Биномальды үлестіру

Мазмұны

 

Кіріспе................................................................................................................6

I.      Тарау. Ықтималдылық туралы түсінік

1.1.    Кездойсоқ шамалардың түсініктемесі...................................................7                     

    1.2.     Ықтималдылықтың орташа  және дисперсия үлестірілуі.................11

1.3.    Бернулли үлестіруі.................................................................................13

II.      Тарау. Биномальды үлестіру

2. Геометриялық үлестіру..........................................................................22
3. Гипергеометриялық  үлестіру...............................................................25

ІІІ.     Қорытынды.............................................................................................30

ІУ.     Пайдаланылған  әдебиеттер..................................................................31           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К і р і с п е

 

Қазіргі уақытта  ықтималдықтар  теориясы  барлық жаратылыстану, экономикалық және техникалық ғылымдар ғана емес, тіпті математикадан алшақ деп саналатын тіл  ғылымына, педагогика мен психологияға, сондай-ақ социологияға, археологияға еніп, ортақ тіл табысып, ішкі құрылыс заңдарын  ашатын  пәрменді құралға айналып келеді кеңейтіліп, анықтала түседі де, формальданады. Оқиға ұғымы ықтималдылықтың . Ықтималдықтар теориясының бірінші негізгі ұғымы- оқиға бірте-бірте классикалық анықтамасында бастапқы ұғым болып, формальды логикалық тұрғыдан анықталмайтын жиын ұғымы ретінде түсіндірілсе,  аксиоматикалық тұрғыдан оған анықтама берілді. Сондықтан оқиға ұғымы туралы мына жағдайларды ескеру қажет. Оқиғалар мен олардың арасындағы қатыстарды үш рет қайталап  отырғанымызды аңғару қиын емес.

Ықтималдылық формальданған, бұл жағдайда  ықтималдықтың классикалық, статистикалық (жиіліктік),, геометриялық және аксиоматикалық анықтамалары бір-бірімен салыстыру және  жетімсіздігін толықтыру арқылы түсіндіріледі.

Негізгі теоремалардың дәлелдемесі  ықтималдылықтың классикалық анықтамасы негізінде келтірілді. Комбинаторика ұғымы қарапайым статистикалық мәліметтер арқылы сипатталады. Мұнда қайталама және қайталанбайтын таңдаамалар сияқты статистика терминдерін енгіземіз. Комбинаторика ұғымы ықтималдықтарды есептеуге кең қолданылады.

Ықтималдық ұғымдарының тарихи дамуы мен ғыылым ретінде қалыптасуы бірнеше сатыдан өтеді. Бұл ғылымның дамуына Европа ғалымдары Б.Паскаль (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), Х. Гьюгенс (1629-1695), Я. Бернулли (1654-1775), А. Муавр (1667-1754), П. Лаплас (1749-1827), Ф. Гаусс (1777-1855), С Пуассон (1781-1840) және орыс ғалымы Буяковский (1804-1889) көп үлес қосты.

                     Кездойсоқ шамалар және ықтималдылықты үйлестіру.

Кездойсоқ шамалардың түсініктемесі.

 

Математика және статистикадан  мамандандыратын жетекші  университеттің студенттерінен, олардың мектепте елу тақырыптың шамасында оқыған тақырыптарын атап көрсетуді сұраған. Студенттердің жартысына жуықтары «биномиалды үлестіру» тақырыбын және беп пайызы «дискретті кездойсоқ шамаларды» атаған.

Алайда, екінші тақырыпты   оқымай,  білмей, бірінші тақырып  жайында түсіну мүмкін емес.

Кездойсоқ шамалар дегеніміз-жазықтықта  айнымалы шамалардың  тек қана бір  мәні ғана әр нүктеге  тура келетін  сандық айнымалы болып табылады (оны  функция түрінде сипаттаған дұрыс).

Таңдамалы жазықтық көпмүшелік болып табылатын 

{1,2,3,4,5,6} ойын сүйегін лақтырумен  байланысқан сынаманы қарастырдық.  Қарапайым мысалды алу үшін  Х-тың мәнін  кездойсоқ шама  ретінде анықтау «ойын сүйегінде  түскен соң» жеткілікті. Х-1,2,3,4,5 және 6 мәндерін қабылдаулары мүмкін. Ойын сүйегін екі реттілікте лақтырумен байланысқан тәжірибесінде түскен мәндердің соммасы және әрбір бүтін мәндер 2-ден 12-ге дейін таңдап алынған жазықтық тордағы нүктелер саны саналған, яғни шын мәнісінде кездойсоқ шамалардың мүмкін болтын мәндері қарастырылған.

