Сопоставительный анализ моделей Друде и Зоммерфельда

Рассмотрим распределение электронов по различным возможным энергетическим уровням. Как известно, согласно принципу Паули, каждый уровень может быть занят не более чем одним электроном с заданной ориентацией спина. При температуре абсолютного нуля нижние энергетические уровни вплоть до уровня Ферми целиком заполнены, так что занятых состояний как раз достаточно для размещения всех электронов.

Статистика Ферми — Дирака позволяет обобщить этот результат на случай более высоких температур. Именно при температуре Т среднее число электронов с заданной ориентацией спина, находящихся в стационарном состоянии с энергией Е, дается выражением

 

 

 

Здесь Ef — энергия Ферми, подлежащая определению. Вид функции Ферми F(E) показан на рисунке. Когда энергия Е значительно меньше EF, F(E) приближается к 1; при значении Е гораздо большем, чем EF, функция F(E) стремится к нулю.

 

 

а — при температуре абсолютного нуля; b,с — при более высоких температурах.

Рисунок 2.1 — Вид функции Ферми F (Е)

 

Как видно из графика, переход от одного случая к другому происходит тем быстрее, чем ниже температура. При температуре абсолютного нуля функция F(E) изменяется бесконечно быстро: при всех энергиях, меньших ЕF, каждый уровень занят двумя электронами с различными ориентациями спина, в то время как при энергиях, больших EF, все уровни пусты. Таким образом, энергия EF соответствует введенному выше уровню Ферми. При температуре абсолютного нуля это есть верхний заполненный уровень энергии.

 

2.2 . Энергия Ферми, поверхность Ферми, скорость Ферми, температура Ферми.

Уравнение Шредингера для свободной частицы в трехмерном случае имеет следующий вид

 

 

Решение этого уравнения является волновая функция, которая имеет вид

 

 

 

Также для волновой функции должны выполняться граничные условия, записываемые соотношением

 

 

 

где L-некоторый период. Аналогичные условия должны выполняться для координат y и z:

 

 

 

 

 

Волновые функции, удовлетворяющие уравнению Шредингера и граничным условиям, представляют собой плоские волны и находятся по формуле

 

 

 

где k принимает следующие значения

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя уравнение плоской волны в уравнение Шредингера получим следующее выражение

 

 

 

 

 

 

 

В последнем выражении εk — собственные значения энергий состояний с волновым вектором k, величина которого связана с величиной длины волны следующим соотношением

 

 

 

 Импульсу p в квантовой механике соответствует оператор . Подействовав этим оператором на волновую функцию запишем результирующее выражение

 

 

 

Следовательно, плоская волна является собственной функцией оператора импульса  . Отсюда скорость частицы в состоянии с волновым вектором k определяется соотношением

 

 

 

В основном состоянии системы из N свободных электронов, занятые состоянии можно описывать точками внутри сферы в k-пространстве (рисунок 2.2). Энергия соответствующая поверхности этой сферы, является энергией Ферми. Волновые векторы упирающиеся в поверхность этой сферы, имеют длины, равные kF ,  а сама поверхность называется поверхностью Ферми.

Рисунок 2.2 — Сферическая поверхность Ферми.

 

 

Использую известную формулу для объема шара, а также то, что полное число состояний равно числу электронов N, получаем выражение

 

 

 

Используя это выражение получим формулу для энергии Ферми, устанавливающее зависимость энергии Ферми от концентрации электронов и от их массы. Данное выражение имеет вид

 

 

 

Для скорости электронов на поверхности Ферми получим формулу:

 

 

 

где скорость υF называется скоростью Ферми.

Значение температуры Ферми определяется отношением

 

 

 

гдепостоянная Больцмана, температура Ферми.

 

3.Сопоставительный анализ  модели Друде и модели Зоммерфельда

В своих теориях, рассматривая электропроводность металлов и Друде, и Зоммерфельд применяли модель свободных электронов. Основным отличием рассматриваемых моделей является применение разных законов распределения, которые описывали поведение электронов в металле.

В модели Друде применялась статистика Максвелла-Больцмана. Зоммерфельд заново рассмотрел модель Друде, заменив классическое распределение по скоростям Максвелла-Больцмана распределением Ферми-Дирака.

Поскольку электроны должны подчиняться принципу запрета Паули, классическая статистика Максвелла-Больцмана неприменима к электронам, поскольку она не учитывает того факта, что в любой момент времени данное состояние может быть занято только одним электроном.

