Основные понятия и определения статики

Рис.35 

 

Решение.  Возьмем начало координат в геометрическом центре   полукруга и направим координатные оси, как указано на чертеже. Так как ось   является для данной фигуры осью симметрии то, согласно вышеприведенной теореме, искомый центр тяжести лежит на этой оси и, следовательно,  . Остается найти  . Разобъем фигуру на две части: полукруг и прямоугольник. Центры тяжести этих частей обозначим через   и  . Точка   лежит в середине отрезка  . Точка   находится от точки   на расстоянии  , равном, согласно формуле (25),  . Тогда, согласно формулам (21), имеем

Здесь   и   - площади полукруга и прямоугольника, а   и   - ординаты точек   и  . Следовательно,

;   ;  ;  .

Тогда, окончательно получим

.

Пример 2. Определить положение центра тяжести фигуры, представляющей собой круг радиуса  , из которого вырезан круг меньшего радиуса  , причем расстояние между центрами кругов   (рис.36).

Рис.36 

 

Решение. Искомый центр тяжести лежит  на оси симметрии  , проходящей через центры кругов   и  ; начало координат возьмем в центре большого круга. Площадь первого круга  , центр тяжести которого совпадает с началом координат  , т.е.  . Центр тяжести второго круга совпадает с точкой  , абсцисса которой  . Так как площадь   маленького круга будет отниматься, то ее нужно брать со знаком минус, т.е.  .

Абсцисса   искомого центра тяжести определяется по формуле (21)

.

Окончательно получим

. 

 

Пример 3. Определить положение центра тяжести для тонкой однородной пластины, форма и размеры которой, в сантиметрах, показаны на рисунке 37.

Рис.37 

 

Указание. С целью упрощения решения следует стремиться разбить заданную сложную плоскую фигуру на возможно меньшее число простых частей, применяя в случае необходимости «метод отрицательных площадей».

Последовательность  решения задачи:

1. изобразить на рисунке  пластину и показать все ее  размеры;

2. если не указаны заранее,  указать на чертеже координатные  оси;

3. разбить фигуру на  возможно меньшее число простых  фигур (треугольник, квадрат, круг, сегмент и т.д.);

4. вычислить площадь каждой  части – простой фигуры, учитывая  «метод отрицательных площадей»  (если простая фигура вырезана  из основной, то ее площадь считается отрицательной);

5. находим центр тяжести  выделенных простых фигур по  стандартным формулам (если имеется  ось симметрии, то центр тяжести  лежит на этой оси);

6. вычисляем координаты X_C и Y_C центра тяжести плоской пластины.

Решение.

Данную фигуру представляем состоящей из трех простых фигур: 1 – прямоугольник, 2 – круга, 3 –  треугольника.

Площади кругового и треугольного отверстий вводим в расчет со знаком минус, а площадь прямоугольника – без учета имеющихся в  нем отверстий.

Площади простых фигур:

, где совпадающая с осью симметрии  высота треугольника 

Фигура имеет ось симметрии, следовательно, е центр тяжести  лежит на этой оси. Совмещаем координатную ось х с осью симметрии, а начало координат – с левым краем фигуры (чтобы координаты центров тяжести оказались положительными).

Координаты центра тяжести  простых фигур:  , х₂=8см, х₃=31-6-12/3=21см, где 12/3 – расстояние от центра тяжести треугольника до его основания, равное 1/3 высоты.

Координата центра тяжести  заданной фигуры

    

Ответ: 16,7 см 

 

Произвольная  пространственная система сил

Если силы, действующие  на тело, лежат в пространстве, то такая система сил называется пространственной, и если главный  вектор и главный момент системы  равны нулю, то система сил уравновешенная.

Следовательно, необходимые  и достаточные условия равновесия пространственной системы будут R = 0, M = 0 - в векторной форме. Так  как при равновесии главный момент нравен нулю относительно любого центра приведения, то вместо   можно писать М без индекса.

Спроектировав главный вектор R на координатные оси  Оx, Оy, Оz получим аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил, которые выражаются шестью уравнениями равновесия и

                         

                                                                         (28)

                             

и формулируется так: произвольная пространственная система сил находится  в равновесии, если сумма проекций сил на каждую из координатных осей и сумма моментов всех сил относительно осей координат равны нулю.

При решении необходимо рассмотреть  связи, которые до сих пор не встречались  нам.

Подпятник (рис.38) - это тип  опоры не препятствующий повороту тела или какой-либо его детали вокруг своего центра, но препятствующий смещению тела в любом направлении, поэтому  для такого типа опоры не известны ни величина реакции , ни образуемые его с координатами осями углы, а известна только точка приложения реакции.

