Шпоры по ТАУ

1. Передаточная функция         (1 стр 1)

Если на вход любой  системы подать сигнал синусоидальной формы:

x_вх(t) = X_m cos(wt) = X_m e ^jwt .

Очевидно, что выходной сигнал будет  иметь ту же форму:

x_вых(t) = Y_m cos(wt+j) = Y_m e ^j(wt+j) .

Зависимость же между амплитудами и фазами выходного и входного сигналов определяет ДУ движения системы. Возмем произвольное, считая помеху f(t) равной нулю:

(T₂² p² + T₁ p + 1) x_вых(t) = (k₁ + k₂ p) x_вх(t) .

Подставим сигналы в  уравнение движения:

T₂²(jw)² X_вых e ^j(wt+j) + T₁(jw) X_вых e ^j(wt+j) + X_вых e ^j(wt+j) = k₁ X_вх e ^jwt + k₂(jw) X_вх e ^jwt .

Найдем отношение выходного  сигнала ко входному:

.

Вывод 1: Частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа s на комплексную частоту jw, т.е. в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье.

Вывод 2: ДУ движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывет изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующих видах:

W(jw) = A(w) e ^jj(w),      или    W(jw) = P(w) + jQ(w) ;

где: W(jw) – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ);

• A(w) - модуль частотной передаточной функции - находится как отношение модулей числителя и знаменателя (АЧХ):
• j(w) - фаза частотной передаточной функции - находится как разность аргументов числителя и знаменателя (ФЧХ):
• P(w) и Q(w) - вещественная и мнимая части частотной ПФ. Для их нахождения необходимо избавиться от мнимости в знаменателе, умножением на сопряженную знаменателю комплексную величину. Логарифмические ЧХ - ЛАЧХ & ЛФЧХ Построение ЛАЧХ & ЛФЧХ производится по выражениям:                   L(w) = lg |W(jw)| = lg A(w),  [лог];    j(w) = arg(W(jw)),  [рад].

 

2. Математич. описание идеальных звеньев.      (2 стр. 2-3)

Безынерционное  звено

 

	x2(t) = Kx1(t), в операторной форме X2(p) = KX1(p)
		Передаточная функция   . Комплексный коэффициент передачи , то есть , . В логарифмическом масштабе .   ЛАЧХ безинерционного звена  представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от неё на расстоянии . ЛФЧХ совпадает с осью абсцисс.

 

Интегрирующее звено

 

Идеальным интегрирующим звеном называется звено, выходная величина которого пропорциональна  интегралу входной величины.

; ,

	; ; . , при   , при   , при   ,
		То  есть в логарифмическом масштабе ЛАЧХ – прямая линия. ЛАЧХ интегрирующего звена представляет собой прямую проходящую с наклоном и пересекающую ось абсцисс при частоте, равной обратной величине постоянной времени звена. ЛФЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от неё на .

 

Дифференцирующее звено

 

Идеальным дифференцирующим звеном называется звено, выходная величина которого пропорциональна скорости изменения входной величины.

;   ;

.

	; ; ; .
		при ,   ; при ,  ; при ,  .

 

 3. Математич. описание реальных звеньев 1 порядка.   (5 стр. 3-8)

 

Реальные динамические звенья представляют собой соединения из элементарных звеньев.

 

Инерционное (апериодическое) звено 1 – го порядка

 

Инерционным (апериодическим) звеном 1 – го порядка называется такое  звено, связь между выходом и  входом определяется линейным заданным уравнением 1 – го порядка вида:

, где Т – постоянная времени инерционного звена.  ( 1 ) 

При ступенчатом изменении входного сигнала  и при пул. Начальных условиях решение уравнения ( 1 ) может быть представлено в виде:

 

В операторной форме

 

 

 

,  ,   , .

;

при .  ,  ; 

при     ,  ;

при   - прямая с наклоном ;

при    .

Реальное дифференцирующее звено 1 – го порядка

 

Это звено, у которого связь  между выходной и входной величиной  определяется уравнением вида:

,

где    Т – постоянная времени  звена

K – коэффициент усиления звена

Рассмотрим переходный процесс  в таком звене при  и

При этих условиях решение  может быть записано в виде

, то есть при ступенчатом  изменении входного сигнала выходная  величина изменяется по экспоненциальной  кривой.

Реальные дифференцирующие звенья применяются как средство корректирования переходных процессов, например, стабилизирующий трансформатор, дифференцирующие мостовые схемы и другое.

В операционной форме  ;   

,   ,

,   .

при   , , , ,

, , , ,

, , , ,

Таким образом ЛАЧХ представлена в  виде 3-х составляющих:

1-я – представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую на уровне  

2-я – прямая, имеющая наклон  и пересекающая ось абсцисс при .

3-я – представляется двумя  асимптотами, сопрягающимися при причём до асимптоты совпадают с осью абсцисс, а после имеют отрицательный наклон .

 

 

Реальное форсирующее  звено 1 – го порядка

 

Это звено, у которого связь между выходом и входом выражается уравнением вида:

при и

Решение может быть представлено в  виде

при     

 

 

Реальное форсирующее звено  наряду с реальным дифференцирующим звеном применяется как средство для корректирования, улучшения  переходных процессов.

В операторной форме:

 

,

при   , , , ,

, , , ,

, , , ,

   , 

 

 

 

 

 

 

 

4.Матем. описание звеньев 2 – го порядка.     (3 стр.9-11)

 

Колебательное звено

Колебательным звеном называется звено, связь между выходной и входной величиной которого определяется линейным дифференциальным уравнением второго порядка вида:

где  Т – постоянная времени (сек.)

ξ – относительный коэффициент  затухания.

Рассмотрим переходный процесс в таком звене при  и

Тогда решением уравнения будет:

,

Где и представляют собой вещественные и мнимые комплексные корни характеристического уравнения

   

То есть , 

, – постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий при   и

Они находятся из соотношений  

Из второго уравнения: ,

Из первого уравнения:  ,  ,

  .

Подставим полученные значения в решение уравнения:

,

где – частота колебаний при

Из последнего уравнения  видно, что характер изменения  во многом зависит от величины .

В операторном виде:

 

При

Таким образом

;   ;

 

; 

, , , , .

, , , , .

 , , , , .

Из анализа следует, что ЛАЧХ колебательного звена приблизительно представляется двумя асимптотами, сопрягающимися при  , низкочастотные асимптоты являются прямой, совпадающей с осью абсцисс, высокочастотные асимптоты являются прямой с наклоном

 

 

 

5.Передаточные ф-ции и ЧХ при  различных соединениях звеньев. (3 стр. 12-14)

  Последовательное соединение звеньев

 

Дано:  W1(р), W2(р),             L1(ω), L2(ω),             φ1(ω), φ2(ω) L (ω) = ? φ(ω) = ?

 

Известно, что W( р) = W₁(р)·W₂(р) переходя к АФЧХ, p=jω:

 

,

 

A(ω) = A₁(ω)·A₂(ω),  φ(ω) = φ₁(ω) + φ₂(ω),

переходя к логарифмическому масштабу

 

.

 

таким образом  ,

.

Рассмотрим пример:

 

 

Согласно-параллельное соединение звеньев

 

Дано:  W1(р), W2(р),             L1(ω), L2(ω),             φ1(ω), φ2(ω) L(ω) = ? φ(ω) = ?

 

W(р) = W₁(р) + W₂(р),                           (1)

 

.              (2)

Bскомые ЛАЧХ и ФЧХ находятся путем добавления поправочных ординат к характеристикам 2-го звена, т.е., опять-таки, к характеристикам звена ЛАЧХ, которое идет выше.

При малых L_П, φ_П искомые характеристики будут, очевидно, совпадать с характеристиками того звена ЛАЧХ, которое проходит выше.              

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

 

Встречно-параллельное соединение звеньев