Применение методов  квантовой механики (в форме статистики Ферми-Дирака) помогло ответить на ряд вопросов, которые не могла объяснить модель металлов Друде, таких как малая величина удельной теплопроводности электронов, механизмы электрического сопротивления и др..

 

3.1 Сравнительный анализ статистики Максвелла-Больцмана и Ферми-Дирака

Статистика Максвелла-Больцмана является приближенным предельным случаем, в который переходит при определенных условиях статистика Ферми — Дирака. В названных статистиках допустимые микросостояния принимаются равновероятными. Но статистики отличаются друг от друга тем, как они определяют микросостояния и статистические веса макросостояний.

Статистика Максвелла-Больцмана стоит на точке зрения принципиальной различимости частиц, даже тогда, когда частицы абсолютно тождественны. Если частица А находится в квантовом состоянии I, а частица В — в квантовом состоянии II, статистика Максвелла-Больцмана считает это одним состоянием, а когда эти частицы поменяются местами (т. е. частица А перейдет в состояние II, а частица В - в состояние I) то получится новое микросостояние (рисунок 3.1, п. 1 и 2). Квантовая статистика Ферми — Дирака наоборот, принимает, что при такой перестановке никаких изменений не произойдет — получится в точности то же микросостоянне. Эта статистика стоит на точке зрения принципиальной неразличимости тождественных частиц.

Пусть мы имеем две тождественные частицы A и В, которые надо разместить на трех квантовых состояниях. Изобразим схематически все равновероятные состояния, допускаемые статистикой Максвелла-Больцмана(рисунок 3.1) и Ферми-Дирака рисунок(3.2) для наглядного сравнения. Тождественные частицы в статистике Ферми-Дирака обозначим точками, в силу их неразличимости.

 

Рисунок 3.1— различные квантовые состояния (статистика Максвелла-Больцмана)

Рисунок 3.2— Различные квантовые состояния (статистика Ферми-Дирака)

 

Очевидно, что статистики Максвелла-Больцмана и Ферми-Дирака принципиально разные. Запишем конечное выражения для этих двух статистик .

Распределение Ферми-Дирака:

 

 

 

Распределение Максвелла-Больцмана:

 

 

 

Сравнение распределений Ферми-Дирака и Максвелла-Больцмана показано на рисунке(рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 — Распределение Ферми-Дирака и Максвелла-Больцмана.

Рассмотрим более подробно, как статистика Ферми-Дирака, которую применил Зоммерфельд к модели свободных электронов, позволила избавится от наиболее вопиющих термодинамических противоречий модели Друде.

 

3.2 Теплоемкость металлов

 

Проблема теплоемкости электронов проводимости на раннем этапе развития теории металлов оказалась непреодолимо трудной. Во времена Друде и затем в течение многих лет вполне разумным казалось предположение, что распределение электронов по скоростям совпадает с распределением молекул в обычном классическом газе с плотностью п = N/V, и описывается, в состоянии равновесия при температуре Т, формулой Максвелла — Больцмана, которая имеет вид

 

 

 

где Е — полная энергия частицы.

 Подобное предположение в сочетании с моделью Друде приводит к результатам, согласующимся по порядку величины с законом Видемана — Франца. Однако, если считать, что каждый электрон, независимо от остальных, дает вклад в теплоемкость металла, равный 3/2кв на один электрон. Однако экспериментально такой вклад обнаружен не был.

Этот парадокс вызывал сомнения в справедливости модели Друде, которые рассеялись лишь после создания квантовой теории и признания того факта, что для электронов, в силу принципа запрета Паули, распределение Максвелла — Больцмана должно быть заменено распределением Ферми — Дирака.

Когда мы нагреваем образец от абсолютного нуля, не каждый электрон в нем приобретает энергию порядка kBT, как следовало бы согласно классической теории газов. В основном состоянии все уровни, лежащие ниже уровня Ферми заняты. При любом механизме возбуждения электрона энергия должна быть достаточно большой, чтобы электрон перешел на один из свободных уровней, лежащих выше уровня Ферми.  Электроны, занимающие, согласно распределению Ферми, энергетические уровни, лежащие значительно ниже уровня Ферми, не испытывают тепловое возбуждение. Возбуждение таким путем испытывают лишь те электроны, энергия которых находится вблизи уровня Ферми в интервале kBT.

Электроны, способные к возбуждению, ведут себя как простой газ с тепловой энергией, равной  . Это позволяет решить проблему теплоемкости газа электронов проводимости.