Рис. 38 

 

Такую реакцию можно представить  составляющими, направленными в  положительных направлениях трех осей координат (отрицательный знак, полученный при решении уравнения равновесия, покажет, что в действительности та или иная составляющая опорной  реакции направлена в противоположную  выбранному направлению сторону).

В большинстве задач требуется  определить не реакцию, а ее составляющие, сама реакция определяется как диагональ  прямоугольного параллепипеда, построенного на составляющих X, Y, Z  как на сторонах.

.

Направление реакции можно  определить по направляющим косинусам

,

,                                           (29)

.

Подлинник (рис.39) - это цилиндрический шарнир, позволяющий телу или его  элементу (например, валу, оси и т.д.) поворачиваться вокруг своей оси, смещаться  вдоль нее, но не позволяющему перемещаться в перпендикулярной плоскости к  его оси, следовательно, реакция  подшипника может быть расположена  только в плоскости, перпендикулярной к его оси. Зная в этой плоскости  только точку приложения реакции  и не зная угла, образуемого его  с какой-либо находящейся в этой плоскости осью, представляем реакцию  двумя составляющими, направленными  в положительные стороны координатных осей, расположенных в этой плоскости. Сама реакция R может быть определена как равнодействующая определенных составляющих Z и Y.

Рис.39 

 

.                                                  (30)

Направление ее может быть найдено по формулам:

,                                             (31)

.                                                               

 

Порядок (план) решения задач.

1. Установить, равновесие какого тела нужно рассмотреть, чтобы определить неизвестные величины.

2. Выбрать начало координат  и положения координатных осей.

3. Установить, какие активные  силы действуют на тело.

4. Освободившись от связей, наложенных на рассматриваемую  систему, заменить действие связей  силами реакций связей.

5. Составить соответствующие  уравнения равновесия.

6. Решая уравнения равновесия, определить неизвестные величины.

7. Найдя знаки неизвестных  сил, установить их фактические  направления.

Рис.40 

 

Рассмотрим сначала методику определения проекций силы на оси  координат и моментов ее относительно этих осей. Пусть по внутренней диагонали  куба (рис.40) действует сила F. Определим проекции силы F на оси координат и моменты ее относительно осей. Чтобы найти проекции силы на ось координат, необходимо применить метод двойного проектирования, который заключается в том, что сначала сила проецируется на плоскость, включающую данную ось, а затем уже эта проекция проецируется на данную ось. Так, чтобы определить проекцию силы F на ось Х, необходимо сначала спроецировать ее на плоскость ХOY, а уже затем на ось ординат. В результате получим, что

  

где    ;

Отсюда 

Знак минус показывает, что направление проекции противоположно положительному направлению оси Х. Аналогично,

где 

Отсюда  

Проекция силы F на ось Z определяется как

,

где   

Отсюда 

Итак, убеждаемся, что сила направлена на внутренней диагонали  куба, то проекция силы на все оси  одинаковы.

При определении момента  силы относительно оси координат  необходимо помнить, что он равен  произведению проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси на перпендикуляр, опущенный из точки пересечения  оси с плоскостью на линию действия проекции силы. Знак момента будет  положительным, если, посмотрев с  положительного направления оси  координат увидим вращение плоскости под действием проекции против часовой стрелки и, наоборот, отрицательный если это вращение совпадает с вращением стрелки часов.

Рис.41 

 

 

             Так, момент силы F (рис.41) относительно оси Z будет равен произведению проекции силы F на плоскость Q, перпендикулярную оси Z, на перпендикуляр, опущенный из точки О пересечения оси с этой плоскостью на линию действия проекции силы  . Итак

.                

Знак момента положительный, так как вокруг оси Z плоскость Q под действием проекции  , если смотреть с положительного направления оси Z, вращается против часовой стрелки. Момент силы относительно оси координат будет равен 0, когда сила параллельна этой оси или пересекает ее.

Рис.42 

 

Так, в примере (рис.42) сила F пересекает ось Y, следовательно, ее момент относительно Y равен нулю. Момент силы F относительно оси X будет произведение проекции силы на плоскость перпендикулярную оси Х (плоскостьZOY) на перпендикуляр, опущенный из точки О, пересечения оси Х с плоскостью ZOY на линию действия проекции силы на эту плоскость:

,

где   ,  ,

откуда

Знак (-) показывает, что плоскость ZOY под действием проекции   вокруг оси Х вращается по часовой стрелке. Аналогично

 

Учитывая, что

,

,

,

где x, y, z - координаты точки приложения силы,

X, Y, Z - проекции силы на соответствующие оси.

Координаты точки А (а, 0, а).

Проекции силы       

Подставляя, проверим результаты наших рассуждений: