Обоснование математической оптики

Введение

Древнейшие  философы соединяли в себе всю  совокупность современных им знаний. С накоплением материала неизбежно  должно было наступить разделение. Отдельные философы, следуя своим  наклонностям, начали заниматься преимущественно  математикой и астрономией, некоторые же исключительно отдались этим наукам, покинув философию. Чистая математика составляла в древности главную часть философского образования. Надпись над воротами Платоновой академии гласила: «Никто, не сведущий в математике, да не входит в этот дом». Но лишь только наука эта проявила наклонность перейти на практическую почву и обрела в астрономии и физике гостеприимную область для применения своих положений, она отделилась от философии и вскоре достигла самостоятельности. Математика не только сама отделилась от философии, но и освободила физику из-под ее исключительной опеки, так что наряду с философской физикой возникли физика математическая, не соприкасавшаяся с первой даже в лице разрабатывавших ее ученых. Евдокс ввел математику в астрономию; Архит, по общему мнению, первый приложил ее к механике, а александриец Евклид первый из математиков разработал, по крайней мере, одну часть физики совершенно независимо от философии. Философия в рассматриваемом нами периоде (приблизительно от 300 г. до н. э. до 150 г. н. э.) находится в нисходящем фазисе своего развития, математика же — в восходящем. Неудивительно поэтому, что математическая физика этого периода привлекла на свою сторону почти всех выдающихся ученых, между тем как натурфилософия почти не имеет блестящих представителей. Сверх того, нужно вообще заметить, что математическая физика во все времена имела неоценимое преимущество перед натурфилософией.

Философия и  математика одинаково неспособны сами по себе создать физику как науку, потому что обе они принуждены воспринимать пассивно материал для своих дедукций. Они должны исходить из готовых наблюдений или же из положений, не требующих доказательств, так как экспериментальный метод, собирающий материал, имеет не философский или математический, а чисто физический характер. Ни та, ни другая наука не могут, следовательно, довести физику до конца. Без содействия экспериментальных наук они способны дойти лишь до пределов, даваемых обычным материалом наблюдения. При коренном различии своих приемов обе они получают различные результаты, исходя из одного и того же материала; но математика, благодаря своему методу, останется всегда непогрешимой, философия же на каждом шагу может впасть в жестокие ошибки. Поэтому-то величайший из древних философов, Аристотель, оставил потомству почти только ряд одних физических заблуждений, а величайшего из древних математиков, Архимеда, нельзя упрекнуть ни в одном промахе.

Поэтому Архимеда любят также называть первым физиком, и это можно было бы допустить, если бы в науке был важен лишь только один результат; при требовании же от физика физического метода такое название окажется неправильным. Архимед был в такой же мере исключительно математиком, как Аристотель философом. Архимед сделал несколько физических опытов и передал потомству ряд физических наблюдений, дотоле неизвестных: но при своих исследованиях он ни разу не обратился сознательно к наблюдению, как к физическому методу, и, как мы увидим, во всех его исследованиях преобладает математический интерес и сам он рассматривал свои физические работы лишь как приложение математики.

Второй период древней физики имеет математический характер и приобретает, поэтому  более определенную форму. Не одна механика получает прочные основы в трудах Архимеда, оптика тоже становится на твердую почву благодаря Евклиду и Птолемею, определившим чисто математическим путем ход световых лучей. Также практические нужды сказывают благотворное влияние на развитие «науки. Механики, подобные Герону, сооружают механические снаряды и описывают их научным образом. Архитектор Витрувий пишет пространное сочинение, имеющее не только практический, но и теоретический интерес, и т. д. Не знай мы наперед о раннем упадке, грозящем древней культуре, можно было бы с полным правом рассчитывать, что физика в скором времени разовьется и окрепнет до степени самостоятельной науки. В первой половине рассматриваемого периода ее рост идет очень быстро, но, к сожалению, уже во второй половине общее падение древней культуры отражается и на физике; ее прогресс приостанавливается, и наука наша уже безостановочно и с постепенно возрастающей скоростью идет к гибели.

Во втором периоде  развития физики мы наблюдаем не только совершенное изменение метода, но и перемену места научной деятельности. Раньше вся умственная жизнь греков сосредоточивалась в Афинах; здесь процветали великие философские школы, и сюда стремилось все, имевшее притязание на интеллектуальное значение. Философские школы, правда, продолжают здесь существовать и во втором периоде, влача жизнь до полного уничтожения древней науки, но величие их уже потеряно безвозвратно. Самые Афины перестают быть центром культуры, так как Птолемеям удалось превратить свою столицу Александрию в средоточие греческой учености.

Уже Птолемей Сотер (321—283) начал приглашать к своему двору знаменитых греческих ученых. Преемник его, Птолемей Филадельф, основал в Александрии знаменитый музей (250 до н. э.), ученую академию, посвященную первоначально развитию наук, но впоследствии превратившуюся в школу для образования молодых ученых. Филадельф и его преемники не переставали покровительствовать музею, относясь к науке и ее представителям с истинно царской щедростью. Позднее римляне, в свою очередь, проявляли интерес к наукам, отдавая школы под покровительство императоров. Члены музея получали годовое жалование, чтобы иметь возможность жить, не отвлекаясь от ученых занятий. Были созданы зоологический и ботанический сад и анатомическая школа; для астрономической обсерватории были заказаны инструменты неслыханной до того точности; но, что всего важнее, в распоряжение ученых была предоставлена библиотека, где в лучшую пору насчитывалось 700 000 томов. По приказанию Филадельфа и его наследника Евергета (247—221) по всей Греции систематически собирались рукописи; владелец их должен был довольствоваться копией, подлинник же пересылался в музей. Большая часть библиотеки (400 000 томов) хранилась в академическом здании; меньшая (300 000 томов) — в храме Юпитера Сераписа. При осаде Александрии Цезарем (47 до н. э.) музей с хранившейся в нем библиотекой сгорел; взамен ее Антоний принес в дар Клеопатре пергамскую библиотеку с 200 000 томов. В 390 г. н. э. фанатические христиане под предводительством архиепископа Феофила разрушили храм Сераписа, и, наконец, в 640 г. остатки библиотеки были сожжены при занятии Александрии арабами.

Заслуги александрийских  ученых очень значительны в математике, астрономии, а также в географии, истории и филологии. Для физики же они сделали меньше, чем можно  было ожидать, судя по их наклонности  к измерениям и наблюдениям в  области астрономии и географии, по богатству средств, которыми они располагали и, наконец, по числу работников, занятых научными исследованиями в течение ряда столетий

§ 1. Обоснование математической оптики

ЕВКЛИД (300 до н. э.), представитель математической школы в Александрии, оставил по себе, сверх знаменитых геометрических книг, несколько сочинений по физике, относительно которых существует сомнение, вполне ли они подложны или же они только снабжены позднейшими прибавлениями. Из них «Гармоника» представляет незначительный теоретический интерес, зато «Оптика», а еще более «Катоптрика», сделались краеугольными камнями соответственных отделов физики, хотя они далеко не чужды ошибок.

Евклид в  своих сочинениях по механике начинает с простых положений, основанных на опыте и принимаемых им без доказательств, а из них уже чисто математически выводит другие положения. В своей «Оптике» Евклид придерживается ложного учения Платона о зрительных лучах, исходящих из глаза, несмотря на то, что оно было раньше окончательно уже опровергнуто Аристотелем. С другой стороны, он дает верное определение зависимости кажущейся величины предмета от угла зрения, хотя и здесь впадает в ошибку, полагая, что величина обусловливается исключительно углом зрения. Относящиеся сюда положения евклидовой «Оптики» следующие: лучи, выходящие из глаза, распространяются по прямым линиям на некотором расстоянии друг от друга. Фигура, описываемая зрительными лучами, имеет форму конуса, вершина которого лежит в глазу, а основание — на границе видимого предмета. Предметы, рассматриваемые под одинаковым углом зрения, кажутся равными по величине. Теоремы, выведенные из этих положений, относятся преимущественно к видимой величине и к форме предметов, рассматриваемых на различном расстоянии и в различном положении.

