Биномальды үлестіру

160 PRINT:PRINT  “6. Пуассоновское распределение”

170 PRINT:PRINT  “7. Равномерное дискретное распределение”

200 PRINT:PRINT:PRINT “Какой тип распределение”

210 PRINT “Вам нужен?”

220 PRINT:PRINT “Нажмите 1,2,3,4,5,6 или 7”

230 D=VAL(GET$)

240 ON D GOTO 1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000.

1000 REM Бернулли распределение

1100 PRINT:PRINT:PRINT “Бернулли распределение”

1110 PRINT:PRINT“Х  есть число успехов в одном”

1120 PRINT “испытании Бернулли с вероятностью”

1130 PRINT “успеха р.”

1140 PRINT:INPUT  “Хотите ли вы ввести p   в виде дроби?(Y/N)”;A$

1150 IF A$=’’N’’THEN PRINT:INPUT “Введите  р”; GOTO 1170

1160 PRINT:INPUT “Введите числитель, затем знаменатель”; А,В;

P=A/B

1170 G=1-P: V\P*G

1200 PRINT:PRINT “Среднее=p”;P

1210 PRINT “Дисперсия=”;V

1220 PRINT “Стандартное отклонение=; ” SQR(V)

1300 W=G:Y=W

1400 PRINT

1420 PRINT:PRINT” r p(X=r)”;  TAB(21); “P(X<=r)”

1430 PRINT :PRINT ”r P(X=r)”; TAB(21); “P(X<=r)”

1430 PRINT

1440 FOR I= 0 ТО 1

1460 PRINT “”; “ ”; W;TAB(20);Y

1480 W=P:Y=Y+W

1490 NEXT I

1510 PRINT: PRINT “Чтобы  вернуться к началу,нажмите R”

1520 R$= GET$

1530 IF R$= “R” GOTO 1100

 

Ескерту.

1. 110-210 қатарларында «меню» ұсынылады, ол жерде бір немесе екі үлестіруді қосу  үшін бос орын бар.
2. 230 –240 қатарларында қиындықтар болса, онда екінші программаға қараңыз.
3.   Әр үлестіру түріне,тиісті келетін тәжірибе түрлері мен кездойсоқ    шамалар жайлы ақпараттар басылымға берілу керектігі жайлы ережені ұстанамыз. Бұл  түсіндірмелерді түсінбейтіндер бағдарламамен  жұмыс істеулеріне болады.
4. Р-ның шамасын түбір түрінде енгізу басқа да бірқатар бағдарламаларға қосылуы мүмкін.
5. 1200-1220 қатарлары 2200-2220, 3200-3220 стандартталған  қатарлармен  құрастырылған. Бұл жердегі  мақсат түрлі бағдарламалардың логикасын, ой-өрісін салыстыруды қысқарту, бір бағдарламадан басқа бағдарламаға қатарларды көшіруді жеңілдету және ұқсас бөлімдерді бөлек, шағын бағдарламаға біріктіру.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Биномиальды үлестіру

 

N тәжірибесіндегі тізбектелген  табыстар, жетістіктер санын, мөлшерін  санау талап етілсе, олардың әрқайсысы  р- жетістік  ықтималдығына ие  болып, басқа қалған сынақтарға  тәуелді болмаса, онда тиісті  кездойсоқ шама  биномиальды үлестіруге  ие болады. Үлестіру  параметрлері n  және p шамалары, көп жағдайларда қысқартылған жазбалары қолданылады. Бұл деген сөз «кездойсоқ Х шамасы n  және p параметрі биномиальды үлестірулерге ие» дегенді білдіреді.

Жалпы  жағдайда, аламыз:

 Бұл жағдайда, Бернулли үлестіруіндей  белгіленуі қолданылады.Егер сынаманың тәуелсіздігін және тәуелсіз жағдай үшін ықтималдылықты көбейту ережесін қолдантын болсақ үлестіру формуласын алу да қарапайым.

   

және

  Мұнда   және .

