Фрактали Жуліа та Мендельброта

Міністерство  освіти і науки України

Рівненський державний  гуманітарний університет

Кафедра вищої математики

 

 

 

 

 

 

 

 

Фрактали Жуліа та Мендельброта

 

 

 

 

 

 

 

Курсова робота студентки

студент 3 курсу

спеціальності “Математика та інформатика”

групи МІ-32:

Чоботан Ірини Сергіївни

 

 

Науковий  керівник:

Марач Віктор Сільвестрович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівне – 2010

 

 

ЗМІСТ

3. Фрактал Мендельброта як генератор фрактальних множин Жуліа  3

4. Комп’ютерні програми фракталів Жуліа і Мандельброта  3

Висновок 3

Використана література  3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

При  побудові моделей, що описують навколишній світ,  люди звикли використовувати такі  відомі геометричні  поняття, як  лінія, круг,  сфера,  квадрат,  куб  та  ін.  Однак  виявилося,  що  ці  прості образи не завжди адекватно описують природні об’єкти. Геометрія Евкліда  не  здатна  описати  форму  хмар,  гір,  дерев,  берега  моря та ін.  Справа  в  тому,  що  хмари – це  не  зовсім  сфери,  гори – не зовсім конуси та ін. Світ влаштований за дещо іншими законами, в природних структурах,  як  правило,  кількість різних  масштабів нескінченна.  Між тим зовсім  недавно математики  розробили математичні поняття,  які дозволяють  описати навіть  такі  складні природні  об'єкти.  Це  дозволяє  зробити так звана фрактальна геометрія, центральним поняттям якої є поняття “фрактал”.

Існує  безліч  різних  визначень  фрактала.  Перш  за  все, математичне  поняття  фрактала  виділяє  об'єкти,  що  мають структури різних  масштабів,  які відображають  ієрархічний принцип їх  організації.  Фрактали  мають властивість самоподібності:  їх  вигляд  істотно не  змінюється  при розгляді  з різним збільшенням, тобто фрактал виглядає практично однаково, в якому б масштабі його не спостерігали. Іншими словами, фрактал складається з однотипних елементів різних масштабів і, по суті, є узором, що повторюється при зміні масштабів. Малий фрагмент такого об'єкта подібний до іншого, більш великого фрагмента, або навіть  до  структури  у  цілому.  Тому  говорять,  що  фрактал  є структурою, що складається з частин, які подібні до цілого.

Як відомо, термін "фрактал" був введений в науковий обіг Б. Мандельбротом в 1975 р. Одне з перших визначень фрактала спиралося на класичне передставлення про хаусдорфову розмірність: Мандельброт назвав фракталами множини, для яких розмірність Хаусдорфа строго більше топологічної (і зазвичай виражається нецілим числом) . Але надалі він став дотримуватися більш широкого визначення, у якому ключовим моментом є ідея подібності частини і цілого: на різних масштабах існують частини фігури, подібні фігурі вцілому.  При цьому малося на увазі саме подібність, а не точну відповідність частини і цілого. Таке визначення фрактала дозволяє значно розширити область його застосування, особливо для фізичних систем, які, на відміну від математичних побудов, що практично ніколи не дають точної відповідності цілого і його частин.

Визначення фрактала, яке використовується в даній роботі, відповідає більш пізньому визначенню, заснованому на подобі цілого і його частин.

Що стали вже класичними множині Мандельброта і Жюліана були отримані при вивченні ітерацій квадратичного відображення на множині комплекcних чисел С. Вперше теорія ітерацій раціональних відображень комплексної площини була розвинена в   роботах  французьких   математиків Гастона   Жюліана і П'єра Фату в 1918-1919 р.р. З роботами Жюліана і Фату Мандельброт познайомився в 1945 р., а через 35 років, зацікавившись фракталами, інваріантними щодо нелінійних перетворень, він повернувся до цих робіт і, вже з застосуванням комп'ютера, побудував перші зображення множини, яка отримала згодом його ім'я .

Послідувавший за цим бурхливий ріст кількості робіт, присвячених фракталам, відносяться майже виключно до дослідження фракталів на множині комплексних чисел.

Але, як відомо, в множини комплексних чисел С є "двійник" - гіперболічні (подвійні) числа H₂. У той час, як в якості розширення С зазвичай розглядається некоммутативна алгебра кватерніонів Q₁ для H₂ природним розширення є комутативна алгебра H₄ .Комутативність алгебр С, H₂, H₄ і взагалі H_n - багато в чому зумовлює різноманітність множин аналітичних функцій відповідних змінних, а ті, у свою чергу, жорстко пов'язані з різноманітністю групи конформних відображень. При цьому, комутативно-асоціативні гіперкомплексні числа H_n органічно пов'язані з нетривіальними фінслерованими геометріями з метрикою Бервальда-Моора і бачаться, можливо не менш перспективними з точки зору фізичних додатків, ніж звичайні комплексні числа . У світлі сказаного можна сподіватися, що на H₂, також як і на С, можуть існувати фрактальні аналоги множин Мандельброта і Жюліа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Фрактали Жуліа як області притягання відображень комплексної площини на себе.

У 1918 році Гастон Жюліа написав докладний «Мемуар» в кілька сотень сторінок, який був нагороджений призом Французької Академії. «Ця праця написана на високому рівні, але ... навряд чи можна знайти в ньому якісь зображення ». Робота Жюліа ігнорувалася протягом майже півстоліття, проте тепер вона в центрі уваги. Комп'ютери зробили видимим те, що не могло бути зображено за часів Жюліа. Візуальні результати перевершили всі очікування.

У роботі Жюліа розглядаються ітерації відображення виду:

 які зберігають кути, тобто конформні перетворення. Найбільш вивченим прикладом відображень такого виду є відображення , яке після розділення дійсної та уявної частин запишеться у вигляді

 ( ):

                                       n=0,1,2,…                (1.1)

,

Виявляється, це відображення дає множину фракталів, відповідних множинні Жюліа J(a,b).

Означення 1. Множина Жюліа J(a,b) – це межа області , (тобто границя області притягнення нескінченності).

 

Рис.1.1

 

Зауважимо, що при a=b=0 множина Жюліа – це коло одиничного радіуса(рис 1.1). Дійсно, в цьому випадку відображення має єдину стійку нерухому точку z=0. При | z | <1 ітерації прямують до нуля, а при | z |> 1 – йдуть в нескінченність. При малих значеннях а, b множина J(a,b) вже не має форму кола і, як правило, є фракталом (див. рис.1). На рис. 2 показано збільшений фрагмент рис. 1                            

Рис.1.2 Фрактал Жуліа при а=-0,22,b=-0,74

Рис.1.3 Фрагмент Фрактала Жуліа при а=-0,22,b=-0,74

 

Повернімося тепер до нашого квадратичного відображення і розглянемо для початку найпростіший приклад, коли значення комплекної константи   с=0. У цьому випадку відображення має дві нерухомі точки . Перша з них є притягуючою, оскыльки а друга – відштохуючою  
Нехай початкова точка буде дорівнювати деякому комплексному числу .У цьому випадку при кожній ітерації обчислюється точний квадрат попереднього числа . Для цієї послідовності в залежності від є три можливості:

1. Початкова точка така, що . Тоді в процесі ітерацій числа за модулем будуть все менші й менші, і їх послідовність неухильно наближається до нуля. Тобто нуль є атрактором для такого процесу (і притягуючою нерухомою точкою цього відображення).

2. Початкове значення за модулем більша одиниці, Тоді послідовні числа за модулем стають все більші й більші, прямуючи в результаті до нескінченності. У цьому випадку атрактором є нескінченно віддалена точка.

3. Початкова точка лежить на колі одиничного радіуса, тобто У цьому випадку, очевидно, і всі точки нашої послідовності продовжують залишатися на цьому одиничному колі.

Таким чином, у розглянутому прикладі на комплексній площині є дві області притягування. Одна лежить всередині кола одиничного радіуса і аттрактором точок, що належать їй, є нуль – притягуюча нерухома точка. Інша розташована зовні цього кола і має атрактором нескінченно віддалену точку. Межею між цими двома областями притягування є коло одиничного радіуса. На ній лежить друга (відштовхуюча) нерухома точка квадратичного відображення (а також відштовхуючі нерухомі точки відображень всіх вищих порядків ).

Здавалося б, ситуація гранично проста, і немає сенсу чекати будь-яких "підступів" в тому випадку, якщо величина у формулі відмінна від нуля. Границя, мабуть, залишиться гладкою і буде мати форму якимось чином деформованого кола, а притягуюча точка переміститься з початку координат в інше місце.

Рис.1.4 Басейн притягуючої нерухомої точки с=-0,12375+0,56508і

Однак не все так просто! Давайте, наприклад, візьмемо за с ненульове значення с=–0.12375+0.56508і. Тут для послідовності також є три можливості, подібні до перерахованих вище. Відмінність, проте, полягає в тому, що внутрішній атрактор вже не є нулем, і найголовніше – границя не є гладкою. На рис. 1.3 показана ця межа і внутрішня точка, до якої сходиться процес ітерацій. Видно, що границя сильно зламана. Можна переконатися, що під лупою будь-якого збільшення ця межа буде настільки ж зламана, як і без неї (див. рис. 1.4).

Рис.1.5 Фрактальна структура границі.

Мандельброт назвав це фрактальною структурою такої границі. Вона нагадує звивисту лінію морського берега, яка стає тим довша, чим більш дрібний масштаб використовується для її вимірювання. Однією з характерних особливостей цієї границі є її самоподібність. Якщо поглянути на будь-який з її фрагментів, то можна переконатися, що одна і та ж форма зустрічається в різних місцях і має різні розміри.

Рис.1.6 Басейн притягуючого циклу періода з, с=-0,12+0,74

У математиці такі межі областей притягування називають множинами Жюліа. Під час першої світової війни французькі математики Гастон Жюліа і П'єр Фату вивчали їх властивості для більш загального випадку раціональних відображень в комплексній площині. Їх захоплююча діяльність залишалася в основному невідомою навіть більшості математиків, оскільки за відсутності сучасної комп'ютерної графіки було майже неможливо передати їх тонкі ідеї. Наприклад, Жюліа і Фату було добре відомо про самоподібність, вони довели, що всю границю можна відновити з будь-якої довільно малої її частини шляхом скінченного числа ітерацій формули

Якщо вибрати тепер інше значення с, наприклад, с=–0.12+0.74і, то отримаємо мал. 1.5. Тепер множина Жюліа являє собою не один "деформований окіл", а складається з нескінченного числа деформованих кіл, що утворюють зв'язну множину. Внутрішні точки цієї множини притягуються вже не однією нерухомою точкою, а циклом з трьох точок , відмічених на рисунку більш крупно. У підсумку, стартувавши всередині одного з таких деформованих кіл, після досить великої кількості ітерацій, точка по черзі буде перескакувати до кожного з цих трьох кіл. Математично це означає, що

                (1.2)

де Іншими словами, ці три точки є коренями алгебраїчного рівняння шостого степеня , тобто нерухомими точками відображення . У цьому легко переконатися, якщо застосувати до будь-якого з трьох написаних співвідношень два рази операцію і скористатися двома іншими.

Рис.1.7 Пил Фать, С=0,11031-0,67037

Таким чином, для кожного значення комплексного параметра с є своя множина Жюліа, що обмежує ті області комплексних чисел , які в процесі ітерацій не прямують до нескінченності. Зі зміною с, очевидно, змінюється і геометрія границь областей притягування, тобто множин Жюліа. Може статися так, що області притягування зникнуть зовсім і зв'язна границя перетвориться в хмару ізольованих точок, що називається пилом Фату (див. рис. 1.6). Часто ці точки групуються дуже химерним чином навколо певних місць, і роздільна здатність малюнка стає явно недостатньою, щоб в обмеженій області комплексної площини показати нескінченне число точок.

Якщо ми за початкову виберемо навмання одну з цих точок, то послідовні ітерації відображення переводитимуть нас з однієї точки цієї множини в іншу досить хаотичним чином. Якщо ж як початкову буде взята будь-яка інша точка (не з множини Жюліа), то в процесі ітерацій ми вийдемо в кінці кінців на нескінченність.

Використовуючи формули (1.2), нескладно написати комп'ютерну програму для побудови фрактала Жюліа – множини Жюліа J (a,b). На рис. 1.7 показаний фрактал J (0,1), а на рис. 1.8 – фрактал J (–3/4, 0).

Рис 1.8 Фрактал Жюліа а=0, b=1

 

 

Рис 1.9 Фрактал Жюліа а=-0,75, b=0

 

 

 

Фрактали Жюліа завжди симетричні відносно початку координат. Якщо ж b=0, то вони симетричні щодо обох осей х та у. Цей факт можна використовувати при написанні програми побудови фракталів. Розглянемо докладніше випадок b = 0.

Якщо в (1) покладемо b=0 і почнемо ітерації від точки Р (х, у) на осі х (у=0), то її образ також буде лежати на осі х. Таким чином, для орбіти, що виходить з цієї точки, y_n= 0, і

                                                 (1.3)

Тобто, відображення (1.2) в цьому випадку зводиться до одновимірного відображення (1.3).

Відображення (1.4) еквівалентно моделі обмеженого зростання популяції

                 (1.4)

Дійсно, роблячи в цьому  відображенні заміну , отримуємо (1.3) з а = а/2- а²/ 4.

 Нескладно бачити, що для 1<а<3 відображення (1.1) має стійку нерухому точку і встановити поведінку при а>3. А саме, при збільшенні а від а=3 спостерігається подвоєння періоду за Фейгенбаумом. Значення а=3 відповідає а= –3/4, а нерухома точка відповідає     х=–1/2. Отже, ця нерухома точка знаходиться на межі області стійкості. Для двовимірного відображення (1.2) це означає, що нерухома точка (–1/2,0) знаходиться на межі області стійкості і, отже, належить фракталу.