Основные понятия и определения статики

                                  (7)

где   и  - проекции соответственно равнодействующей и сил системы на координатные оси.

Модуль равнодействующей определяется по формуле

.                                           (8)

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы  равнодействующая этих сил равнялась  нулю.

Так как равнодействующая   изображается вектором, замыкающим силовой многоугольник, то для того чтобы равнодействующая равнялась нулю, силовой многоугольник должен быть  замкнутым, то есть конец вектора, изображающего последнюю силу,  должен совпадать с началом вектора, изображающего  первую силу.

Таково условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме. Выразим теперь то же условие аналитически.

Из (8) следует, что при  равновесии должно иметь место равенство

.

Так как все слагаемые  в левой части не могут быть отрицательными, то это равенство  справедливо только  в случае, если  . С учетом (7), окончательно получим

,    ,    .                     (9)

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех этих сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.

Понятно, что в случае плоской системы сходящихся сил  для равновесия должны быть выполнены  только первые два из условий (9).

При решении задач статики  иногда  удобно пользоваться теоремой  о трех силах: если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

В большинстве случаев  в задачах статики по заданным (известным) силам, приложенным к  данному несвободному твердому телу, требуется определить неизвестные  реакции связей, предполагая, что  тело находится в покое и все  приложенные к нему силы уравновешиваются. При аналитическом решении задачи эти силы находятся  из уравнений (9), в левые части которых войдут, кроме заданных известных сил, и неизвестные реакции связей.

Рассмотрим примеры.                

Пример 1. Шар веса   опирается в точке   на наклонную плоскость, образующую с вертикалью угол  , и привязан к стене веревкой, которая образует с вертикалью угол   (рис.13а). Определить реакцию плоскости в точке   и натяжение веревки.

Рис.13 

 

Решение: Обозначим искомую реакцию плоскости, направленную по нормали   к этой плоскости, через  , а натяжение веревки – через  . Линия действия всех трех сил   и   пересекаются в центре шара  . Примем вертикаль и горизонталь в точке   за координатные оси и найдем проекции сил   и   на эти оси:

,  ,  ,

,  ,  .

Так как данная система  сходящихся сил является плоской, то условия равновесия (4) имеют вид

1) 

2) 

Умножив первое уравнение  на  , а второе  на   и сложив их, получим

.

Затем из первого уравнения  находим

.

В случае, когда веревка, удерживающая шар, параллельна наклонной  плоскости  , получим  ,  .

Для решения этой же задачи графическим способом, необходимо построить  замкнутый силовой многоугольник. Построение силового многоугольника всегда нужно начинать с известных, заданных сил. Из произвольной точки   (рис.13б) проведем вектор  , параллельный данной  силе  , длина которого в выбранном масштабе изображает модуль этой силы. Затем через точки   и   проводим прямые, параллельные линиям действия искомых сил   и  , которые пересекутся в точке  . Векторы   и   определяют искомые силы   и  .Чтобы найти направление искомых сил на силовом треугольнике , нужно обойти этот треугольник по его периметру, причем направление этого обхода  определяется направлением данной силы  . Измерив длину сторон   и   и зная масштаб, в котором построена сила  , найдем численные значения сил  и  .

Пример 2. Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁=70 кН и F₂=100 кН (рис 14,а). Массой стержней пренебречь.

Рис.14 

 

Указание. В данной задаче рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил и требуется определить реакции двух шарнирно соединенных между собой стержней, удерживающих два груза. Таким образом, к шарниру В в каждой задаче приложены четыре силы, из которых две неизвестны. Для задач такого типа универсальным является аналитический метод решения.

Последовательность  решения задачи:

1. выбрать тело (точку), равновесие  которого следует рассматривать;

2. освободить тело (шарнир В) от связей и изобразить действующие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнира В, так как принять считать предположительно стержни растянутыми;

3. выбрать систему координат,  совместив ее начало с точкой В, и составить уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости  ;

4. определить реакции  стержней из решения указанной  системы уравнений;

5. проверить правильность  полученных результатов по уравнению,  которое не использовалось при  решении задачи, либо решить задачу  графически.

Решение.

1. Рассматриваем равновесие  шарнира В (рис 14,а)

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рис.14,б)

3. Выбираем систему координат  и составляем уравнения равновесия  для системы сил, действующих  на шарнир В.

4. Определяем реакции  стержней R₁ и R₂, решая уравнения.

Из уравнения 1: 

Подставляем найденное значение R₁ в уравнение 2 и получаем

Знак минус перед значением R₂ указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверно – следует направить реакцию R₂ в противоположную сторону, т.е. к шарниру В (на рис.14,б истинное направление реакции R₂ показано штриховым вектором)

5. Проверяем правильность  полученных результатов, решая  задачу графически (рис. 14,в). Полученная  система сил (рис.14,б) находится  в равновесии, следовательно, силовой  многоугольник, построенный для  этой системы сил, должен быть  замкнутым.