Жалпы айтқанда, биномиальды  үлестіру тәуелсіз  кездойсоқ  шамалардың  n суммасын үлестіру болып табылады.Олардың  әрқайсысы р параметрлі Бернулли үлестіруіне ие. Яғни, Бернулли үлестіруі  дегеніміз- қарапайым үлестіруі болып табылады. Кей жағдайларда, биномиальды үлестіру – біркелкі Бернулли сынамасындағы табыстар, жетістіктер соңын үлестіру деп айтады. Алайда, Бернулли сынамасы екі мүмкін болатын шамалы сынақ болып табылады, ал Бернулли сынамасының тізбегін анықтау сынақтардың бір-білерінен тәуелсіз талаптарын қосады. Оқырмиан, өз бетінше (қажет болған жағдайда математикалық статистика) сынақтардың бір-бірлерінен тәуелсіз  талаптарын қосады. Оқырман,өз бетінше (қажет болған жағдайда математикалық статистика оқулығының көмегімен) биномиальдық үлестірудің жалпы формуласы бином тарауларының қосындысымен анықталатынына көз жеткізуге болады. Бұл жағдайды тәуелсіз жғдайлар үшін ықтималдылық  ережесінен немесе туындайтын функциялардың Бернулли үлестіруінен шығарып алуға болады.Көптеген оқулықтардың орташа және дисперсиялы биномиальды үлестірудегі  функцияларды қолдана отырып формулаларды шығару келтірілген. Жалпы формулалар мына төмендегідей  түрде болады:

        

n=1  және n=2  үшін алдын ала алынған нәтижелермен  осы формулалардың келісілетін көру жеңіл. Барлық үлестіруді тез есептеуде маңызды роль атқаратын  және қатынастылықтарын қарастыратын оқулықтарды кездестіру сирек. Жалпы формуланы қолдана отырып

  

тиісті формуланы  үшін жазуға болады

  

 көбейту әдістемесін біз  басқа  үлестірулер үшін бағдарламаларда  қолданамыз. Орынды үнемдеу мақсатында  бұл шағын бағдарлама басқа бағдарламаларға қосылмаған, алайда 2010 қатармененбірге оны  көшіріп алу қиын емес. Басқа жағынан, егер бағдарламалар осындай жүйемен біріктірілген болса, онда 2700-2770 қатарларынан тұратын шағын бағдарламаны біріктірілген бағдарламалардың  басқа да бөлімдерінен алуға да болады., яғни 2460-2470 қатарларын 3460-3470, 4460-4470 және т.с.с. қатарларының орындарына көшіре отырып.

Программа 2.

2000 REM Биномиальное распределение

2010 Z$=”000000”:CF=0.0000005

2100 PRINT:PRINT:PRINT “Биномиальное распределение”

2110 PRINT:PRINT “X  есть число успехов в n”

2120 PRINT “испытаниях Бернулли,каждое из которых”

2130 PRINT “имеет вероятность успеха р.”

2135 REM при n=1 получается распределение Бернулли.

2136 REM если n  велико, А р мало, то Х приближенно имеет

2137 REM распределение Пуассона со средним, равным n*р.

2140 PRINT:INPUT “Введите n,p”;N,P

2150 Q=1-P:FL=0

2160 M=N*P:V=M*Q

2200 PRINT:PRINT “Среднее=”;M

2210 PRINT “Дисперсия=”;V

2220 PRINT “ Стандартное отклонение=”;SQL(V)

2230 IF N*LOG(Q)<-18GOTO 2600

2300 W=Q^N:PQ=P/Q

2310 Y=W

2320 RL=0:RU=:4 IF N<RU THEN RU=N

2400 PRINT

2410 IF FL>0 THEN PRINT:PRINT “Х есть число неудач”

2420 PRINT:PRINT “r  Р(Х=r)”; TAB(21); “P(X<=r)

2430 PRINT

2440 FOR I=RL TO RU

2450 IF I<10 THEN PRINT “ ”;

2460 PRINT;I;:A=W:GOSUB 2700:PRINT “   “;S$;

2470 A=Y:GOSUB2700:PRINT TAB(20); S$

2480 W=W*(N-1)*PQ/(I+1):Y=Y+W

2490 NEXT I

2500 IF RU<N THEN PRINT:PRINT “Чтобы продолжить работу,нажмите С”

2510 PRINT:PRINT “Чтобы вернуться к началу, нажмите R”

2520 R$=GET$

2530 IF R$= “R” OR RU=N GOTO 2100

2540 RL=RU+1:RU=RU +12:IF N<RU THEN RU=N

2550 PRINT:PRINT:PRINT  “Биномиальое распределение”

2560 PRINT:PRINT “n=”;N; “p=”;P

2570 GOTO 2400

2600 IF N*LOG(P)>-18 THEN W=P^N:PQ=Q/P:Fl=1:GOTO 2310

2610 PRINT:PRINT “ Эта программа не может работать с таким большим n,когда p=”;P

2620 GOTO 2100

2700 A=A+CF

2710 IF A>0.1 THEN S$=LEFT$(STR$A), 8):RETURN

2720 FOR J=1 TO 5

2730 A=10*A:IF A>0.1 GOTO 2760

2740 NEXT J

2750 S$=”0.000000”:RETURN

2760 S$= “0.”+LEFT $(Z$,J)+MID$(STR$A),6-J)

2770 RETURN

 

Ескерту.