Кей жағдайларда кездойсоқ шамаларды  тиісті формуламен «бөліп» қарастырған  тиімдірек болады. Екі реттілікте ойын сүйегін лақтырудың В-жайындағы  «мәннің жетіге тең түсу соммасы», ал С-жағдайында  «мәннің сегізге тең түсу соммасы» анықталған. Егер Х-кездойсоқ шамасы «түскен мәндер сомасы» ретінде анықталса, онда Х=7 жағдайы В-жағдайына Х=8   ал ол С жағдайына дәлме-дәл  ұқсас келеді (осыған,байланысты айта кету,қажет,  кездойсоқ шама жағдай , оқиға бола алмайды). Әлі де В және С жағдайларына ұқсас тоғыз жағдай бар. Жинақталған осы он бір жағдайлар барлық таңдап алынған жазықтықты құрайды, ал бөлек түрде олар түскен шама, мәндерге байланысты жазықтықты бөледі.

Дискретті  таңдап алынған жазықтық-нүктелердің  шектеулі сандарынан немесе «шексіз сомаларды» нүктелердің көпмүшеліктерінен тұрады, мысалы  бүтін барлық оң сандардың көпмүшелікері.

Шексіз таңдап алынған осы жазықтыққа қарама-қарсылық жазықтықтың кез-келген шекті интервалындағы нүктелердің  шексіз сандарынан тұрады; шексіз таңдап алынған жазықтықта  бақылау  қарастырылған шексіз, үздіксіз деректерді береді. Үздіксіз таңдап алынған жазықтық және үздіксіз кездойсоқ шамалар  қарастырылады.

Дискретті таңдап алынған жазықтықта анықталған кез-келген кездойсоқ шама-дисскретті кездойсоқ шама деп аталынады. Бірқатар жағдайлардың ықтималдығы – осы жағдайларды құрайтын  ықтимал мәндердің соммасы болып табылады. Ойын сүйегі екі реттілік лақтыру жағдайында атап өткендей, таңдап алынған жазықтықтың барлық 36 нүктесі тең ықтималды. Сондықтан таңдап алынған жазықтық кездойсоқ Х- шамасымен бөлінетін он бір жағдайдың ықтималдығы 1/36 –осы жағдайды құрайтын таңдап алынған жазықтықтың нүктелер санына тең.

Дискретті кездойсоқ мәндердің  ықтималдығын үлестіру тиісті ықтималдылықтармен бірге кездойсоқ шамалардың көпмүшеліктерін білдіреді. Х-кездойсоқ шамасының ықтималдығын үлестіру мына төмендегідей түрде көрсетіледі.

Осы таңдап алынған жазықтың өзінде Х-кездойсоқ шамасын анықтай аламыз «түскен шамалар айырмасы». Бұл жерде таңдап алынған жазықтықтың алты нүктесі  бар, Y=0, Y=1 тең оң нүкте және тағы  басқалары. Ықтималдылықтарды үйлестіру, тарату 18 сан бөлгішімен ұсынған тиімдірек:

52 картадан тұратын қорабынан қайталамай  екі картаны кездойсоқ таңдап алу тәжірибесі үшін Х-кездойсоқ  шамалардың ықтималдыдылқтарын үлестіру  Х={алынған тұздардың саны} Х=0 48*47 нүктесіне тең таңдап алынған жазықтықтарға тиісті анықталады, «бірінші карта  тұз» жағдайы үшін 4*48 нүкте сай келеді, «екінші карта тұз» жағдайы үшін 4*48 нүктесі және Х=2  жағдайында  4*3 нүктесі сай келеді. Таңдап алған жазықтықта барлығы 52*51 нүкте бар, сондықтан Х үшін ықтималдылықты үйлестіру келесі түрде болады:

 

Y=0 кездойсоқ шама үшін ықтималдылықты бөлу «Алынған ликтер соңы» мына төмендегідей  болады.

Ықтималдылықтарды  графикалық бөлу жиіліктер түріндегі деректер үшін вертикалды кесінділер диаграммасы  түрінде ұсынылуы  мүмкін. Оқырман  үшін  осындай  қосымшаларды  өз беттерінше жасауға мүмкіншілік береді.  Ол осы тарауда қарастырылады.

Х-кездойсоқ шамасының  үлестірудегі кумулетивті функциясы F(X<x) түрінде анықталады. Х-тан функция түрінде өрнектелген шама кездойсоқ шама кез-келген берілген Х-санынан төмен немесе тең  болатынын белгілеуге арналған жазба әріптерін қолданудағы  және  мәнде үшін  алынған қатар әріптер айырмашылықтарына назар аударыңыздар: х-пен кез-келген  алгебралық есептеулер орындалса,ол Х-пен орындала алмайды. Сонымен қатар, бұл F(x) функциясының  анықтамасы үздіксіз және дискретті  кездойсоқ шамалар үшін қолданбалы. Тек қана бүтін, толық мәндерді қабылдайтын дискретті кездойсоқ шамалар үшін F(r)  функциясы ықтималдары суммалаумен алынуы мүмкін:

 

Жалпы жағдайда былай  жазуға болады:

F(x)  функциясы барлық Х затты шамалары, мәндері үшін анықталған, тіпті Х- кездойсоқ шама тек қана бүтін мәндерді қабылдаса да. Осы мысал үшін F(x)   фунц иясының толық жазбасы мынадай: егер, Х және Y – тек қана толық, бүтін мәндерді қабылдап,таңдап алынған жазықтықтан анықталатын болса екі дискретті кездойсоқ шамалар тәуелсіз, байланыссыз деп айтылады, егер:

Тәуелсіз кездойсоқ  шамалар толық анықталуы біркелкі  үздіксіз кездойсоқ шамалар үшін де және дискретті  шамаларға да қолданбалы. Х және Y тәуелсіз, егер

кез келген  затты х  және у үшін.

Осындай түрлі түсініктерді «тәуелсіз жағдайлар», «тәуелсіз  сынамалар», «тәуелсіз кездойсоқ  шамалар» нақты білу және түсіну ықтималдылықтың қарапайым теориясын терең түсінудің  негізі болып табылады.

 

 

 

 

 

 

Орташа және ықтималдылықты үлестіру дисперсиясы.

Біз N бақылау жиынтығынан орташа және дисперсияны анықтадық.

        

Бірқатар тізбекті бағдарламалар , жиіліктер түрінде ұсынылған деректермен жұмыс істеуге бейімделген. Егер h-ты, түрлі бақылау мәндерін - арқылы белгілесек, ал тиісті жиіліктерді - арқылы, онда h-түрлі шамасы бойынша суммасы бақылаудың жалпы санына тең болады. Ол  N-арқылы белгіленеді. Ондай болса орташа  және дисперсияға арналған формулалар мынадай түрде болады:

,

 

 

Деректер арасындағы бақылау сандарының өсу шегі бойынша барлық мүмкін болатын мәндер пайда болады, ал қатынасты жиіліктер шекті қатынасты жиіліктерге ұмтылады. Ол  дискретті  кездойсоқ шамасы түрінде болады. Формуладағы бірлікті алудың  үшін әсері жоғалады   m және    -тың   шектеулі  мәндік   шамалары  Х кездойсоқ шамалық ықтималдылықтың орташа  және үлестіру дисперсиясы болып табылады. Олар   және грек әріптерімен белгіленеді. Олай болса, қарастырылп отырған формулалар мынадай түрде болады:

       

Мұндағы екі жағдайда суммалау барлық мүмкіншілік мәндері бойынша жүргізіледі.  Тек қана бүтін, толық мәндерді қабылдайтын Х кездойсоқ шамалары үшін, былай жазуға болады:

           ,         

 

Соңғы формулада   өрнегін аша отырып жиі қолданылып жүрген өрнегіне ұқсас формуласын  аламыз.