При произвольной температуре величина ЕF определяется из условия, что сумма значений функций F(E) по всем энергетическим уровням должна быть равна полному числу электронов в системе. Таким образом, зная энергии различных стационарных состояний, мы можем вычислить EF.

Предположим, что газ свободных электронов заключен в прямоугольный параллелепипед  с размерами A, B, C вдоль трех координатных осей, компоненты волнового вектора, описывающие волновые функции, удовлетворяют периодическим граничным условиям.   В этом случае должны выполняться следующие условия

 

 

где nx, ny, nz – целые числа.

Энергия плоской волны определяется выражением:

 

 

 

Поверхности постоянной энергии в k-пространстве имеют вид сфер с объемом

 

 

 Объем k-пространства, связанный с одним дозволенным волновым вектором, составляет:

 

 

 

Обозначим через N(E) число состояний с энергией меньше Е. Число уровней с энергией меньше Е равно объему сферической поверхности энергии в k-пространстве, деленому на объем, связанный с одним состоянием. Отсюда получаем формулу

 

 

 

Эта формула дает число состояний с заданной ориентацией спина. В каждом таком состоянии могут находится два электрона с разными ориентациями спина. Таким образом энергия Ферми определяется следующим образом:

 

 

 

Вычислим плотность состояний, т.е. число состояний в интервале между Е и E+dE. Продифференцируем выражение для N(E) по Е:

 

 

 

Как видно, это выражение пропорционально . Оно дает число состояний с заданной ориентацией спина. Чтобы получить число состояний с обеими ориентациями спина данное выражений нужно увеличить вдвое.

Теперь можем найти число электронов в этом энергетическом интервале при любой температуре. Для этого необходимо удвоенное выражение для плотности состояний в интервале от E до E+dE   умножить на функцию Ферми. Получающаяся функция изображена на рисунке(рисунок 3.4) для температуры абсолютного нуля (случай а) и при более высоких температурах (случаи b и c).

Рисунок 3.4 — Энергетическая зависимость число занятых уровней в газе свободных электронов при различных температурах.

Видно, что при увеличении температуры от абсолютного нуля часть электронов переходит с уровней, лежащих ниже , в область более высоких энергий.

Число электронов, которые при изменении температуры от абсолютного нуля до Т перебрасываются с низших уровней на более высокие, будет пропорционально kBT и плотности состояний dN/dE на уровне Ферми. Энергия каждого из этих электронов увеличивается на величину, пропорциональную kT. Таким образом, разность между энергией электронов при температуре Т и при абсолютном нуле равна:

 

 

 

где с-константа; E=EF.

 

Продифференцировав по данное выражение по температуре получим выражение для удельной теплоемкости:

 

 

 

Таким образом, применяя статистику Ферми-Дирака, видно, что удельная теплоемкость электронов при низких температурах пропорциональна абсолютной температуре, а не остается постоянной, как в классической статистике. Сравнивая формулы, полученные с помощью оговоренных статистик, видно, что пока величина kBT мала по сравнению с энергией Ферми, удельная теплоемкость электронов, согласно статистике Ферми-Дирака, будет гораздо меньше своего классического значения.

 

 

 

Мы видим, что статистика Ферми — Дирака приводит к понижению удельной теплоемкости за счет множителя , который пропорционален температуре и даже при комнатной температуре имеет порядок 10-2. Этим объясняется отсутствие наблюдаемого вклада электронных степеней свободы в удельную теплоемкость металла при комнатной температуре.

Таким образом, статистика Ферми-Дирака, примененная Зоммерфельдом к классической модели металлов, устранила проблему теплоемкости электронов проводимости, которая была характерна для теории Друде.

 

3.3 Статистика Ферми и проводимость металлов.

Помимо малой величины удельной теплоемкости электронов, которую удалось объяснить Зоммерфельду, применив методы квантовой механики, Друде в своей теории столкнулся также с трудностями, связанными с механизмом электрического сопротивления. С помощью классической модели Друде не удавалось ответить на вопрос: почему сопротивление металла увеличивается пропорционально температуре. Обратимся к анализу проводимости электронного газа с помощью статистики Ферми-Дирака, который провел Зоммерфельд. Он использовал выражения для плотности состояний и выражение для функции Ферми. Таким образом, ответственными за проводимость могут быть только электроны с энергией, близкой к уровню Ферми. В остальном Зоммерфельд использовал те же предположения, что и Друде.