Сопоставительный анализ моделей Друде и Зоммерфельда

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение…………………………………………………………………….……..4

1.  Модель Друде……………………………………………………………….....5

1.1 Статическая электропроводность металла……………………………….6

1.2 Эффект Холла и магнетосопротивление  в модели Друде……………….8

1.3 Высокочастотная электропроводность металла………………………...10

1.4 Основные противоречия модели Друде…………………………………11

2. Модель Зоммерфельда………………………………………………………..11

2.1 Распределение Ферми-Дирака  и его применение…………………........12

2.2 Энергия Ферми, поверхность Ферми, скорость Ферми,                       температура Ферми.....................................................................................13

3. Сопоставительный анализ………………………………………………........16

3.1 Сравнительный анализ статистики  Максвелла-Больцмана и              Ферми-Дирака…………………………………………………………….17

3.2 Теплоемкость металлов…………………………………………………..19

3.3 Статистика Ферми и проводимость металлов…………………………..22

3.4 Средняя длина свободного  пробега и другие свойства металлов……..23

5. Недостатки теории свободных электронов……………………………..24

Выводы…………………………………………………………………………...26

Список литературы………………………………………………………………27

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А Эффект Холла и магнетосопротивление

( к пункту 1.2)……………………………………………....28

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Энергия Ферми, вид поверхности Ферми,

 скорость Ферми(к пункту 2.2)…………………………....29

ПРИЛОЖЕНИЕ В Статистика Максвелла-Больцмана и

  Ферми-Дирака (к пункту 3.1)…………………...……........30

 

 

         Введение.

Металлы занимают особое положение в физике твердого тела, обнаруживая ряд поразительных свойств, отсутствующих у других твердых тел Хотя большинство обычно встречающихся нам твердых тел не являются металлами, с конца XIX столетия до настоящего времени металлы играют важную роль в теории твердого тела. Последние сто лет физики пытаются построить простые модели металлического состояния, которые позволили бы качественно и даже количественно объяснить характерные металлические свойства. В ходе этих поисков блестящим успехам неоднократно сопутствовали также, казалось бы, безнадежные неудачи.

Далее мы будем рассматривать теории проводимости металлов Друде и Зоммерфельда предложенные в начале ХХ века. Успехи данных моделей были значительными. Данные теории часто применяются и сегодня, поскольку дают возможность быстро построить наглядную и картину и получить оценки характеристик. В данной работе будут указаны свойства металлов, объясненные при помощи данных моделей, проведен сравнительный анализ, указаны различия одной теории от другой, а также преимущества и недостатки данных теорий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Модель Друде.

 

Первая простейшая классическая модель газа свободных электронов в металле была построена Друде в 1900г.. В своей модели (рисунок1.1), Друде рассматривал электроны в металле как электронный газ и применил к нему кинетическую теорию газов, что оказалось весьма плодотворным.

 

а – схематическое изображение изолированного атома; б – в металле ядро и ионный остов сохраняют ту же конфигурацию, что и в изолированном атоме, а валентные электроны покидают атом и образуют электронный газ.

Рисунок 1.1

 

К основным предположениям теории Друде относятся следующие:

 

1. В интервале между столкновениями при отсутствии внешних электромагнитных полей каждый электрон движется прямолинейно и с постоянной скоростью, а под действием внешних полей электрон движется в соответствии с законами Ньютона. При этом не учитывается взаимодействие электрона с другими электронами (приближение независимых электронов) и ионами (приближение свободных электронов).

 

2. При соударении электроны отскакивают от непроницаемых сердцевин ионов. Т.е. процесс рассеяния электронов рассматривается как простая механическая модель, согласно которой электрон отскакивает от иона к иону (рисунок 1.2).

 

 

Рисунок1.2 — Траектория электрона проводимости, рассеивающегося на ионах, в соответствии с представлениями Друде.

 

3. Электроны испытывают столкновения за единицу времени с вероятностью, равной 1/τ, где τ представляет собой время свободного пробега или время релаксации. За это время электрон проходит расстояние, равное его средней длине свободного пробега λ.

 

4. Электроны приходят в состояние теплового равновесия благодаря столкновениям. Скорость электрона сразу же после столкновения не связана с его скоростью до столкновения и направлена случайным образом.

