Шпоры по ТАУ

а)  - так как коэффициент а₃ = 0, то есть, не выполнено необходимое условие, то система неустойчива.

 б)  - - система не устойчива.

2. Определить, при каких k система будет устойчива:

а)

б)

;

 итак  .

Область значения параметра, при котором САР устойчива, называют областью устойчивости САР по этому параметру.

Существенные недостатки критерия Гурвица:

1. Критерий лишен наглядности, носит формальный характер и ничего не говорит о качестве устойчивости, то есть насколько далека система от границы устойчивости.
2. Коэффициенты или параметры, характеризующие физические свойства звеньев системы, входят зачастую в столь сложных комбинациях, что практически трудно установить, какие именно параметры и каких звеньев следует изменить, чтобы обеспечить устойчивость САР.
3. Необходимо иметь аналитические уравнения звеньев и всей системы, что не всегда удобно.

 

 

 

11. Частотные критерии  устойчивости Михайлова   (2 стр. 26-27)

 

В основу частотных критериев  исследования устойчивости САР положено следующее:

Если расположить корень р_i характеристического уравнения в комплексной плоскости и рассматривать вектор при изменении от до , то каждый вектор повернется на угол , если корень р_i расположен в правой части комплексной плоскости и на угол , если корень р_i расположен в левой части комплексной плоскости.

Таким образом, если принять, что k корней характеристического уравнения n-порядка имеют положительную вещественную составляющую, а (n-k) – отрицательную, то полином А(р)

       (1)

при замене на и изменении от до получит приращение аргумента:

.       (*)

Для установившейся системы  при изменении  от до , для неустановившейся .

 

 

Частотный критерий устойчивости Михайлова

 

Заменим в полиноме А(р) на , тогда:

, где U – вещественная часть полинома ,

      V – мнимая часть полинома .

Функция называется характеристическим вектором.

На комплексной плоскости  он может быть представлен в виде вектора. При изменении  от до вектор своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, которая называется годографом Михайлова или характеристикой кривой. Поскольку функция является чётной функцией , а - нечётная, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси. Поэтому нет необходимости рассматривать весь годограф Михайлова, а достаточно рассмотреть лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор при изменении от до . Тогда из уравнения (*) следует, что для установившейся системы приращение аргумента вектора при изменении от до должно быть:

Полученное выражение  и есть частотный критерий устойчивости Михайлова, в математической форме. Словами его можно выразить так:

САР устойчива тогда  и только тогда, когда характеристический вектор при изменении от 0 до последовательно обходит число квадратов, равное порядку характ-кого уравнения, нигде не обращается в нуль

 

12. Частотный критерий устойчивости Найквиста    (2 стр. 28-29)

 

Критерий устойчивости Найквиста, основанный на использовании  частотных характеристик, позволяет  судить об устойчивости замкнутой САР  по виду АФЧХ системы в разомкнутом  состоянии.

Пусть дана система:

В разомкнутом состоянии  передаточная функция системы:

 

Так как  , то порядок полинома и полинома одинаков.

Для получения АФЧХ системы  положим 

, 

где - АФЧХ замкнутой САР,

- АФЧХ разомкнутой САР.

1.Если САР в разомкнутом  состоянии устойчива, то по  критерию Михайлова

(так как порядок  остается тем же), то есть в  этом случае приращение аргумента  вектора

при изменении  равно

,

то есть устойчивое состояние  означает, что годограф вектора не огибает начало координат комплексной плоскости.

Удобно рассматривать  ту же кривую, но для вектора  - поскольку годограф есть АФЧХ разомкнутой системы, для этого, очевидно, нужно перенести мнимую ось вправо на 1.

Таким образом, критерий Найквиста может быть сформулирован  следующим образом:

Если система регулирования  устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) системы в разомкнутом состоянии не охватывала точку с координатами .

2.Рассмотрим случай, когда система в разомкнутом состоянии неустойчива, то есть характеристическое уравнение имеет q корней, лежащих в правой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Если реальная система  в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет q корней в правой полуплоскости, то в замкнутом состоянии САУ устойчива, если АФЧХ САУ в разомкнутом состоянии раз охватывает в положительном направлении точку с координатами

3. В случае, когда САУ  в разомкнутом состоянии имеет  нулевых корней ( интегрирующих звеньев) анализ устойчивости замкнутой САУ можно вести аналогично случаю устойчивой САУ в разомкнутом состоянии.

Если САУ в разомкнутом состоянии имеет нулевых корней, то замкнутая САУ устойчива, если АФЧХ в разомкнутом состоянии дополняется окружностью бесконечно большого радиуса, начинающейся с положительной полуоси и проходящей через квадрантов, не огибает точку с координатами .

 

13. Обобщенный критерий Найквиста.  Понятие о запасе устойчивости  (1 стр. 30-30)

 

Обобщенный  критерий Найквиста. Если имеется v-нулевых корней и q – в правой полуплоскости в разомкнутом состоянии, то в замкнутом состоянии система будет устойчива, если АФЧХ в разомкнутом состоянии, дополненная другой k=¥ начинающейся с действительной положительной полуоси в раз охватывает m[-1;0] в положительном направлении.

 

 

 

 

 

 

САУ в замкнутом состоянии  будет устойчива, если на участке (-1-¥;j0) разность сумм положительных и отрицательных = .

Устойчивость замкнутой  САР зависит от расположения ЛФЧХ САР в разомкнутом состоянии от точки . Чем ближе ЛФЧХ проходит к точке , тем САР ближе к границе устойчивости.

Удаление АФЧХ САР  в разомкнутом состоянии от точки  может быть охарактеризовано так называемыми запасами устойчивости по модулю и фазе.

Запасом устойчивости по фазе называют угол , образованный радиусом, проведённым через точку пересечения c окружностью единичного радиуса и отрицательной действительной осью.

Эта величина показывает, на сколько нужно увеличить или  уменьшить фазу системы, не изменяя  ее амплитуду, чтобы устойчивая прежде система оказалась на границе  устойчивости.

Частота, при которой  называется частотой среза системы. Это та частота, при которой амплитуда колебаний сигнала обратной связи равна амплитуде колебаний входного сигнала.

Запас устойчивости по фазе в значительной мере определяет качество переходного процесса в САР. При проектировании САР стремятся выбрать её параметры так, чтобы

.

Запасом устойчивости по модулю (или по амплитуде) называется величина h, показывающая на сколько необходимо увеличить или уменьшить величину передаточного коэффициента системы при неизменных значениях всех остальных параметров, чтобы устойчивая прежде система оказалась на грани устойчивости.

 

14. Логарифмический критерий устойчивости  Найквиста.   (3 стр. 31-33)

 

Критерий Найквиста  можно использовать и по отношению к ЛЧХ. Согласно критерию устойчивости Найквиста САР устойчива, если при          (1)

Если использовать логарифмический  масштаб, то это означает, что

     (2)

Условие (2) можно сформулировать следующим образом:

Если ФЧХ системы  в разомкнутом состоянии при  частоте среза (то есть при частоте, где ЛАЧХ пересекает ось абсцисс) не достигает значения , то система в замкнутом состоянии устойчива.

 

 

Об устойчивости замкнутой  САР можно судить по расположению ЛЧХ встречно-параллельных соединяемых  звеньев, не прибегая к непосредственному  построению ЛЧХ САР в разомкнутом  состоянии.

Доказано, что любая  замкнутая САР  представляется в  виде встречно-параллельного соединения звеньев.

Для построения ЛЧХ замкнутой  САР необходимо построить характеристики , , , и определить поправки.

Как известно,

    

Из рисунка видно, что

то есть ординаты между  ЛАЧХ и ЛФЧХ прямого и обратного  канала представляют собой значения соответственно ЛАЧХ и ЛФЧХ системы в разомкнутом состоянии.

Таким образом,  применительно  к рассмотренному соединению звеньев  критерий устойчивости Найквиста может  быть сформулирован следующим образом: САР устойчива в замкнутом  состоянии, если в точке пересечения  ЛАЧХ прямого канала и обратного ЛАЧХ канала обратной связи разность фаз между ЛФЧХ прямого канала и обратного ЛФЧХ канала обратной связи меньше .

 

15. Типовые желаемые ЛАЧХ.        (2 стр. 34-35)

Как уже отмечалось ранее, важным требованием к САУ в динамике является условие , чтобы САУ отрабатывала управляющее воздействие в минимально возможное время и с наименьшей колебательностью и не реагировала на возмущающее воздействия.

                Пусть имеется САР, у которой  существует однозначная зависимость между ЛАЧХ и ЛФХ (минимально-фазовая САР)  вида:

Заданную структурную  схему можно преобразовать к  виду:

 

т.е.     по заданию                                                по возмущению

 

а)                      б) для зависимостей

 

 

 

 

 

 

 

в) для ЛАЧХ замкнутой  САР       г) для ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии

 

 

 

 

 

 

 

 

; ;

т.н. betrags оптиум (оптиум с однократным интегрированием)

,

где Т сумма малых пост. времени

Таким   образом   желаемая   характеристика   находится:

 

 

 

Поскольку основную роль играет ЛАХ  в районе частоты среза, то в некоторых случаях для предварительного выбора Lр жел. используется следующая методика:

 

 

 

 

 

 

 

т.е. используется т.н. симметричный оптиум с 2-х кратным интегрированием

при этом W

 

 

где Т -сумма малых постоянной времени рассматриваемой САР.

 

16. Последовательная коррекция       (2 стр 36-37)

В зависимости  от схемы включения корректирующие устройства делятся на последовательные и параллельные. В первом случае корректирующее устройство включается последовательно в цепь основного воздействия, во втором - в цепь обратной связи охватывающей одно или несколько звеньев САР.

а) включение  последовательно корректирующего  звена:

 

W (Р) - перед.ф-ция посл.кор.устр;

W (Р)    - перед.ф-ция эл-тов неизм. части САР.

 

       б) включение параллельно корректирующего  звена:

 

 

       W (Р)- перед. функция элементов САР, в о.с. которых находятся параллельно корректирующие устройства.

       W (Р)    - перед. функция остальных элементов неизменяемой

части САР.

       W (Р)     - передаточная функция корректирующего параллельного

устройства.

Синтез последовательно корректирующих

устройств на основе ЛЧХ.

Как уже отмечалось ранее, последовательно корректирующие устройства

включаются последовательно  с неизменяемой частью САР.

 

 

Обычно они включаются после элемента сравнения в цепь основного  воздействия и служат для формирования сигнала управления,  пропорциональна производной, или интегралу от сигнала ошибки. Передаточная функция системы в разомкнутом состояний с послед. корректирующим устройством имеет вид:

 

Переходя к логарифм. масштабу:

 

 

Если задаться желаемым видом ЛЧХ системы в разомкнутом  состоянии, то  из выражения (2)  и (3) можно    найти ЛЧХ последовательно корректирующего устройства: