Расчёт разветвлённой электрической цепи синусоидального тока

                                                                                                  (1)

Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина X_L линейно зависит от частоты. Под индуктивностью L будем понимать идеализированный элемент электрической цепи (идеализированную катушку индуктивности), способный запасать энергию в своем магнитном поле, который не имеет активного сопротивления R и емкости С.

Ёмкостным сопротивлением является величина, характеризующая сопротивление, оказываемое переменному току электрической емкостью цепи (или ее участка). Определяется по формуле:

                                                                                             (2)

Единицей  измерения емкостного сопротивления  является Ом. Величина X_C зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Под емкостью С будем понимать идеализированный элемент электрической цепи (идеализированный конденсатор), способный запасать энергию в своем электрическом поле, который не имеет активного сопротивления R и индуктивности L.

Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину

Полное сопротивление. Полным сопротивлением цепи называют величину

                                                                           (3)

Из этого  соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением

,                                                                   (4)                                                                    

где φ- угол сдвига фаз.

Знак угла зависит от характера нагрузки: плюс соответствует индуктивной нагрузке, минус – ёмкостной.

В общем случае электрическая цепь в зависимости от соотношения  между индуктивным и емкостным сопротивлениями может иметь индуктивный характер при X_L > X_C, емкостный характер при X_L < X_C и активный характер при X_L = X_C.

Мощность  переменного тока. В переменном электрическом поле формула для мощности постоянного тока оказывается неприменимой. На практике наибольшее значение имеет расчёт мощности в цепях переменного синусоидального напряжения и тока.

Для того чтобы  связать понятия полной, активной, реактивной мощностей и коэффициента мощности, удобно обратиться к теории комплексных чисел. Можно считать, что мощность в цепи переменного тока выражается комплексным числом таким, что активная мощность является его действительной частью, реактивная мощность— мнимой частью, полная мощность— модулем, а угол φ (сдвиг фаз)— аргументом. Для такой модели оказываются справедливыми все выписанные ниже соотношения.

Активная  мощность (P). Единица измерения — ватт (W, Вт).

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью:

                                                                                     (5)

В цепях однофазного  синусоидального тока

,                                                                                           (6)

Где и —действующие значения напряжения и тока,φ—угол сдвига фаз между ними. Для цепей несинусоидального тока электрическая мощность равна сумме соответствующих средних мощностей отдельных гармоник. Активная мощность характеризует скорость необратимого превращения электрической энергии в другие виды энергии (тепловую и электромагнитную). Активная мощность может быть также выражена через силу тока, напряжение и активную составляющую сопротивления цепи или её проводимость по формуле:

.                                                                                     (7)

В любой электрической цепи как  синусоидального, так и несинусоидального тока активная мощность всей цепи равна сумме активных мощностей отдельных частей цепи, для трёхфазных цепей электрическая мощность определяется как сумма мощностей отдельных фаз. С полной мощностью активная мощность связана соотношением:

.                                                                                               (8)

Реактивная  мощность (Q). Единица измерения — вольт-ампер реактивный (VAr, Baр)

Реактивная  мощность — величина, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи синусоидального переменного тока, равна произведению действующих значений напряжения и тока , умноженному на синус угла сдвига фаз между ними:

,                                                                                          (9)

(если ток отстаёт от напряжения, сдвиг фаз считается положительным,  если опережает — отрицательным). Физически "реактивная мощность" - это, например, энергия, затрачиваемая на перемагничивание короткозамкнутой обмотки асинхронного двигателя при его работе, то есть любой асинхронный двигатель потребляет реактивную мощность из сети независимо от момента на своем валу. Реактивная мощность связана с полной мощностью и активной мощностью соотношением:

.                                                                                     (10)

Необходимо  отметить, что величина для значений φ от 0 до плюс 90° является положительной величиной. Величина для значений φ от 0 до —90° является отрицательной величиной. В соответствии с формулой (9) реактивная мощность может быть как положительной величиной (если нагрузка имеет активно-индуктивный характер), так и отрицательной (если нагрузка имеет активно-ёмкостный характер). Данное обстоятельство подчёркивает тот факт, что реактивная мощность не участвует в работе электрического тока. Отрицательное значение активной мощности нагрузки характеризовало бы нагрузку как генератор энергии. Активное, индуктивное, ёмкостное сопротивление не могут быть источниками постоянной энергии.

Модуль величины приблизительно описывает реальные процессы преобразования энергии в магнитных полях индуктивностей и в электрических полях емкостей.

Применение  современных электрических измерительных  преобразователей на микропроцессорной технике позволяет производить более точную оценку величины энергии возвращаемой от индуктивной и емкостной нагрузки в источник переменного напряжения.

Измерительные преобразователи реактивной мощности, использующие формулу (9), более просты и значительно дешевле измерительных преобразователей на микропроцессорной технике.

Полная  мощность (S). Единица полной электрической мощности- вольт-ампер (VA, ВА)

Полная мощность — величина, равная произведению действующих значений периодического электрического тока I в цепи и напряжения U на её зажимах: 

;                                                                                                  (11)

связана с активной и реактивной мощностями соотношением: 

,                                                                                      (12)

где Р— активная мощность, Q— реактивная мощность (при индуктивной нагрузке Q > 0, а при ёмкостной Q < 0).

Векторная зависимость  между полной, активной и реактивной мощностью выражается формулой:

                                                                                               (13)

§1.3 Виды проводимостей

При переменном токе существуют три вида проводимостей: активная , реактивная и полная. Активная проводимость для цепи, содержащей последовательно включенные ,  и :

                                                                             (14)                                                                       

реактивная  проводимость

                                                                              (15)             

Реактивная  проводимость в общем случае состоит  из двух составляющих: емкостной проводимости

                                                                                                     (16)                                                                                                       

и индуктивной проводимости 

                                                                                                     (17)                                                                                                                

При этом

                                                                                                    (18)                                                                                                           

Полная  проводимость

                                                                                                  (19)                                                                                                            

В цепи переменного тока активная проводимость в общем случае не равна 1/R, она принимает это значение только в том случае, когда в  данной параллельной ветви реактивное сопротивление Х = 0. Точно так  же и реактивная проводимость в общем случае не равна 1/Х, она принимает это значение только когда в данной параллельной ветви R = 0.

 

 

Глава 2. Примеры расчётов разветвлённых электрических цепей синусоидального тока методом проводимостей.

§2.1.Общий случай расчёта разветвлённой электрической цепи синусоидального тока методом проводимостей.

Требуется провести расчёт разветвлённой электрической  цепи синусоидального тока ,состоящей из n параллельных ветвей, в каждой из которых последовательно включено не менее двух элементов.

Необходимо:

1. Методом проводимостей рассчитать токи в параллельных ветвях и неразветвленной части цепи.
2. Вычислить активную, реактивную и полную мощности параллельных ветвей и всей цепи.

 

Расчет разветвлённой электрической цепи

1. Определяем полное сопротивление для каждой ветви цепи:

                                        (20)

2. Находим активные проводимости для каждой ветви цепи:

                                            (21)

3. Определяем реактивные проводимости для каждой ветви цепи:

                                       (22)

4. Находим полные проводимости для каждой ветви цепи:

                                           (23)

5. Определяем активные составляющие тока для каждой ветви:

                                            (24)

6. Определяем реактивные составляющие тока для каждой ветви:

                                             (25)

7. Определяем полный ток каждой ветви:

                                           (27)

8. Определяем активную проводимость всей цепи:

                                      (28)

где n- количество ветвей.

9. Определяем реактивную проводимость всей цепи:

                                       (29)

где - количество ветвей.

10. Определяем полную проводимость всей цепи:

                                        (30)

11. Определяем активную составляющую тока в неразветвлённой части цепи:

                                         (31)

12. Определяем реактивную составляющую тока в неразветвлённой части цепи:

                                           (32)

13. Определяем полный ток в неразветвлённой части цепи:

                                           (33)

14. Определяем коэффициенты мощности каждой ветви цепи:

                                        (34)

15. Определяем коэффициент мощности всей цепи:

                                          (35)

16. Определяем полные мощности всех ветвей цепи:

                                             (36)

17. Определяем активную мощность для каждой из ветвей цепи:

                                    (37)

18. Определяем реактивную мощность для каждой из ветвей цепи:

                                      (38)

19. Определяем полную мощность всей цепи:

                                         (39)

20. Определяем активную мощность всей цепи:

                                          (40)

где n- количество ветвей.

21. Определяем реактивную мощность всей цепи:

                                          (41)