1. 2010, 2460-2470 және 2700-2770 қатарларын қолдану және оларды басқа бағдарламаларға пайдалану жайын екінші бағдарламасының алдындағы түсініктемені қараңыз.

 

2. Параметрлердің тиісті шамаларын, мәндерін бере отырып түрлі үйлестірулер араларындағы өзара байланысты тексеруге болады.,

 

3. 2230 және 2600-2610 қатарларындағы компьютер 1Е-18 біршама кіші сандарды ұсына алмайды. LOG  функциясы 1 негізі бойынша логарифмді білдіреді, қажет болған жағдайда көрсетілген қатарларды өз компьютеріңізге сай келетіндей етіп түрлендіріп алыңыз.

 

4. Егер компьютер сандарды ұсынуды игере алмаса онда сәтсіздік және табыстың 2600 қатарында орын ауыстырады. Ондай болса, FL айнымалысына бірлік беріледі.

 

5. 2320,2440-2450 және 2500-2570 қатарларында бір қабылдауда баспаға 12 қатар түрінде беріледі.

 

6. 2300 қатарында немесе басқа жағдайдағы 2600 қатарында W айнымалысымен Р(X=0)  мәнін алады. 2480 қатарында W айналысымен Р(X=I+1) мәні ұсынылады. 2300 қатарында P/Q  мәні, ал егер қаажат болған жағдайда 2600 қатарында  оған    P/Q шамасы ұсынылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометриялық үлестіру

 

Айталық, жоғарыда келтірілген жағдайлар секілді Бернулли сынамасын жүргізіліп жатыр делік, ол сынама бірінші «табыс, жетістік» алына салысымен аяқталады. Олай болатын болса, бізді толғандырып отырған кездойсоқ шама бірінші табыс, жетістік алғанға дейінгі сынаманың саны табылады. Бұл кездойсоқ шама біркелкі, дара р  параметрлі геометриялық үлестіруге  ие. Ол.бір бөлек алынған сынамадағы табыс, жетістіктің ықтималдығы ретінде тағы да анықталады. Мұндай үлестірулерге, таратуларға келтірілетін мысалдар, көбінесе «тордың бірінші түсуіне дейінгі монетаны лақтыру» немесе «алтылықтың бірінші түсу жағдайына дейінгі ойын сүйегін лақтыру» түрлерінде келтіріледі. Практикалық мәні бар  мысал «жіпті бірінші сәттілікке дейін инеге енгізу» немесе «қару – жаарақтары сақталған  жаудың қоймасын бірінші реттілікті тигізгенше атқылау».

Х-кездойсоқ шамасы бірінші сәттілікке дейінге смынаманың саны болып табылады, ондай болса P(Х=1)  мәні бірінші  сынақтағы ықтималдығына теңелуі тиісті. Бірінші сұрақтағы сәтсіздік және сәттілік ықтималдығы –екінші жағдайда ықтималдылықтарды тәуелсіз жағдайлар үшін ережесімен мәнін  құрайды, сондықтан ол X=2 көрсеткішінің  ықтималдығы. Бөлудің жалпы  формуласы мына төмендегідей түрде болатынына көз жеткізу қиын емес:

,…

Мұндағы таңдап алынған жазықтықтың нүктелер  саны  шексіз…

Таңдап алынған жазықтықтың әрбір нүктесі кездойсоқ мәндердің  жаңа шамаларынан туындайды, яғни бұл нүктелер тең  ықтималды деп есептелінбейді. Ықтималдықты  бөлудегі тізбекті мүшелері q бөлгішімен геометриялық прогрессияны құрайды. Бөлудегі кумулетивті  функция ықтималдығы  бөлудегі бірінші мүшеелерін суммалау  жолымен немесе қарам-қайшылық жағдайлар ережелерін алынуы  мүмкін. Егер  жіктелу реттілігін еске түсірсек орташа мән жеңіл табылады.

так что

 

Күрделі қатарлық қойылымдар немесе келтірілетін функцияары қолдану  екінші бастапқы  момент үшін формуласын береді., мұнда

 

Кейбір жағдайларда  геометриялық бөлудегі кездойсоқ шамалар  бірінші сәттілік, табысқа дейінгі  Бернулли  сынамасының саны түрінде  анықталады Осының  нәтижесінде  барлық бөлулер бір орын төмен жылжиды, олай болса

Бұл барлық ықтималдықтар 6.3 бағдарламасы бойынша анықталатын r мәнімен қосылып жазылуы мүмкін. Бұл жағдайда мәні бірлікке  төмендеп тең болады, дисперсия  өзгермейді.

 

Программа 3.

3000 REM Геометрическое   распределение

3100 PRINT:PRINT:PRINT «Геометрическое распределение»

3110 PRINT:PRINT «Х есть число испытаний Бернулли до»

3120 PRINT «первого успеха включительно»

3230 PRINT «Каждое испытание имеет вероятность успеха р»

3135 REM Распределение (Х-1) числа испытаний

3136 REM Бернули до первого успеха также называется

3137 REM геометрическим распределением

3140 PRINT:INPUT «Введите р»;Р

3150

3200 PRINT:PRINT «Среднее=»;M

3210 PRINT “Дисперсия=”;V

3220 PRINT “Стандартное отклонение=”;SQR(V)

3300 W=P

3310 Y=W:RL=1:RU=5

3400 PRINT

3420 PRINT: PRINT “r P(X=r)”; TAB(21); “P(X<=r)”

3430 PRINT

3440 FOR I=RL TO RU

3450 IF I<10 THEN PRINT “   ”;

3460 PRINT ;I;  “    “;W;TAB(20);Y

3480 W=W*Q:Y=Y+W

3490 NEXT I

3500 PRINT:PRINT  “Чтобы продолжить работу, нажмите С”

3510 PRINT:PRINT  “Чтобы вернуться к началу, нажмите R”

3520 R$=GET$

3530 IF R$=“R ” GOTO 3100

3540 RL=RU+1:RU=RU+12

3560 PRINT:PRINT:PRINT “Геометрическое распределение”

3570 PRINT:PRINT “p=”;P

3570 GOTO 3400

 

Ескерту.

Бірінші және екінші бағдарламаларына қойылған ескертулер үшінші бағдарламасына тиісті болады.

 

 

 

 

 

 

Гипергеометриялық үлестіру

 

          “Гипер” атты қойылымы “жоғары” немесе “айрықша өлшем” гипергеометриялық және геометриялық бөлулер  араларындағы қатынастықты  жай байланыс деп қарауға болмайды. Сапалы  бақылаушы N затты партиядан n  және p   параметрлермен Бернулли бөлуі зерттеледі деп  айқындалады. Бақылаушы  р белгісіз параметрінің мәні жайлы тұжырым  жасауға ұмтылады.  Егер, тек қана бір ғана заттар тұратын таңдап алу жүргізілсе, онда деректер алдын ала болжау дұрыс болады,себебі бұл жағдайда Бернулли үлестірулері S/N параметрлерімен зерттеледі, мұндағы S мәні белгілі  деп  есеп  есептелінеді. Кездойсоқ шаманы алу n>1 іске асырылған кезеңде, тиісті сай келетін үлестіру, биномиальды болады, егер таңдап алу қайтарылуымен болса, ал егер заттар қайтарылмайтындай етіліп таңдап алынса, онда үлестіру гипергеометриялық болып табылады.Егер екі мән N және S n-мен салыстырғанда  жоғары болса, онда осы екі үлестірулер арасындағы айырмашылықтар шамалы  ғана болады. Р параметрі S/N-ға тең. Биноми альдық үлестірулерге ұқсастық бойынша «S-ты» сәттілік сандарының жиынтығы ретінде елестету ыңғайлы. Жиынтық болып заттардың қаралған партиясы болып табылады. Егер Х-кездойсоқ шамалар «таңдап алудағы сәттіліктер» саны болатын болса, онда мазмұндалған принциптерді қолдана отырып келесі  формуланың дұрыстығы, әділдігіне көз жеткізу қиын емес.