Шпоры по ТАУ

 

Дано:  W1(р), W2(р),             L1(ω), L2(ω),             φ1(ω), φ2(ω) L (ω) = ? φ(ω) = ?

 

Известно, что  .

Для получения АФЧХ  p=jω:

.  

 

, 

;                                                                                  

Из выражений следует, что искомые  ЛАЧХ и ФЧХ находятся путем вычитания поправочных ординат из обратных ЛАЧХ и ФЧХ второго звена, т.е. опять-таки из характеристики звена ЛАЧХ, которого проходит ниже.

Если поправочные ординаты малы, то результирующая ЛАЧХ совпадает с  нижележащими участками характеристик. Результирующая ФЧХ совпадает с  характеристиками ЛАЧХ, которая проходит ниже.

Таким образом, для построения характеристик  встречно-параллельного соединения звеньев вычерчивается ЛЧХ звена  прямого канала и обратная ЛЧХ  звена, находящегося в цепи обратной связи. Результирующая ЛАЧХ проходит по низам с учетом поправок.

 

6. Основные  правила перестановки элементов узлов и  сумматоров  (2 стр. 15-16)

 

1. Два узла или два сумматора можно менять местами или объединять в один

 

 

2. При переносе узла через сумматор по ходу сигнала следует добавить линию связи между боковыми ветвями, направленную по ходу сигнала и содержит звено с К_У = -1

3. При переносе сумматора  через узел по ходу сигнала  необходимо добавить линию связи между боковыми ветвями напротив хода сигнала и содержащих звено с К_У = 1

4. При переносе узла  через   линейное звено по  ходу сигнала необходимо включить  в ответвление обратное линейное  звено

5. При переносе узла  через линейное звено против хода сигнала необходимо включить в ответвление такое же линейное звено

6. При переносе сумматора через линейное звено по ходу сигнала необходимо включить в линию второго хода сумматора такое же линейное звено.

Y = (X1 + X2 )W

7. При переносе   сумматора через линейное звено  против хода сигнала необходимо включить в линию второго входа сумматора обратное линейное звено.

 

8. Ветви согласно параллельных  соединений звеньев можно менять  местами

Y = (W1 + W2)X1

 

9. При встречно-параллельном соединении  звеньев звенья можно менять  местами, заменив их предварительна на обратные.

 

, ,

 

7. Построение переходных функций и ЛАЧХ фазовойой системы (3 стр. 17-19)

Во всех рассмотренных  случаях наблюдается однозначная  зависимость между формой ЛАЧХ и  ЛФЧХ звеньев. Такие звенья и САУ, состоящая из этих звеньев, называются минимально-фазовыми.

При сопоставлении ЛАЧХ и соответствующих  им переходных функций можно убедиться  в следующем:

1) установившееся значение выходной  величины определяется ординатой  ЛАЧХ L(0) при нулевой частоте, т.е. X¥ = 10L(0);

2) начальное значение выходной  величины определяется ординатой ЛАЧХ при    w = ¥, т.е. X(0) = 10L(¥);

3) переходный процесс протекает  без перерегулирования, если ординаты  ЛАХ на всех частотах не  превышают ординаты ЛАХ при  нулевой частоте;

максимум Lm в ЛАХ свидетельствует  о том, что переходный процесс протекает с перерегулированием. Максимальное отклонение выходной величины приблизительно равно входному сигналу, умноженному на максимальное значение коэффициента усиления АЧХ (Km=10Lm);

4) переходный процесс до достижения  максимума протекает приблизительно по экспоненте, сдвинутой на время постоянного запаздывания. Экспонента имеет постоянную времени, которая определяется изменением наклона ЛАХ с нулевого (0) на единичный отрицательный (–1). Время постоянного запаздывания равно сумме постоянных времени, определяющих дальнейшее увеличение отрицательного наклона ЛАХ в области высоких частот;

5) переходный процесс после достижения  максимума идёт приблизительно  по экспоненте с постоянной  времени, которая определяется  изменением наклона аппроксимированной  ЛАХ с единичного положительного (+1) на нулевой (0).

Определение показателей регулирования  по результирующей ЛАЧХ минимально-фазовой  САУ основано на построении приближённой кривой переходного процесса. При  этом можно рекомендовать следующую  методику:

1) построить аппроксимированную отрезками прямых с наклонами 1, 0,      -1,-2, -3,… лог/дек результирующую ЛАЧХ системы. При этом будут получены аппроксимированные ЛАЧХ типа 1, 2,3 (рис.1);

2) определить частоты  точек сопряжения отрезков с  +1 и 0 наклоном  , с 0 и –1 наклонами , с –1 и –2 наклонами и т.д.;

3) определить значения  амплитуд, соответствующих максимальным  и установившимся значениям ЛАЧХ  ;

4) на оси времени  кривой переходного процесса (рис.1) отложить отрезок, соответствующий , и из полученной точки на прямую К1 отложить подкасательную и соответствующей кривой нарастания X экспоненту;

5) для ЛАЧХ типа 1 кривая  переходного процесса 1 может быть получена путём плавного перехода из начала координат на полученную экспоненту;

6) для ЛАЧХ типа 2 и  3 необходимо построить экспоненту  с подкасательной  , соответствующую спадающему участку кривой переходного процесса. Результирующая кривая 2, 3 переходного процесса может быть получена путём плавного перехода с нарастающего участка на экспоненту, соответствующую спадающему участку кривой переходного процесса до установившегося значения (К2 , 0).

Переходный процесс может быть построен, если САУ представить эквивалентным колебательным звеном второго порядка. При этом частота (период ТК = 2p/wK) и постоянная затухания зависят от коэффициента демпфирования x. По аналогии с колебательным звеном x может быть определён высотой g всплеска ЛАЧХ типа L (рис.7 б), т.е. . Построение приближённой кривой переходного процесса (рис.7 г) сводится к построению огибающих с подкасательной Тз  и вписанных между огибающими колебаний X c периодом ТК.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1 ЛАЧХ и переходные функции  при различных САУ

 

8. Статические характеристики САУ      (2 стр. 20-21)

 

Статической характеристикой  САУ называют зависимость между ее выходной величиной и входным воздействием, в установившемся режиме.

Характер этой зависимости  определяется статическими характеристиками   звеньев, входящих в САР и способами их соединений между собой. В качестве входных воздействий обычно рассматриваются задающее или основное возмущающее воздействие. В общем случае такие характеристики нелинейны.

Линеаризация статических характеристик

 

а) Функция  одной переменной.

Пусть дана статическая  характеристика – непрерывная дифференцируемая функция  У =f(Х), причем точкой основного режима работы является точка А.

Разложим функцию в степенной  ряд Тейлора в рабочей точке  А

.

При рассмотрении изменения X в окрестностях точки А в небольшом диапазоне возможно ограничиться рассмотрением 2-х первых членов ряда Тейлора

	X – XA = ΔX  – отклонение X от исходного                                     значения;
	Y – YA = ΔY  – отклонение Y от исходного значения.

Тогда ,

где – коэффициент связи между У и X в окрестностях точки А или коэффициент усиления элемента в окрестности исходной точки.

На структурной схеме последнее  уравнение изобразится:

 

б) Функция двух переменных.

Пусть дана статическая  характеристика в виде непрерывной  дифференцируемой функции двух переменных

Z = f(X,Y)

Точкой основного режима работы является точка А.

Разложим функция в  степенной ряд Тейлора в точке  А:

 .

При небольшом отклонении Х, У от рабочей точки А также допустимо ограничение двумя членами ряда Тейлора

.

Обозначим

      ,

тогда последующее уравнение

.

 

9. Математическое условие устойчивости  линейных систем  (2 стр. 22-23)

 

Как отмечалось ранее, для  линейной САР общее уравнение  движения может быть записано в виде:

 (1)

Решением этого уравнения  является:

В соответствии с определением устойчивости, система будет устойчивой, если

            (2)

 является решением уравнения (1) без правой части.

       (3)

В общем виде решение  уравнения (3) имеет вид

 (4)

где - постоянные интегрирования

- корни характеристического  уравнения

Каждому слагаемому в  решении (4) с вещественным корнем соответствует  процесс:

Каждому слагаемому в решении (4) с комплексным сопряженным корнем соответствует процесс:

Таким образом, для устойчивости САР, описываемой линейным дифференциальным уравнением (1), необходимо и достаточно чтобы все вещественные корни  характеристического уравнения и все вещественные части комплексно-сопряженных корней были отрицательны. Это условие и есть математическое условие устойчивости.

Если изобразить корни  на комплексной плоскости, то математическое условие устойчивости может быть сформулировано так: для устойчивости САР, описываемой линейным дифференциальным уравнением (1) необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Мнимая ось является в этом случае границей устойчивости.

Непосредственное использование  сформулированного условия возможно лишь для систем относительно невысокого порядка.

Для анализа устойчивости реальных систем используют критерии устойчивости.

 

 

10. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица   (2 стр. 24-25)

 

Теорема Гурвица гласит: все корни уравнения

  

будут иметь отрицательные  действительные части тогда и  только тогда, когда все диагональные определители главного определителя положительны.

Главный определитель определяется следующим образом:

1. По главной диагонали в порядке возрастания индексов выписываются все коэффициенты от а₁ до а_n.
2. Каждая из строк дополняется влево коэффициентами с убывающими индексами, вправо – с возрастающими.
3. На месте отсутствующих коэффициентов ставятся нули.

Таким образом, условием устойчивости (отрицательности действительных частей корней) по критерию Гурвица  являются:

1. Все коэффициенты  характеристического уравнения должны быть положительны – необходимое условие.

2. Все диагональные  определители должны быть >0 –  достаточное условие, то есть:

 

Рассмотрим примеры:

1. Установить, устойчива ли система, если характеристическое уравнение её имеет вид: