Специальная теория относительности Эйнштейна

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

     (9.18)

или

     (9.19)

где       )      (9.20)

 

 

 

 

6. Релятивистский импульс материальной точки.

Отметим, что уравнение (9.20) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики. Однако физический смысл его другой: справа стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (9.20). Таким образом, уравнение (9.20) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к с, то можно использовать только релятивистское выражение для импульса.

Анализ формул (9.17) – (9.19) показывает, что при скоростях, значительно меньших скорости света, уравнение (9.20) переходит в основной закон классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие v<<c. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v<<c (формально переход осуществляется при ). Таким образом, классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Экспериментальное доказательство зависимости  массы от скорости (13.20) является подтверждением справедливости специальной теории относительности.

 

 

 

 

 

 

 

7. Взаимосвязь массы и энергии

 

Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы (материальной точки). Раньше было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

 или dT=Fdr    (9.21)

Учитывая, что dr = v dt, и подставив в (9.21) выражение (9.20), получим .

Преобразовав данное выражение  с учетом того, что v dv =vdv, а также учитывая формулу (9.20), придем к выражению

    (9.22)

т.е. приращение кинетической энергии  частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса  равна массе покоя т₀, то, проинтегрировав (9.22), получим

Т = (т – т₀)с     (9.23)

или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

        (9.24)

Разлагая в ряд  , пренебрегая членами второго порядка малости при v<<c, выражение (9.24) переходит в классическое: .

А. Эйнштейн обобщил положение (9.22), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энергии, а именно: любое изменение массы сопровождается изменением полной энергии материальной точки

     (9.25)

Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной  зависимости между полной энергией тела Е и его массой т:

    (9.26)

Уравнение (9.26), равно как и (9.25), выражает фундаментальный закон природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Учитывая выражение (9.23), закон (9.26) можно записать в виде Е = т₀ с² + Т, откуда следует, что покоящееся тело (Т = 0) также обладает энергией Е₀ = т₀с², называемой энергией покоя. Классическая механика энергию покоя Е₀ не учитывает, считая, что при v =0 энергия покоящегося тела равна нулю.

В силу однородности времени в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Из формул (9.26) и (9.20) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы:

,   (9.27)

Возвращаясь к уравнению (9.26), отметим еще раз, что оно имеет универсальный характер. Оно применимо ко всем формам энергии, т.е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса

т = Е/с²,     (9.28)

и, наоборот, со всякой массой связана определенная энергия (9.20).

Рассматривая выводы специальной  теории относительности, видим, что  она, как, впрочем, и любые крупные  открытия, потребовала пересмотра многих установившихся и ставших привычными представлений. Масса тела не остается постоянной величиной, а зависит от скорости тела; длина тел и длительность событий не являются абсолютными величинами, а носят относительный характер; наконец, масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.

Эту ломку укоренившихся представлений  некоторые философы пытались использовать для распространения двух разновидностей идеализма: энергетизма и философского релятивизма. Первая из этих теорий рассматривала возможность преобразования массы в энергию и, наоборот, энергии в массу, доказывая «эквивалентность материи и энергии». Закон взаимосвязи массы и энергии действительно утверждает, что любые превращения энергии тела сопровождаются изменениями его массы, однако при этом масса не «переходит в энергию». Закон взаимосвязи массы и энергии является подтверждением неразрывности материи и движения – одного из основных положений диалектического материализма.

Основной вывод теории относительности  сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи – пространство-время. Только поэтому пространственно-временной интервал между двумя событиями является абсолютным, в то время как пространственные и временные промежутки между этими событиями относительны. Следовательно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространственно-временных соотношений движущейся материи.

Напомним, что эффекты специальной теории относительности будут обнаруживаться при скоростях, близких к световым. При скоростях значительно меньше скорости света формулы СТО переходят в формулы классической механики.

 

Рис.1. Эксперимент «Поезд Эйнштейна»

 

Эйнштейн попытался наглядно показать, как происходит замедление течения  времени в движущейся системе  по отношению к неподвижной. Представим себе железнодорожную платформу, мимо которой проходит поезд со скоростью, близкой к скорости света (рис.1).

В точке а₁ на платформе находится наблюдатель N₁ (или прибор, фиксирующий эксперимент). На полу вагона в точке А размещен фонарик. Когда происходит совмещение точки А в вагоне с точкой а₁ на платформе, фонарик включается, появляется луч света. Так как скорость его конечная, хотя и большая, то для того чтобы достигнуть потолка вагона, где расположено зеркало, и отразиться обратно, необходимо время, за которое поезд уйдет вперед.

Для наблюдателя в вагоне луч  света пройдет путь 2АВ, а для наблюдателя на платформе — 2А С. Как видно из рисунка, чем больше скорость поезда, тем длиннее линия АС. Очевидно, что 2АС > 2АВ. Это как раз и говорит о замедлении течения времени внутри движущейся системы по отношению к неподвижной.

Необходимо подчеркнуть, что именно в отношении определенных пространственных координат изменяются отрезки длин и промежутки времени. Наблюдатель, находящийся внутри вагона, по своим часам, скажем, ждет полчаса. А по часам наблюдателя на платформе проходит значительно больше времени. Если, например, длина космического корабля в полете уменьшается в два раза с точки зрения наблюдателя на Земле, то при возвращении на Землю корабль сбавляет скорость и его длина становится такой, как и была при отлете.

Время же необратимо. Отсюда известный парадокс близнецов. После путешествия одного из близнецов на ракете, летевшей близко к скорости света, он с удивлением увидит, что его брат стал старше его. Можно даже рассчитать такой полет.

