність
(21)
знак рівності в якій має місце тоді і тільки тоді, коли трикутник рівносторонній.
Доведення. Розглянемо трикутники i на мал. 3, а:
Мал. 3.
(22)
Аналогічно, розглядаючи мал. 3, б і 3, в, зробимо висновок, що
, (23)
, (24)
Додаючи почленно співвідношення (22) – (24), одержимо рівність:
(25)
Останній крок у доведенні – це використання нерівності Єнсена для n=6:
(26)
Підставляючи (25) в (26), отримаємо нарешті шукану нерівність (21).
Леми 4 та 5 мають багато спільного. Читач, без сумніву, помітив подібність їх доведень. Обидві вони дають верхні межі для S. Нерівність (19) – більш елегантна, а (21) – більш громіздка. Жодна з них не випливає з іншої. Разом їх більш ніж досить для доведення нерівності (3), тому що можна обійтись без (19) і (21), використовуючи тільки наслідки з них, які, між іншим, отримані одним і тим самим способом.
Наслідок леми 4. Для площі S довільного трикутника має місце така нерівність
(27)
в якій рівність має місце тоді і тільки тоді, коли трикутник рівносторонній.
Доведення. Відзначимо спочатку, що нерівність
, (28)
еквівалентна нерівності Керрі (19). Щоб зрозуміти це, достатньо підставити вираз для добутку в термінах S, a, b c з рівності (18) в нерівність (28). Застосовуючи нерівність про середнє арифметичне та середнє геометричне (5) (n=3) до суми P=a+b+c в знаменнику правої частини (28)
можна отримати бажаний наслідок (27).
Наслідок леми 5. Для площі S довільного трикутника має місце така нерівність
(29)
в якій рівність має місце тоді і тільки тоді, коли трикутник рівносторонній.
Доведення. (29) легко отримати з (21) застосуванням нерівності про середнє арифметичне (5) (n=3) до суми, представленої в знаменнику дробу в правій частині (21):
Маючи нерівності (27) і (29) як «сировину» (дві складові частини), побудова двоскладового доведення нерівності (3) стає тривіальною. Дійсно, почленне множення (27) і (29) дає нерівність (3) так само, як раніше таке множення (16), (17), (18) і (19) давало нерівність(2).
Задача4. Дослідіть відповідну (або принаймні будь-яку) нижню межу для доповненої нерівності (3):
(3, а)
. (3, б)
Тепер читач знає достатньо для того, щоб сформувати свою власну думку про красу наших основних геометричних нерівностей (1) – (3), їх природу і корені. Це не є ще його власним розумінням, але принаймні щось на шляху до нього. Ті, хто вважає нерівності (1) – (3) занадто елементарними, мають нагоду для підтвердження своєї точки зору, розв’язуючи задач, представлені вище. Дослідження і доведення нижніх меж того самого типу, що і верхні межі (1) – (3), перетворює наші нерівності в подвійні, які є красивішими, ніж початкові, тому що завершеність часто несе красу. Не менш природним, ніж бажання доповнити, є бажання узагальнити. Наведена вище задача 2, а також задачі 5 і 6, сформульовані нижче,надають зацікавленому читачеві цю можливість і підтверджують давню істину: шлях краси дуже часто збігається зі шляхом узагальнення. Задача 5, попри всю свою елегантність, демонструє, наскільки слабкою є наша геометрична нерівність (1, а) і в певному розумінні «анатомує» цю нерівність. Задача 6 представляє досить потужний результат, який навряд чи буде «приємною прогулянкою» для того, хто їх буде її розв’язувати.
Задача 5. Доведіть узагальнення нерівностей (1, а)
і дослідіть відповідне (або принаймні будь-яке) узагальнення нерівності (1, б).
Задача 6. Доведіть таке узагальнення нерівності (3)
(3, в)
і визначте, яка з нерівностей – (3, в) чи нерівність Керрі (19) загальніша, якщо якась з них такою є.
Автор вважає, що задачі 1 – 6, представлені в порядку зростаючої складності, мають різний рівень складності. Розв’язання їх може дати читачу корисні вправи та задоволення і, що більш важливо, дійсне це розуміння предмета, що може дати (і дуже часто дає) результат у відкритті нових математичних істин.
Залишилось без відповіді в процесі нашого невеликого дослідження одне питання: як на практиці автор наштовхувався на нерівності (1) – (3)? Дороговказом була краса, непередбаченим союзником – простий випадок. На щастя, в математиці чим красивішою є гіпотеза, тим ймовірніше, що вона стане красивою теоремою. «Краса є істина, а істина красива»!