 

Жақында қаралатын стандартты ықтималдылық  үлестірулер үшін және өрнектейтін элементарлы, қарапайым  формулалар бар. Қарапайым үлестірулер мысалында және шамаларын есептеуді жоғарыда келтірілген формулалар бойынша ешқандай қиындықты тудырмайды. Бұл жағдайда қолайлы болу үшін барлық ықтималдылықтарды олардың кіші жалпы бөлгіштеріне көбейтеміз. Онда ойын сүйегін лақтырудағы сандар үшін  алатынымыз:

          

жағдайдағылар таңдап аынған тұздар саны үшін екі  картаға алатынымыз:

 

 

   .

Бернулли үлестіруі

 

Бұл тарауда , біз ықтималдылықты  жеті түрлі типтермен байланысқан  есептеу бағдарламаларын ұсынғалы отырмыз. Мысалы, «Биномальды бөлу»  жайлы айтқанда  шын мәнісінде  дискретті кездойсоқ шамалар ға арналған , солатрға қолданылатын үлестірудің ерекше түрін қарастырады. Бірқатар тәжірибелерге сәйкес келетін нақты үлестіру деректі тәжірибенің сандық сипаттамаларының бір немесе бірнеше түрлеріне тәуелді. Оқу құралдарында «параметр» сөзі  көптеген жағдайларда «жиынтықты, жинақталған сандық сипаттама» түрінде «статистиканы» анықтай отырып  айқындалады. Бұл термин  көбінесеықтималдылықты үлестіруге қолданылады.

Үлестірудің барлық жеті, реттік сандық қатарлары бойынша ұсынылады. Ол, осындай бағдарламаларды «ықтималдылықты дискретті үлестіру»  деп  аталатын біркелкі  пакетіне жинақтауға мүмкіндік жасайды. Бірінші бағдарламаға барлық пакет үшін «меню» белгіленген. Бұл тізімде  жеті  үлестіру түрі  зерделеп – зерттелуі мүмкін, ыңғайлы болу үшін алфавиттік қатарда орналастырылған.

Қарапайым үлестіру түрі болып-Бернулли үлестіруі болып табылады. Ондағы кездойсоқ шама екі кіріспеден тұратын  таңдап алынған жазықтықта анықталған.Тиісті сынақтар жүргізілетін  типті таңдап алынған жазықтықтарды  көрсетеміз:

{герб, тор}            {жарамды, жарамсыз},

{бала, қыз}            {дәл тию, қисық кету},

{қабылданды, қайтарылды }         {өлім, жазылу},

 

Осы көрсетілген жағдайларда «жеңіс,табыс» және «жеңіліс» көріністері  көрсетілген . Х-кездойсоқ шамасын табыс саны ретінде  анықтаймыз, олай болса Х    0     және 1 мәндерін қабылдауы тиісті. Алайда, «табыс » сөзі бақылаушының міндеті жарамсыз, сапасы бар бұйымдарды  тауып алу және сондықтан да «жарамды» сөзі «жеңіліске», ал «жарамсыз» сөзі «табысқа» теңестіріледі.

Результат выполнения программы символы, таңбасы, «жетістік,табыс» ықтималдығын белгілеу  үшін қолданылады және осы дара  параметр үлестіруді  толығымен  анықтайды.   Жоғарыда  қаралған  жүйеге  қарай отырып орташа және дисперсия  мәндерін алу қиын емес:

Айта кетелік, бастапқы және орталық  моменттері, бақылау 

 

нәтижесінде алынған  деректі моменттерге ұқсас ықтималдылықтарды  үлестіру үшін анықталады. Ол және арқылы белгіленеді. Бернулли үлестіруі үшін бастапқы моменттердің R мәндерінің барлық шамалары үшін Результат выполнения программы-ға тең екенін анықтау қиын емес. Алайда, біз бұл жерде ықтималдылықтарды үлестіру үшін жоғары реттіліктегі моменттерді алуды мақсат етпейміз, себебі, олар деректерді жинақтауға үлестіру түрін іздестіруде қолданылады

Алайда, осындай қарапайым сынақтағы  «сәтсіздік» ықтималдылығы 

 Арқылы белгіленеді.  Онда  және .

 

Программа 1.

100 REM Дискретные распределения вероятностей

110 PRINT:PRINT : PRINT  “1. Бернулли распределение”

120 PRINT:PRINT “2. Биномиальное распределение”

130 PRINT:PRINT  “3.. Геометрическое распределение”

140 PRINT:PRINT  “4. Гипергеометрическое распределение”

150 PRINT:PRINT  “5. Отрицательное биномиальное распределение”