«Катоптрика»  заключает в себе следующее основное положение: если зеркало лежит в  горизонтальной плоскости, на которой  отвесно стоит предмет, то для  линий, проведенных между глазом и зеркалом, с одной стороны, между  предметом и зеркалом — с другой, получается то же отношение, которое существует между высотами глаза и предмета. Из этого положения вытекает закон отражения: зеркала плоские, выпуклые и вогнутые отражают падающие лучи под равными углами, причем изображение и предмет лежат в плоскости, перпендикулярной к плоскости зеркала. Относительно сферических зеркал Евклид справедливо доказывает еще, что лучи, отражающиеся от вогнутых зеркал, могут быть сходящимися и расходящимися, от выпуклых же — только расходящимися. В заключение мы встречаем здесь к удивлению, одну ошибочную теорему: фокус вогнутого зеркала находится или в центре его шаровой поверхности, или между этим центром и зеркалом.

Выше было замечено, что нельзя решить, какое место  в названных сочинениях действительно  принадлежит Евклиду, и какое  позднейшим добавлениям. Во всяком случае, Евклида можно признать основоположником учения о прямолинейном распространении света и законов отражения, следовательно, двух существенных отделов оптики. С этих пор оптика становится наилучше разработанным отделом физики; она менее прочих уклоняется от истины даже в самые темные периоды средних веков и продолжает развиваться в такое время, когда все естественные науки поражены летаргическим сном. Такое счастливое исключение оптика составляет, однако, не в качестве определенного отдела физики, а только благодаря тому, что евклидовы законы отражения превратили все проблемы отражения лучей в чисто математические задачи. Раз дана форма зеркальной поверхности, математика уже совершенно самостоятельно определяет ход светового луча. Для Евклида оптика представляет только математический интерес; вот почему он относится безразлично ж вопросу о том, идет ли луч света из глаза к предмету или же наоборот.

Физическая  сторона оптики мало подвигается  вперед в последующий период. Натурфилософия, вообще интересовавшаяся природой света, сделала для нее в лице Аристотеля все, что могла, а математическая физика изучала только ход лучей, оставляя в стороне их природу. Этим объясняется, почему физическая оптика принадлежит к отделам физики, развившимся всего позже.

§ 2. Первая гелиоцентрическая система мира

АРИСТАРХ САМОССКИЙ, который учил в Александрии около 280 г. до н. э. был приверженец пифагоровой гипотезы движения земли. Он принимал, что солнце и неподвижные звезды находятся в покое, а земля обращается вокруг солнца. Против возражения, что при вращении земли неподвижные звезды должны были бы изменять свое видимое положение, Аристарх указывает на громадное расстояние неподвижных звезд от солнца сравнительно с расстоянием от него земли. Это объяснение было вполне удовлетворительно, потому что при колоссальном отдалении сферы неподвижных звезд незначительное перемещение земли не может вызывать видимого перемещения этой сферы. Тем не менее, гелиоцентрическая система не имела еще достаточных основ, а геоцентрическая до такой степени удовлетворяла всех, что лучшие астрономы того времени не перешли на сторону Аристарха. Поэтому учение его в дальнейшем оказало так мало влияния, что даже Коперник, по-видимому, не имел о нем понятия.

Большую известность доставило Аристарху определение относительного расстояния солнца от земли и луны, тем более, что подобное астрономическое измерение было произведено впервые. Когда луна кажется с земли наполовину освещенной, тогда солнце, земля и луна образуют прямоугольный треугольник с вершиною прямого угла на луне. Аристарх определил угол, образуемый зрительными лучами по отношению к луне и солнцу, в 87° и отсюда вывел отношение одного из катетов этого треугольника к гипотенузе, т. е. отношение лунного расстояния к солнечному, равным от 1:18 до 1:20. Конечно, этот результат оказался очень ошибочным, так как в действительности указанное отношение приблизительно равно 1:400; но ошибка вызвана в данном случае не теорией измерения, а практическим применением ее, не допускавшим достаточно точного определения соответствующего угла.

§ 3. Архимед и его сочинения

Знаменитейший физик древности АРХИМЕД (287—212 до н. э.), не принадлежавший, странным образом, к александрийской школе, провел большую часть жизни в своем родном городе Сиракузах. В его жизнеописаниях упоминается о путешествии в Египет, но точных сведений об этом нет. Все его великие открытия были сделаны в Сиракузах, только знаменитый водоподъемный винт был, по рассказам, изобретен в Египте. Архимед был другом и родственником царя Гиерона, правившего Сиракузами с 269 до 215 г. до н. э., но принимал участие в общественных делах, лишь насколько мог служить согражданам применением своих физических познаний и своей изобретательностью. Научные исследования поглощали его до такой степени, что ему приходилось напоминать про еду и питье и силой отправлять в купальню, где он во время растираний продолжал чертить геометрические фигуры на песке.

Сочинения Архимеда, дошедшие до нас, т. е. большая часть  того, что он написал, сохранились почти в неизменном виде. Они озаглавлены: 1) «О шаре и цилиндре»; 2) «Об измерении круга»; 3) «О коноидах и сфероидах»; 4) «О спиральных линиях»; 5) «О равновесии плоскостей»; 6) «О квадратуре параболы»; 7) «О числе песчинок»; 8) «О плавающих телах» и 9) «Книга вспомогательных положений». Только два последние сочинения не дошли до нас в подлинниках; книга «О плавающих телах» существует на латинском, а книга «О вспомогательных положениях» на арабском языке. Большинство сочинений относится к чистой математике. Для физики важны только сочинения 5, 7 и 8.

§ 4. Механика твердых и жидких тел

Трактат «О равновесии плоскостей» исходит из принятого  положения, что равные по весу величины, действующие на одинаковых расстояниях, находятся в равновесии; отсюда вытекает другое положение: если две равные по весу величины не имеют общего центра тяжести, то центр тяжести величины, полученный от сложения обеих, будет лежать по середине прямой, соединяющей центры тяжести обеих величин. При помощи этих положений Архимед доказывает справедливость закона рычага. Именно: если к рычагу привешены два груза, то на основании второго положения можно разделить каждый груз на 2, 4, 8 равных частей и привесить их попарно в равных расстояниях от первоначальных точек привеса, не нарушая действия. Если же первоначальные два груза обратно пропорциональны их расстояниям от точки опоры рычага, то отдельные части грузов могут быть распределены по обоим плечам рычага таким образом, что на обоих будет находиться равное число грузов на попарно равных расстояниях, откуда следует, что система находится и, следовательно, раньше должна была находиться в равновесии. Это доказательство, которое наглядно может быть выведено только для соизмеримых плеч рычага, и которое Архимедом было строго математически распространено и на несоизмеримые отношения, возбуждало много возражений. Последние касались, с одной стороны, обоснования первых исходных положений, с другой — распределения отдельных частей грузов около центра тяжести — распределения, которое, по Архимеду, не должно нарушать равновесия. Тем не менее, это доказательство и по настоящее время не заменено каким-либо другим, более строгим, или хотя бы существенно улучшено. В том же сочинении Архимед на основании второго из вышеупомянутых положений определяет математически положение центров тяжести в параллелограммах, треугольниках, трапециях и параболических отрезках.