 1.1 Статическая электропроводность металла.

В соответствии с законом Ома Ток I через проводник пропорционален падению напряжения U вдоль проводника: U=I*R. Сопротивление проводника зависит от его размеров, но не зависит от величины тока или падения напряжения. С помощью модели Друде можно объяснить такую зависимость и оценить величину сопротивления.

Обычно зависимость R от формы проводника устраняют, вводя величину, характеризующую сам метал – удельное сопротивление ρ. Оно определяестя как коэффициент пропорциональности между напряженностью электрического поля в некоторой точке Е и плотностью тока j. Эта формула имеет вид

 

E= ρj.

 

Исходя из этой формулы, а также выражений для напряжения U, В, и            тока I, А, которые записываются в виде

 

U=El и I=jS,

 

а сопротивление находится по формуле

 

 

 

Если в единице объема движется n электронов с одинаковой скоростью v, то выражение для плотности тока запишется в виде

 

j = -nev.

 

В отсутствии электрического поля все направления движения электронов равновероятны и среднее значение v равно нулю. Соответственно суммарная плотность тока также равна нулю. В присутствии поля Е, усредненная скорость по всем электронам отлична от нуля, направлена противоположно полю и записывается выражением

 

 

 

Величина, имеющая вид

 

 

 

является величиной, обратной удельному сопротивлению и называется проводимостью.

 

 

 

Используя выражение для проводимости можно определить время релаксации по формуле

 

 

 

Для комнатных температур τ оказывается порядка 10-14-10-15 с.

Фундаментальный интерес представляют величины не зависящие от τ, так как во многих отношениях точное количественное рассмотрение времени  релаксации остается наиболее слабым звеном в теориях проводимости металлов. Особенно важны два случая: расчет электропроводности при наличии пространственно-однородного постоянного магнитного поля и при наличии пространственно-однородного, но зависящего от времени электрического поля.

 

2. Эффект Холла и магнетосопротивление в модели Друде.

 

В 1879г. Холл обнаружил, что если проводник с током поместить в магнитное поле, то поперек проводника перпендикулярно как току, так и магнитному полю автоматически возникает разность потенциалов. Она пропорциональна произведению тока на магнитную индукцию. Выражая эту разность потенциалов через величины, не зависящие от размеров образца, мы приходим к представлению о поперечном электрическом поле, напряженность которого пропорциональна магнитной индукции и плотности тока.

Проводник с током ( ) помещается в магнитное поле с индукцией . Причем векторы и (создающие в проводнике ток) в опытах Холла были взаимно перпендикулярны (рисунок 1.3).

 

Рисунок 1.3 – Схематическое изображение опыта Холла

 

На электрон в электромагнитном поле действует две силы. Результирующая сила запишется в виде

 

 

 

где q — заряд, Е — напряженность электрического поля, v x В — векторное произведение скорости на магнитную индукцию.

В эффекте Холла скорость электрона v направлена вдоль проводника, а магнитная индукция В перпендикулярна скорости. Поэтому вектор - поперечен. Иными словами, электрон, двигаясь вдоль образца в магнитном поле, подвергается действию поперечной силы, стремящейся столкнуть его к одной из граней проводника. Таким образом, на образце возникнет поперечная разность потенциалов. Соответствующая напряженность электрического поля , носит название электродвижущей силы Холла или поля Холла .

Холл обнаружил, что величина равная отношению поля вдоль проводника Ех к плотности тока jx не зависит от поля. Эта величина получила название магнетосопротивления и записывается в виде

 

.

 

Второй характеристикой - является величина поперечного поля .

Плотность тока j определяется по формуле

 

 

 

где n — число носителей тока в единице объема, a e — заряд.

Таким образом выражение для напряженности поля Е имеет вид

 

 

 

Исходя из последней формулы, выражение для постоянной Холла RH запишется в виде

 

 

 

Т.к. поле Холла направлено против оси Y, коэффициент RH должен быть отрицательным. С другой стороны, если бы заряд носителей был положительным, знак их х-компоненты скорости был бы обратным, и сила Лоренца осталась бы неизменной. В результате поле Холла имело бы направление, противоположное тому, которое оно имеет при отрицательно заряженных носителях.

В рамках модели Друде невозможно объяснить зависимость коэффициентов Холла от поля. Зависимость коэффициента Холла от ωeτ изображена на рисунке(рисунок 1.4).

 

Рисунок1.4— Зависимость величины от ωeτ для алюминия.

 

3. Высокочастотная электропроводность металла.

Чтобы рассчитать ток, вызываемый в металле зависящим от времени электрическим полем, запишем это поле в виде

 

Е (t) = Re (Е (ω) e- ωt).

 

Тогда уравнение движения для импульса, приходящегося на один электрон, приобретает вид:

 

,

 

а стационарное решение будем искать в виде

 

.

 

После проведения ряда несложных преобразований и подстановок мы получаем выражение связывающее плотность тока j(ω) c напряженностью поля E(ω), которое имеет вид

 

.

 

Коэффициентом, связывающим эти две величины, является электропроводность . Из последнего выражения видно, что эта величина состоит из действительной и мнимой части, т.е. является комплексной величиной и находится по формуле

 

,

 

 где  и находятся из выражений

 

 и  .

 

При частоте это выражение переходит в выражения для статической проводимости. При значение становится равным . При значение электропроводности стремится к нулевому значению. Зависимость величин от частоты ω изображена на рисунке (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5

4. Основные недостатки модели Друде.

 

Электронная теория проводимости металлов, развитая Друде, была чрезмерно упрощенной, так как в ней предлагалось, что все электроны имеют одинаковую скорость теплового движения.

Эта теория применялась для описания оптических явлений в твердых телах, а также различных термоэлектрических явлений, эффекта Холла и других, связанных с ним эффектов. Данная модель казалась вполне удовлетворительной, однако она содержала несколько серьезных недостатков, от которых не удалось избавиться до тех пор, пока в середине 20-х годов к решению задачи не была применена квантовая механика.

Теория Друде не смогла объяснить целый ряд явлений, наблюдающихся на опыте. После того, как был проделан расчет длины свободного пробега, выяснилось, что эта величина слишком велика, чтобы казаться разумной. Из опыта известно, что проводимость значительно увеличивается при низких температурах. Это приводит и к значительному возрастанию длины свободного пробега. Оказалось, что вполне можно получить значения длин свободного пробега порядка сотен ангстрем. Кажется парадоксальным, что электрон в металле способен без столкновений пройти путь, значительно превышающий межатомное расстояние, которое составляет всего несколько ангстрем.

Также экспериментально было установлено, что в довольно большом интервале температур удельное сопротивление пропорционально абсолютной температуре (ρ~T). Известно, что <u> ~ √T, а значит и ρ~√T. Для того чтобы теоритические результаты не противоречили опыту, нужно предположить, что n0<λ> обратно пропорционально √T. Однако пользуясь известным выражение для <λ> , обосновать такую зависимость невозможно. Теория Друде не могла объяснить такие явление как положительный знак коэффициента Холла для некоторых металлов и явление сверхпроводимости.

 

2. Модель Зоммерфельда.

Первые серьезные работы по приложению статистики Ферми-Дирака к актуальным проблемам электронной теории металлов были выполнены Зоммерфельдом и его сотрудниками в 1928г. Данные авторы исследовали задачу об электронной теплоемкости, после чего перешли к проблемам электронной проводимости, термоионной эмиссии и другим вопросам.

В большинстве случаев, модель Зоммерфельда представляет собой модель металлов классического электронного газа Друде с единственным отличием: распределение электронов по скоростям описывается распределением Ферми-Дирака, а не Максвелла-Больцмана. Применение квантовой статистики помогло избавиться от ряда недостатков модели Друде, однако многие количественные результаты, получаемые в модели свободных электронов Зоммерфельда, по-прежнему противоречат экспериментам.

 

2.1 Распределение Ферми-Дирака  и его применение.

Статистика Ферми — Дирака относится к совокупностям частиц (например, электронов), которые подчиняются принципу Паули, но во всех других отношениях движутся независимо друг от друга. В частности, они могут двигаться и во внешнем поле, хотя в случае свободных электронов таковое отсутствует.