Строим силовой многоугольник  в следующем порядке (рис.14,в): в  выбранном масштабе (например, =2 кН/мм) откладываем заданную силу F₁ (ab=F₁), затем из точки b под углом 30⁰ к горизонту откладываем силу F₂(bc=F₂), далее из точек а и с проводим прямые, параллельные положениям стержней 1 и 2. Эти прямые пересекаются в точке d и в результате построения образуется замкнутый многоугольник abcd, в котором сторона cd=R_2, а сторонаda=R₁. Измерив длины этих сторон (в мм) и умножив на масштаб построения  , получаем значения реакций стержней: 

Графическое решение подтверждает правильность первого решения. 

 

Плоская система сил

Пример 1. Определить реакции опор балки (рис.15, а).       

Рис.15 

 

Указание. Во всех данных задачах требуется определить реакции опор балок. Учащимся необходимо приобрести навыки определения реакций опор, так как с этого начинается решение многих задач по сопротивлению материалов и деталям машин.

Последовательность  решения задачи:

1. изобразить балку вместе  с нагрузками;

2. выбрать расположение  координатных осей, совместив ось х с балкой, а ось y направив перпендикулярно оси х;

3. произвести необходимые  преобразования заданных активных  сил: силу, наклоненную к оси  балки под углом  , заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную по закону прямоугольника нагрузку – ее равнодействующей, приложенной к середине участка распределения нагрузки;

4. освободить балку от  опор, заменив их действие реакциями  опор, направленными вдоль выбранных  осей координат;

5. составить уравнения  равновесия статики для произвольной  плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор;

6. проверить правильность  найденных опорных реакций по  уравнению, которое не было  использовано для решения задачи.

Решение.

1.Изобразим балку с  действующими на нее нагрузками (рис.15,а)

2. Изобразим оси координат x и y

3. Силу F заменяем ее составляющими   и  . Равнодействующая qСD равномерно распределенной нагрузки, приложенная в точке пересечения диагоналей прямоугольника (рис.15,б), переносится по линии своего действия в середину участка CD, в точку К.

4. Освобождаем балку от  опор, заменив их опорными реакциями  (рис.15,в)

5. Составляем уравнения  равновесия статики и определяем  неизвестные реакции опор.

a) Из уравнения моментов всех действующих на балку сил, составленного относительно одной из точек опор, сразу определяем одну из неизвестных вертикальных реакций: 

кН

b) Определяем другую вертикальную реакцию:

кН

c) Определяем горизонтальную реакцию: 

;    кН

6. Проверяем правильность  найденных результатов:

.

Условие равновесия   выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно. 

 

Пример 2. На вал (рис.16,а) жестко насажены шкив 1 и колесо 2. Определить силы F₂, F_r2=0,4F₂, а также реакции опор А и В если F₁=100Н.

Рис.16 

 

Указание.

Последовательность  решения задачи:

1. изобразить на рисунке  тело, равновесие которого рассматривается,  с действующими на него активными  и реактивными силами и выбрать  систему координат;

2. из условия равновесия  тала, имеющего неподвижную ось,  определить значения сил F₁,  F₂;

3. составить шесть уравнений  равновесия;

4. решить уравнения и  определить реакции опор;

5. проверить правильность  решения задачи.

Решение.

1. Изображаем вал с  всеми действующими на него  силами, а также оси координат. (рис.16,б)

2. Определяем F₂ и F_r2. Из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось:

;

; 

3. Составляем шесть уравнений  равновесия:

                            (1)

       (2)

                              (3)

       (4)

                             (5)

                                            (6)

4. Решаем уравнения (1), (2), (3), (4) и определяем реакции  опор:

Из (1): 

Из (2):  

Из (3):  

Из (4):  

5. проверяем правильность  найденных реакций опор. Используем  уравнение (5)

, следовательно, реакции R_AX  и R_BX определены верно.

Используем уравнение (6):

, следовательно, реакции R_AY и R_BY определены верно.

Данную задачу можно решать другим методом: спроектировать тело со всеми действующими на него активными  и реактивными силами на три координатные плоскости, чтобы проще было составлять уравнения равновесия. 

 

 

 

Система параллельных сил                

Пусть на твердое тело действуют  две параллельные силы   и  , направленные в одну сторону (рис.17).

Рис.17 

 

Равнодействующая  двух параллельных сил, направленных в одну сторону, параллельна этим силам и направлена  в ту же сторону; модуль равнодействующей равен сумме модулей данных сил, а линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения данных сил внутренним образом на  части, обратно пропорциональные модулям этих сил, т.е.

;    .

Используя известное свойство пропорции, можно получить

.

Пусть теперь имеем две  параллельные силы   и  , приложенные в точках   и   и направленные в противоположные стороны; такие силы называются антипараллельными (рис.18).

Рис.18 

 

Предположим, что  > . Равнодействующая   двух антипараллельных сил параллельна этим силам и направлена в сторону большей силы; модуль равнодействующей равен разности модулей данных сил, а линия ее действия делит расстояние между точками приложения данных сил внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил, т.е.

;     и  .

Как видно, в этом случае линия действия равнодействующей  проходит через точку,  лежащую вне отрезка  , и притом ближе к большей силе.

Рассмотрим систему параллельных сил  , приложенных в точках  , приводящуюся к равнодействующей  , приложенной в точке   (рис.19).

Рис.19 

 

Положение центра параллельных сил   определится его радиусом-вектором   относительно начала координат   или тремя координатами   . Положение точки приложения каждой силы   определяется радиусом-вектором   или координатами  .