Основные понятия и определения статики

Главная 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ  УКАЗАНИЯ ПО СТАТИКЕ 

 

 

 Основные  понятия и определения статики

Плоская произвольная система сил - система сил, как угодно расположенных, в одной плоскости.

Для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор  этой системы сил и ее главный момент   относительно любого центра О были равны нулю, то есть чтобы выполнялись условия

,                                          (1)

Из (1) вытекают три аналитических  условия (уравнения) равновесия плоской  произвольной системы сил, которые  можно записать в трех различных  формах.

Первая (основная) форма условий равновесия:

для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей   и  и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки О, лежащей в плоскости действия сил, были равны нулю, то есть

,

,                                              (2)

.

Вторая форма условий равновесия:

,

,                                     (3)

.

Прямая АВ не должна быть перпендикулярна оси  .

Третья форма условий равновесия:

,

,                                       (4)

.

Точки А, В, С не должны лежать на одной прямой.

Проекцией силы   на ось   называют отрезок  , заключенный между перпендикулярами, опущенными из начала   и конца   вектора силы на эту ось.

                                                                     

а)                                                          b)

Рис. 1 

 

Проекция силы на ось   равна произведению модуля силы   на косинус угла между силой   и положительным направлением оси  .

Из рис. 1 следует:

а) если этот угол   острый - проекция положительна и

;

б) если угол   тупой - проекция отрицательна и

.

Практика показывает, что  угол  может быть (рис. 2):

1)	2)	3)	4)	5)

 

 

Рис. 2 

 

Моментом силы   относительно любой точки О называется произведение модуля силы на плечо, взятое со знаком плюс или минус.

Плюс берется, если сила стремится  повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, минус, - если, -  по ходу часовой стрелки.

Плечо   - кратчайшее расстояние от точки поворота О до линии действия силы.

Если линия действия силы пересекает точку О, то  ее момент относительно этой точки равен нулю, так как  .

 

 

Рис. 3 

 

Из рис. 3:

 так как  .

При определении момента  силы   , у студента вызывает трудность вычисление плеча  . Поэтому, чтобы упростить эту задачу, надо:

а) разложить силу    на ее составляющие   и   параллельно выбранным осям   и  ;

б) применить теорему Вариньона (рис. 4)

.                            (5)

Момент равнодействующей силы   относительно точки О равен алгебраической сумме моментов составляющих ее сил   относительно той же точки О.

Рис. 4 

 

 или

.

Парой сил называют две силы    и   равные по величине, противоположно направленные и параллельные между собой (рис. 5).

Рис. 5 

 

Моментом пары сил называют произведение модуля одной из сил пары на плечо, взятое со знаком плюс или минус, то есть

.

Момент пары считается  положительным, если пара, в плоскости  ее действия, стремится повернуть  тело против хода часовой стрелки, и  отрицательным, если, - по ходу.

Плечо пары   - кратчайшее расстояние между линиями действия пары.

Так как действие пары сил  на твердое тело характеризуется (определяется) только моментом, то рис.6а и рис.6b считаются идентичными 

 

(а)

(b)

Рис. 6 

 

Распределенные  силы - система сил распределенных вдоль поверхности по тому или иному закону.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью  .

- значение силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка.

Измеряется    в ньютонах, деленных на метр (Н/м).

При составлении расчетной  схемы распределенную нагрузку заменяют сосредоточенной силой  :

-  величина силы   пропорциональна площади эпюры распределения сил;

-  направлена сила   параллельно заданной нагрузке в сторону ее действия;

-  линия действия силы   проходит через центр тяжести той же эпюры распределения сил.

Силы равномерно распределенные вдоль отрезка прямой АВ  (рис. 7а)

(например, силы тяжести,  действующие  на однородную балку).

а)                            b)

 

 

Рис. 7 

 

Силы распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 8а)

(например, силы давления  воды на пластину). 

 

а)                                                     b)

Рис. 8 

 

Методические  указания к решению задач статики.

Решение задач статики, сводится к определению реакций опор, с  помощью которых крепятся балки, жесткие рамы, всевозможные конструкции. Определение модулей и направлений  сил реакций связей (опор) имеет  первостепенное практическое значение, так как, зная реакции, будем знать  и силы давления на связь. А это, в  свою очередь, позволит, пользуясь законами сопротивления материалов, рассчитать прочность конструкции или сооружения.

Типы связей. Реакции связей

Наименование  связей и их обозначение  на схемах	Реакции связей
Гладкая поверхность (точка А) и уступ (точка В)	Реакция  направлена к телу. Реакция  гладкой поверхности направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел. Реакция  уступа направлена по нормали к поверхности опирающегося тела.
Нить	Реакция  направлена вдоль нити от тела (нить работает только на растяжение)
Невесомый стержень с шарнирами на концах	Реакция  направлена вдоль стержня, стержень работает либо на растяжение, либо на сжатие.
4. Цилиндрический шарнир (подшипник) А – ось подшипника перпендикулярна  чертежу В – ось подшипника совпадает  с осью Y	Составляющие реакции  лежат в плоскости, перпендикулярной оси шарнира.
5. Подвижная шарнирная опора (на катках)	Реакция направлена перпендикулярно  опорной плоскости
6. Заделка а) жесткая      б) скользящая	Реакции при действии на тело плоской системы сил а) жесткая   б) скользящая

 

 

Порядок (план) решения задач.

Приступая к решению задания, необходимо разобраться в условии  задачи и рисунке, а затем:

1. Составить расчетную  схему, которая включает:                 

- объект равновесия,                 

- активные (заданные) силы,                 

- силы реакции, заменяющие  действия отброшенных связей.

2. Определить вид полученной  системы сил и выбрать, соответствующие  ей, уравнения равновесия;

3. Выяснить, является ли  задача статически определимой;                

4. Составить уравнения  равновесия и определить из  них силы реакции;                

5. Сделать проверку полученных  результатов.

При замене связей (опор) силами реакций помнить:                

- если связь препятствует  перемещению тела только в  одном каком-нибудь направлении,  то направление ее реакции  противоположно этому направлению;                 

- если же связь препятствует  перемещению тела по многим  направлениям, то силу реакции  такой связи изображают ее  составляющими, показывая их параллельно  выбранным координатным осям   и  .

Решение уравнений равновесия будет тем проще, чем меньшее  число неизвестных будет входить  в каждое из них. Поэтому, при составлении  уравнений равновесия следует:

1) координатные оси   и   располагать так, чтобы одна из осей была перпендикулярна к линии действия хотя бы одной из неизвестных сил, в этом случае проекция  неизвестной силы исключается из соответствующего уравнения равновесия;

2) за центр моментов  выбирать точку, в которой пересекаются  линии действия наибольшего числа  неизвестных сил реакций, тогда  моменты этих сил не войдут  в уравнение моментов.

Если сила   в плоскости   имеет две составляющие ее силы   и  , то при вычислении момента силы   вокруг некоторой точки О, полезно применить теорему Вариньона, вычислив сумму моментов составляющих ее сил относительно этой точки (см. рис. 4).

Если к телу в числе  других сил приложена пара сил, то ее действие учитывается только в  уравнении моментов сил, куда вносится момент этой пары, с соответствующим, знаком. 

 

Система сходящихся сил          

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.                

Согласно аксиоме статики, равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения  и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис.9).

Рис.9 

 

Из треугольника   находим модуль равнодействующей по формуле

,

где  -угол между векторами   и  .

Применяя последовательно  правило параллелограмма, можно  найти равнодействующую скольких угодно сходящихся сил. Найдем сначала равнодействующую трех сил   и  , приложенных в одной точке и не лежащих в одной плоскости (рис.10). 

 

Рис.10 

 

 

                Сложив по правилу параллелограмма  силы   и  , получим их равнодействующую  , а сложив затем   и  , найдем равнодействующую   трех данных сил  ,   и  . Таким образом, равнодействующая трех сил, приложенных в одной точке и не лежащих в одной плоскости, равна по модулю и направлению диагонали параллелепипеда, построенного на этих трех силах (правило параллелепипеда). Заметим, что при нахождении равнодействующей двух сил нет надобности строить весь параллелограмм. Для этого из конца вектора первой силы   (рис.11) проводим вектор второй силы  . Вектор, соединяющий начальную и конечную точки полученной ломаной линии будет представлять собой по модулю и направлению равнодействующую   двух данных сил   и   (правило треугольника).

Рис.11 

 

Как известно, в статике  сила является скользящим вектором. Поэтому, точки приложения сходящихся сил  можно перенести по линиям их действия в точку пересечения этих линий, а следовательно, систему сходящихся сил всегда можно заменить системой сил, приложенных в одной точке.

Пусть теперь нужно сложить  несколько сил, например, четыре силы  ,  ,   и  , приложенных в точке   (рис.12). Применяя последовательно правило треугольника, получим ломаную линию  . Вектор  , соединяющий начальную и конечную точки ломаной линии, изображает искомую равнодействующую   четырех сил  , ,   и  .

Рис.12         

 

Таким образом, равнодействующая сходящихся сил изображается замыкающей стороной многоугольника сил, приложена  в точке пересечения линий  действия сил и равна их геометрической сумме

.                                     (6)

Спроектировав равенство (6) на координатные оси, и учитывая, что  проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме  проекций векторов на ту же ось, получим