Сопоставительный анализ моделей Друде и Зоммерфельда

Применяя статистику Ферми-Дирака мы можем получить выражение для электропроводности, только выраженное через полную плотность электронов и характеристики электронов с энергией Ферми.

 

Это выражение имеет вид

 

 

 

Для распределения Ферми приложение электрического поля приводит к полному обеднению тонкой изогнутой области в k-пространстве и полностью заселяет зеркально симметричную ей область с противоположной стороны от заполненной части сферы Ферми (рисунок 3.5).

 

Рисунок3.5 — Распределение скоростей в пространстве электронного газа для состояния равновесия, и когда к нему приложено электрическое поле в x-направлении.

Все состояния с изменяющимся заполнением отвечают энергиям электрона, близким к энергии Ферми. Поэтому электропроводность зависит только от и .

Электропроводность можно выразить через среднее время свободного пробега электронов:

 

 

 

Это выражение по форме в точности совпадает с выражением, полученным в модели Друде. Отличие состоит только в определении величины . Для вырожденного электронного газа имеет значение среднее время свободного пробега только малой части всех электронов.

 

3.4 Средняя длина свободного пробега и другие свойства металлов.

 Используя υF в качестве типичной скорости электрона можно оценить среднюю длину свободного пробега :

 

 

 

Удельное сопротивление при комнатной температуре составляет от 1 до 100 мкОм*см, а величина обычно лежит в пределах от 2 до 6, следовательно, даже при комнатной температуре средняя длина свободного пробега может быть порядка сотни ангстрем.

Поскольку конкретный вид распределения электронов по скоростям не играет никакой роли при расчете статической и высокочастотной проводимости, коэффициента Холла и магнетосопротивления, их значения остаются неизменными независимо от того, используется ли статистика Максвелла — Больцмана или статистика Ферми — Дирака.

Однако эти выводы несправедливы, если время релаксации зависит от энергии. Например, если предположить, что электроны сталкиваются с неподвижными рассеивающими центрами, то тогда естественно считать, что длина свободного пробега не зависит от энергии, поэтому время релаксации оказывается зависящим от энергии:

 

 

 

Вскоре после того, как Друде предложил описывать металл моделью электронного газа, Лоренц воспользовался классическим распределением скоростей Максвелла — Больцмана и показал, что если время релаксации зависит от энергии, что это должно приводить к температурной зависимости статической и высокочастотной проводимостей, а также к отличному от нуля магнетосопротивлению и к коэффициенту Холла, который оказывается зависящим от поля и от температуры. Поскольку для металлов неприменимо классическое распределение по скоростям, ни одна из таких поправок, как и следовало ожидать, не смогла устранить глубокие расхождения между выводами модели Друде и экспериментальными фактами, относящимися к металлам.

 

3.5 Недостатки теории свободных электронов.

В своих теориях как Друде, так и Зоммерфельд используют модель свободных электронов. Данная теория успешно объясняет многие характерные свойства металлов. Наиболее явные недостатки модели в том виде, как она была первоначально предложена Друде, связаны с тем, что для описания электронов проводимости в ней используется классическая статистическая механика. Зоммерфельд устранил подобные недостатки, применив к электронам проводимости статистику Ферми — Дирака, но оставив без изменения все другие основные предположения модели свободных электронов.

Однако многие количественные результаты, получаемые в модели свободных электронов Зоммерфельда, по-прежнему противоречат экспериментам; кроме того, эта модель оставляет нерешенными ряд принципиальных вопросов.

Теория свободных электронов предсказывает, что коэффициент Холла при плотностях электронов, типичных для металла, имеет постоянную величину RH = -1/nec, на зависящую от температуры, времени релаксации и напряженности магнитного поля. Хотя наблюдаемые значения коэффициента Холла имеют действительно такой порядок величины, тем не менее обычно они зависят как от напряженности магнитного поля, так и от температуры. Часто подобная зависимость оказывается резко выраженной. Лишь коэффициенты Холла щелочных металлов обнаруживают поведение, близкое к предсказаниям теории свободных электронов.

Из теории свободных электронов следует, что сопротивление проводника в направлении, перпендикулярном постоянному магнитному полю, не должно зависеть от напряженности поля. В действительности же почти всегда такая зависимость имеет место, в случае, например, благородных металлов сопротивление может возрастать практически неограниченно при увеличении поля.

Знак термо-э.д.с., как и знак постоянной Холла, не всегда совпадает с предсказанием теории свободных электронов. Также теория свободных электронов не может объяснить температурную зависимость статической электропроводности.

