Геометрические построения

Деление окружности на семь равных частей показано на рис. 13. Из точки  А проводится вспомогательная дуга радиусом R , равным радиусу данной окружности, которая пересечет окружность в точке n. Из точки n опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию. Из точки 1 радиусом, равным отрезку nc , делают по окружности семь засечек и получают семь искомых точек.

Деление окружности на любое  число равных частей.

С достаточной точностью можно делить окружность на любое число равных частей, пользуясь таблицей коэффициентов для подсчета длины хорды(табл. 1)

Зная, на какое число (n) следует разделить окружность, находят  по таблице коэффициент k. При умножении  коэффициента k на диаметр окружности D. получают длину хорды l, которую циркулем откладывают на окружности n раз.

Например, необходимо окружность диаметра D=42 мм разделить на 20 равных частей. Количеству частей окружности n=20 соответствует коэффициент k=0,156. Подсчитав длину хорды l=Dk=42х0,156=6,552 мм, ее циркулем откладывают на окружности 20 раз (рис. 14).    

таблица 1.

Коэффициенты  для подсчета длины хорды.

Число частей n	коэффициент k	Число частей n	коэффициент  k	Число частей n	коэффициент k
7	0,434	17	0,184	27	0,116
8	0,383	18	0,174	28	0,112
9	0,342	19	0,165	29	0,108
10	0,309	20	0,156	30	0,104
11	0,282	21	0,149	31	0,101
12	0,259	22	0,142	32	0,098
13	0,239	23	0,136	33	0,095
14	0,223	24	0,130	34	0,092
15	0,208	25	0,125	35	0,900
16	0,195	26	0,120	36	0,087

 

 Сопряжение  линий.

При вычерчивании деталей  машин и приборов, контуры очертаний  которых состоят из прямых линий  и дуг окружностей с плавными переходами от одной линии в другую, часто применяют сопряжения. Сопряжением  называется плавный переход одной  линии в другую.

Для точного и правильного выполнения чертежей необходимо уметь выполнять  построения сопряжений, которые основаны на двух положениях.

1. Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восставленном из точки сопряжения (рис. 15,а).
2. Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, лежали на прямой, проходящей через точку сопряжения (рис. 15,б).

Сопряжение двух сторон угла дугой окружности заданного радиуса.

При выполнении чертежей деталей, выполняют построение сопряжения двух сторон угла дугой окружности заданного радиуса. На рис. 16,а выполнено  построение сопряжения сторон острого  угла дугой, на рис. 16,б- тупого угла, на рис. 16,в- прямого.

Сопряжение двух сторон угла (острого  или тупого) дугой заданного радиуса  R выполняют следующим образом (рис. 16,а и б).

Параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих прямых (точка О) будет центром дуги радиуса R, т.е. центром сопряжения. Из центра О описывают дугу, плавно переходящую в прямые - стороны угла. Дугу заканчивают в точках сопряжения n и n1, которые являются основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на стороны угла.

При построении сопряжения сторон прямого  угла центр дуги сопряжения проще  находить с помощью циркуля (рис. 16,в). Из вершины угла А проводят дугу радиусом R, равным радиусу сопряжения. На сторонах угла получают точки сопряжения n и n1. Из этих точек, как из центров , проводят дуги радиусом R до взаимного пересечения в точке О, являющейся центром сопряжения. Из центра О описывают дугу сопряжения.

Сопряжения прямой с  дугой окружности.

Сопряжение прямой с  дугой окружности может быть выполнено  при помощи дуги с внешним касанием (рис. 17).

На рис.  17 показано сопряжение дуги окружности радиусом R и прямой линии АВ дугой окружности радиуса r с внешним касанием. Для построения такого сопряжения проводят окружность радиуса R и прямую АВ. Параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу r (радиус сопрягающей дуги), проводят прямую ab. Из центра О проводят дугу окружности радиусом , равным сумме радиусов R и r, до пересечения ее с прямой ab в точке О1. Точка О1 является центром дуги сопряжения.

Точку сопряжения c находят на пересечении прямой ОО1 с дугой окружности радиуса R. Точка сопряжения c1 является основанием перпендикуляра, опущенного из центра О1 на данную прямую АВ. При помощи аналогичных построений могут быть найдены точки О2, с2, с3.

Сопряжение дуги с  дугой.

Сопряжение двух дуг  окружностей может быть внутренним, внешним и смешанным.

При внутреннем сопряжении центры О и О1 сопрягаемых дуг  находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R (рис. 18,а).

При внешнем сопряжении центры О и О2 сопрягаемых дуг  радиусов R и R2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рис. 18,б).

При смешанном сопряжении центр О1 одной из сопрягаемых  дуг лежит внутри сопрягающей  дуги радиуса R, а центр О другой сопрягаемой дуги вне ее(рис. 19)

Построение  внутреннего сопряжения.

Задано:

а). радиусы сопрягаемых  окружностей R1 и R2;

б). расстояние l1 и l2 между центрами этих дуг;

в). радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а).определить положение  центра О2 сопрягающей дуги;

б).найти точки сопряжения s1 и s2;

в).провести дугу сопряжения.

Построение сопряжения показано на рис. 18,а. По заданным расстояниям  между центрами l1 и l2 на чертеже намечают центры О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R2, а из центра О -радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R1. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.

Для нахождения точек  сопряжения точку О2 соединяют с  точками О и О1 прямыми линиями. Точки пересечения продолжения  прямых О2О и О2О1 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения(точки s и s1).

Радиусом R из центра О2 проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения s и s1.

Построение  внешнего сопряжения.

Задано:

а).радиусы R1 и R2 сопрягаемых дуг окружностей;

б).расстояние l1 и l2 между центрами этих дуг;

в).радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а).определить положение  центра О2 сопрягающей дуги;

в).найти точки сопряжения s и s1;

в).провести дугу сопряжения.

Построение внешнего сопряжения показано на рис. 18,б. По заданным расстояниям между центрами l1 и l2 на чертеже находят точки О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R1 и сопрягающей R, а из центра О1 -радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги.

Для нахождения точек  сопряжения центры дуг соединяют  прямыми линиями ОО2 и О2О2. Эти  две прямые пересекают сопрягаемые  дуги в точках сопряжения s и s1.

Из центра О2 радиусом R проводят сопрягающую дугу, ограничивая ее точками сопряжения s1 и s.

Построение  смешанного сопряжения.

Задано:

а).радиусы R1 и R2 сопрягаемых дуг окружностей;

б).расстояния l1 и l2 между центрами этих дуг;

в).радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а).определить положение  центра О2 сопрягающей дуги;

б).найти точки сопряжения s и s1;

в).провести дугу сопряжения.

Построение смешанного сопряжения показано на рис.  19. По заданным расстояниям между центрами l1 и l2 на чертеже намечают центры О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R1 и сопрягающей R, а из центра О1 -радиусом, равным разности радиусов R   и R2. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги.

Соединив точки О  и О2 прямой, получают точку сопряжения s1; соединив точки О1 и О2, находят точку сопряжения s. Из центра О2 проводят дугу сопряжения от s до s1.

При вычерчивании контура детали необходимо разобраться, где имеются плавные переходы, и представить себе, где надо выполнить те или иные виды сопряжения.

Для приобретения навыков  построения сопряжения выполняют упражнения по вычерчиванию контуров сложных деталей. Перед упражнением необходимо просмотреть задание, наметить порядок построения сопряжений и только после этого приступить к выполнению построений.

Коробовые кривые линии.

Некоторые детали машин, инструменты для обработки металлов имеют контуры, ограниченные замкнутыми кривыми линиями,  состоящими из взаимносопрягающихся дуг окружностей различных диаметров.

Коробовыми кривыми  называются кривые, образованные сопряжением  дуг окружностей. К таким кривым относятся овалы, овоиды, завитки.

Построение овала.

Овал- замкнутая коробовая кривая, имеющая две оси симметрии.

Последовательность построения овала по заданному размеру большой  оси овала АВ производят следующим  образом (рис. 20,а). Ось АВ делят на три равные части (АО1, О1О2, О2В). Радиусом, равным О1О2, из точек деления О1 и О2 проводят окружности, пересекающиеся в точках m и n.

Соединив точки n и m с точками О1 и О2, получают прямые nО1, nО2, mО1, mО2, которые продолжают до пересечения с окружностями. Полученные точки 1,2,3, и 4 являются точками сопряжения дуг. Из точек m и n, как из центров, радиусом R1, равным n2 и m3, проводят верхнюю дугу 12 и нижнюю дугу 34.

Построение овала по двум заданным осям AB и CD приведено на рис. 20,б.

Проводят оси АВ и  СD. Из точки их пересечения радиусом ОС(половина малой оси овала) проводят дугу до пересечения с большой осью овала АВ в точке N. Точку А соединяют прямой с точкой С и на ней от точки С откладывают отрезок NB, получают точку N. В середине отрезка AN1 восставляют перпендикуляр и продолжают его до пересечения с большой и малой осями овала в точках О1 и n. Расстояние ОО1 откладывают по большой оси овала вправо от точки О, а расстояние on от точки О откладывают по малой оси овала вверх, получают точки n1 и О2. Точки n и n1 являются центрами верхней дуги 12 и нижней дуги 34 овала, а точки О1 и О2-центрами дуг 13 и 24. Получают искомый овал.

Построение овоида.

Овоид- замкнутая коробовая кривая,имеющая только одну ось симметрии. Радиусы R и R1 дуг окружностей, центры которых лежат на оси симметрии овоида, не равны друг другу(рис. 20,в).

Построение овоида по заданной оси АВ выполняется в  следующей последовательности (рис. 20,в).

Проводят окружность диаметром, равным оси АВ овоида. Из точек А и В через точку  О1(точка пересечения окружности радиуса R с осью симметрии) проводят прямые. Из точек А и В, как из центров, радиусом R2, равным оси АB, проводят дуги An и Bm, а из центра О1 радиусом R1 проводят малую дугу овоида nm.

Построение завитков.

Завиток- плоская спиральная кривая, вычерчиваемая циркулем путем сопряжения дуг окружностей.

Построение завитков выполняют при вычерчивании таких деталей, как пружины и спиральные направляющие.

Построение завитков выполняется из двух, трех и более  центров и зависит от формы  и размеров «глазка», который может  быть окружностью, правильным треугольником, шестиугольником и т.п. Последовательность построения завитка следующая.

Вычерчивается в тонких линиях контур «глазка», например окружность с диаметром О1О2(рис. 21). Из точек  О1 и О2, как из центров, проводят две  сопряженные между собой полуокружности. Верхняя полуокружность О21 из центра О1, нижняя полуокружность 12 из центра О2. Получается искомый завиток.

 

Лекальные кривые.

Вычерчивание кривых по лекалу.

При выполнении чертежей часто приходится прибегать к  вычерчиванию кривых, состоящих из ряда сопряженных частей, которые невозможно провести циркулем. Такие кривые строят обычно по ряду принадлежащих им точек, которые затем соединяют плавной линией сначала от руки карандашом, а затем обводят при помощи лекал.

Рассматриваемые лекальные  кривые располагаются в одной плоскости и называются поэтому плоскими.

Лекальные кривые широко применяются в машиностроении для  очертания различных технических  деталей, например: кронштейнов, ребер  жесткости, кулачков, зубчатых колес, фасонного  инструмента и т.п.

К лекальным кривым относят эллипс, параболу, гиперболу, циклоиду, эпициклоиду, эвольвенту, синусоиду, спираль Архимеда и др.

Ниже рассмотрены способы  построения кривых, наиболее часто  встречающихся в технике.

Построение эллипса.

Эллипс- замкнутая плоская кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек(фокусов), лежащих на большой оси, есть величина постоянная и равная длине большой оси.

Широко применяемый  в технике способ построения эллипса  по большой(АВ) и малой(СD) осям представлен на рис. 22.

Проводят две перпендикулярные осевые линии. Затем от центра О откладывают вверх и вниз по вертикальной оси отрезки, равные длине малой полуоси, а влево и вправо по горизонтальной оси-отрезки, равные длине большой полуоси.

Из центра О радиусами  ОА и ОС проводят две концентрические окружности и ряд лучей-диаметров. Из точек пересечения лучей с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, до взаимного пересечения в точках, принадлежащих эллипсу. Полученные точки соединяют от руки и обводят по лекалу.

Построение параболы.

Парабола- плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от директрисы DD1 прямой, перпендикулярной к оси симметрии параболы, и от фокуса F-точки, расположенной на оси симметрии параболы(рис. 23).