Представим себе, что с Земли  стартовал космический корабль со скоростью 0,99 или 0,98 скорости света и вернулся обратно через 50 лет, прошедших на Земле. Но согласно теории относительности по часам корабля этот полет продолжался бы всего лишь год. Если космонавт, отправившись в полет в возрасте 25 лет, оставил на Земле только что родившегося сына, то при встрече 50-летний сын будет приветствовать 26-летнего отца.

Физиологические процессы здесь совершенно ни при чем. Нельзя спрашивать, почему за один год сын космонавта состарился на 50 лет. Теория относительности доказала, что не существует ни абсолютного времени, ни абсолютного пространства. Сын постарел на 50 лет за годы, прожитые на Земле, в системе отсчета корабля время по отношению к земле другое.

Релятивистское замедление является экспериментальным фактом. В космических лучах в верхних слоях атмосферы образуются частицы, называемые пи-мезонами, или пионами. Собственное время жизни пионов — 10"⁸ с. За это время, двигаясь даже со скоростью, почти равной скорости света, они могут пройти не больше чем 300 см. Но приборы их регистрируют. Они проходят путь, равный 30 км, или в 10 000 раз больше, чем для них возможно. Теория относительности так объясняет этот факт: 10~⁸ с является естественным временем жизни мезона, измеренным по часам, движущимся вместе с мезоном, т. е. покоящимся по отношению к нему. Но в системе отсчета Земли время жизни мезона намного больше, и за это время пионы в состоянии пройти земную атмосферу.

Говоря об относительности пространственных и временных величин в разных системах отсчета, следует помнить, что в теории относительности мы наблюдаем неразрывную связь относительного и абсолютного как одно из проявлений физической симметрии. Поскольку скорость света является абсолютной величиной, то и связь пространства и времени обнаруживается как некоторая абсолютная величина. Она выражается в так называемом пространственно-временном интервале по формуле

 

 

В каждой системе отсчета длина  тела и временной промежуток будут  различны, а эта величина останется  неизменной. Увеличение длины будет  соответствовать уменьшение промежутка времени в данной системе, и наоборот.

Важнейшим следствием СТО явилась  знаменитая формула Эйнштейна о  взаимосвязи массы и энергии  Е=mc² (где С - скорость света), которая показала единство пространства и времени, выражающееся в совместном изменении их характеристик в зависимости от концентрации масс и их движения и подтвержденная данными современной физики. Время и пространство перестали рассматриваться независимо друг от друга и возникло представление о пространственно-временном четырехмерном континууме. В теории относительности «два закона — закон сохранения массы и сохранения энергии — потеряли свою независимую друг от друга справедливость и оказались объединенными в единый закон, который можно назвать законом сохранения энергии или массы».

Создание СТО было качественно  новым шагом в развитии физического  познания. От классической механики СТО  отличается тем, что в физическое описание релятивистских явлений органически  входит наблюдатель со средствами наблюдения. Описание физических процессов в СТО существенно связано с выбором системы координат. Физическая теория описывает не физический процесс сам по себе, а результат взаимодействия физического процесса со средствами исследования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Границы применимости специальной теории относительности

Ядерная физика. Расчет энергии связи ядер — одно из важнейших приложений теории относительности. В учебном пособии «Физика-10» приводится график зависимости удельной энергии связи от числа нуклонов в ядре (т. е. от массового числа). Энергию связи определяют по дефекту масс, т. е. разности массы ядра и суммы масс составляющих его нуклонов (взятых в свободном состоянии). Поэтому точное измерение масс ядер приобретает огромное значение в ядерной физике. В связи с этим полезно повторить с учащимися метод измерения масс масс-спектрографами. Учащимся можно сказать, что современные масс-спектрографы обладают колоссальной точностью (порядка одной миллионной), что позволяет измерять дефект масс ядер. Подобные измерения сделаны для всех ядер.

Существование дефекта  масс является доказательством справедливости закона пропорциональности массы и  энергии. Этот закон служит мощным инструментом при исследовании ядерных превращений. Определяя массы вступивших в реакцию ядер и массы получающихся ядер, можно по их разности найти количество выделяемой (или поглощаемой) энергии. Если сумма масс покоя образующихся продуктов меньше суммы масс исходных продуктов, реакция идет с выделением энергии. Другая формулировка: если исходные ядра имеют меньшую энергию связи, чем вновь образуемые в результате реакции, энергия должна выделяться.

Фотоны в  рамках релятивистской механики. Мы видели, что никакая частица, обладающая конечной массой покоя, не может быть разогнана до скорости света в вакууме. Но если какая-то частица движется со скоростью света, то ей приходится «расплачиваться» за это тем, что ее масса покоя равна нулю. Световые кванты — фотоны и нейтрино — можно интерпретировать как релятивистские частицы, движущиеся с предельно возможной скоростью передачи сигнала — с.

Часто возникает вопрос о том, что стало бы с теорией  относительности, если бы выяснилось — это вопрос опыта! — что существуют сигналы, т. е. взаимодействия, передаваемые со скоростью, большей, чем с. Ответ на этот вопрос довольно прост. Для теории относительности важно лишь наличие предельной скорости передачи взаимодействий, т. е. отсутствие бесконечно быстрых сигналов. И если эта предельная скорость не скорость распространения электромагнитных волн в пустоте, то это не меняет сути теории. Правда, тогда масса покоя фотона будет уже не равна нулю. Но кто же тогда может ответить на вопрос: равна нулю точно масса покоя фотона или нет? Ответ может дать только эксперимент; для нас существенно лишь то, что с доступной в настоящее время точностью масса покоя должна быть принята равной нулю. Именно это и предполагалось во всех наших рассуждениях.