Из простой диэлектрической проницаемости, к которой приводит модель свободных электронов, невозможно получить зависимость оптических свойств металлов от частоты,  в виду сложного характера данной зависимости.

Теория Зоммерфельда достаточно хорошо объясняет величину линейного по Т члена в низкотемпературной теплоемкости для щелочных металлов, несколько хуже для благородных металлов и совсем плохо для переходных металлов, таких, как железо и марганец.

Модель свободных электронов не содержит ничего, кроме самих электронов, поэтому она не в состоянии объяснить, почему электронный вклад в теплоемость должен преобладать только при низких температурах эксперименты совершенно однозначно указывают, что поправка к линейному члену, пропорциональная Т3, обусловлена чем-то иным, поскольку вклад электронов в член с Т3, получаемый в простой теории Зоммерфельда, имеет неправильный знак и в миллионы раз меньше наблюдаемого.

 

 

 

 

Выводы.

Зоммерфельд заново рассмотрел модель Друде, заменив всюду классическое распределение по скоростям Максвелла — Больцмана распределением Ферми — Дирака. Классическое описание движения электрона возможно в том случае, когда его координата и импульс могут быть измерены с необходимой точностью без нарушения принципа неопределенности. Типичный электрон в металле имеет импульс порядка hkF, поэтому, чтобы классическое описание было хорошим, неопределенность импульса электрона Ар должна быть малой по сравнению с hkF. Поскольку kF ~ l/rs, неопределенность координаты должна удовлетворять соотношению

 

 

 

где rs имеет порядок среднего расстояния между электронами, т.е. составляет несколько ангстремов.

Поэтому классическое описание невозможно, если приходится рассматривать электроны, которые локализованы на расстояниях порядка межатомных. Однако электроны проводимости в металле не привязаны к конкретным ионам, а свободно передвигаются по объему металла. В макроскопических образцах в большинстве случаев нет необходимости задавать их координаты с точностью до 10-8см. В модели Друде знание координат электрона существенно главным образом в следующих отношениях:

Когда к металлу приложено переменное электромагнитное поле или же градиент температуры, мы должны быть в состоянии указать координаты электрона с точностью до расстояний, малых по сравнению с характерным масштабом X, на котором изменяется поле или градиент температуры. В большинстве практических случаев приложенные поля и градиенты температуры не меняются существенно на расстояниях порядка ангстрема, поэтому достижение требуемой точности при измерении координаты электрона не приводит к недопустимо большой неопределенности в его импульсе.

В модели Друде неявным образом предполагается также, что электрон можно локализовать на расстояниях, гораздо меньших длины свободного пробега; ввиду этого не следует доверять таким классическим рассуждениям, в которых длина свободного пробега гораздо меньше 10 А. К счастью, оказывается, что в металлах при комнатной температуре длина свободного пробега порядка 100 А и возрастает с понижением температуры.

Таким образом, существует широкий класс явлений, когда поведение отдельного электрона в металле хорошо описывается классической механикой. Использование статистики Ферми — Дирака влияет лишь на те предсказания модели Друде, для получения которых необходимо знать распределение электронов по скоростям.

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Ашкрофт Б.Н., Мермин Н. Физика твердого тела. – Ч. 1. - М.: Мир, 1979.

2. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. – М.: Высшая школа, 1985.

3.Блейкмор Дж. Физика твордого тела. –– М.: Мир, 1988.

4. Слэтэр Дж. Диэлектрики, полупроводники, металлы. – М.: Мир, 1969.

5. Горбачев В.В., Спицина Л.Г. Физика полупроводников и металлов. - М.: Металлургия, 1982.

6. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. – М.: Мир, 1969.

7. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела . – М.: Наука, 1978.

8. Петрович В.А. Учебно-методическое пособие к лабораторной работе «Классическая модель металлов Друде». – Мн.: БГУИР, 1995.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Эффект Холла и магнетосопротивление

( к пункту 1.2)

 

 

 

 

Рисунок А.1— Схематическое изображение опыта, проведенного Холлом.

 

.

 

 

 

Al

Рисунок А.2 — Зависимость постоянной Холла от частоты

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Энергия Ферми, вид поверхности Ферми, скорость Ферми, уравнение Шредингера, вид волновой функции

(к пункту2.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок Б.1— Сфера Ферми 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Статистика Максвелла-Больцмана и Ферми-Дирака

(к пункту 3.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок В.1 — Сопоставление распределения Ферми-Дирака и распределения Максвелла-Больцмана