Моделирование распределения потенциала и плотности тока в двумерных проводящих средах

Министерство образования и  науки Российской Федерации

 

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Волгоградский государственный  технический университет»

 

Факультет Электроники  и вычислительной техники

Направление (специальность) Физика(011200.62) 
Кафедра Физика

Дисциплина Численные методы и математическое моделирование физических процессов

 

	Утверждаю Зав. кафедрой____________________
	«_______»  _________________20 ___ г.

 

Задание

на курсовую работу

 

Студент Костин Андрей Сергеевич

 

Группа Ф-269

 

1. Тема: Моделирование распределения потенциала и плотности тока в двумерных проводящих средах

 

Утверждена приказом от «_____» ______________ 20___ г.  № _________

2. Срок  представления работы к защите  «___»_______________20__ г.

3. Содержание расчетно-пояснительной  записки: Введение. Постановка задач. Рассмотрение теоретических методов решения поставленной задачи. Построение и реализация алгоритма численного решения. Результаты вычисления гидродинамического процесса. Заключение.

 

4. Перечень  графического материала: ____________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Дата выдачи  задания «_____» ____________________20 ___ г.

Руководитель работы (проекта)_______________________ __________________

подпись, дата                                      инициалы и фамилия

Задание принял к исполнению________________________ __________________

                                                                                подпись, дата                                      инициалы и фамилия

 

.Министерство образования и науки Российской Федерации

 

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Волгоградский государственный  технический университет»

 

Факультет Электроники и вычислительной техники

Кафедра Физика

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

 

по дисциплине: Численные методы и математическое моделирование физических процессов

 

на тему: Моделирование распределения  потенциала и плотности тока в  двумерных проводящих средах

 

 

Студент Костин Андрей Сергеевич

 

Группа Ф-269

 

Руководитель работы ___________________________     С.С Жуков

(подпись  и дата подписания)                     

 

 

Члены комиссии:

   _____________________       ____________________________

(подпись  и дата подписания)                       (инициалы и фамилия)

   _____________________       ____________________________

(подпись  и дата подписания)                       (инициалы и фамилия)

   _____________________       ____________________________

(подпись  и дата подписания)                       (инициалы и фамилия)

 

 

 

Нормоконтролер______________________________      _____________________________

(подпись,  дата подписания)                                    (инициалы и фамилия)

 

Волгоград 2012 г.

 

АННОТАЦИЯ

 

Целью данной курсовой работы является нахождение распределения потенциала и распределения плотности тока в проводящей среде в двумерном пространстве, а так же сопротивление среды, зависимо от изначально заданных условий. Основной задачей будет решение уравнения Пуассона с переменными граничными условиями. Данная краевая задача, будет решаться одним из сеточных методов, а именно методом Гаусса-Зейделя. Численная модель будет реализована  на языке программирования С++.

 

 

ток, потенциал, распределение, сопротивление, сеточный метод, уравнение Пуассона.

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение 5

1Теоретическая часть 6

1.1Эквипотенциальные поверхности 6

1.2Распределение  заряда 7

2Численная модель решения 8

3Проверка  работоспособности численной модели 11

4Результаты решения поставленной задачи 14

Заключение 18

Список использованных источников 19

Приложение  А 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших задач электродинамики  является распределение потенциала, в проводящей среде. Традиционно эта задача решается, достаточно  привычным методом, решением дифференциального уравнения. В нашей ситуации это уравнение Пуассона.

где (x,y,z) - заданное распределение электрических зарядов в пространстве, 

-потенциал электрического поля.

Для простых случаев, данное уравнение  решается аналитически, но даже при  небольших осложнениях решение  задачи возможно лишь численно. Дальше их можно решать численно несколькими методами один из них прямой метод, разработанный для решения "трехдиагональных" систем. Однако на практике при численном решении эллиптических уравнений приходится использовать сетки, имеющие очень большое количество узлов, поэтому будет целесообразным применение итерационных методов. Мы воспользуемся методом Гаусса-Зейделя.

 

 

1Теоретическая часть

 

1. Эквипотенциальные поверхности.

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью.

Между двумя  любыми точками на эквипотзенциальной поверхности разность потенциалов  равна нулю, поэтому работа сил  электрического поля при любом перемещении  заряда по эквипотенциальной поверхности  равна нулю. Это означает, что  вектор силы  в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальными  поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд.

Рисунок 1 – Вид эквипотенциальной поверхности на примере сферы.

 

Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности.

Рисунок 2 – Вид эквипотенциальной поверхности на примере пластины.

 

 

1.2 Плотность тока.

Величина, равная отношению тока к площади поперечного  сечения проводника S, называется плотностью тока. При этом предполагается, что ток равномерно распределен по сечению проводника. Плотность тока в проводах обычно измеряется в А/мм2.

Плотность тока — векторная величина. Вектор плотности  тока и проводах, соединяющих источники  энергии и потребителей, направлен  нормально к площади поперечного  сечения провода.

В неразветвленной  электрической цепи ток и различных  сечениях проводников плотность  тока в различных сечениях проводников  имеет одинаковое значение.

Если допустить, что величина постоянного тока в  сечениях S1, и S2 неодинакова (рис. 1), то заряды, которые проходят за единицу времени через сечения S1 и S2, были бы различными. В результате в объеме проводника между этими сечениями накапливался бы положительный или отрицательный заряд. При постоянном токе происходило бы бесконечное накопление зарядов, что невозможно при неизменяющемся токе. 

Рисунок 3 – Электрический ток и плотность тока в различных сечениях неразветвленной электрической цепи.

 

 

2 Численная  модель решения

 

Чтобы смоделировать  данную задачу, мы прибегнем к методу Гаусса-Зейделя. Для этого мы должны сначала выразить интересующие нас величины. А именно, (плотность тока), φ(значение потенциала), I(ток) и R(сопротивление). Установим их зависимость друг от друга.

Для нас имеет интерес зависимость плотности тока от напряженности электрического поля.

 

 

где   — удельная проводимость среды,   — напряжённость электрического поля.

А по определению

φ

Тогда

φ

Теперь распишем

φ=

Учитывая, что  первую производную можно найти  с помощью формулы: 
;

Мы можем говорить что, для нахождения плотности тока, надо найти распределение его  потенциала. После нахождения плотности  тока, мы сможем найти сам ток  через пластину, и сопротивление  этой пластины.

Зависимость тока от плотности тока.

 

Зависимость сопротивления  от тока 

Собственно говоря, нам осталось узнать лишь распределение потенциала, для решений все задачи. Этого мы добьемся, разбив нашу пластину на узлы, которые будут, зависеть от длины и ширины пластины.

Рассмотрим метод  Гаусса-Зейделя.

Метод Гаусса—Зейделя является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений.

Рассмотрим методы численного решения более общего уравнения Пуассона, предполагая, что  решение ищется в единичном квадрате. В качестве первого шага получения  численного решения преобразуем  уравнение к виду, удобному для численного решения. Для этого в плоскости (х,у) задаем сетку из (N+1)´(N+1) узлов, покрывающую рассматриваемую область. (Для простоты выбираем шаг сетки h по каждой координатной оси равномерным и одинаковым.) Узлы сетки будем обозначать парой индексов (i,j), пробегающих значения от 0 до N. В выбранных обозначениях координаты точки (i,j) равны (x_i=ih,y_j=jh). Обозначив значения функций , в узловых точках _ij = (x_i,y_j),  и используя для аппроксимации производной 3-точечную формулу, получаем разностную аппроксимацию уравнения Пуассона.

Предваряя решение  двумерных уравнений Лапласа  и Пуассона, рассмотрим методы решения  одномерной краевой задачи, которая  может быть описана уравнением второго  порядка

с заданными  значениями   и  , которое имеет следующую конечно-разностную аппроксимацию:

Это уравнение  задает систему линейных уравнений относительно неизвестных переменных j_i(i=1;N-1). Перепишем его в более удобном виде.

.

Несмотря на то, что значения  ,  , входящие в правую часть уравнения, нам неизвестны, его можно интерпретировать как “уточнение” значений   через значения в соседних точках. Решение уравнения метод Гаусса-Зейделя состоит в следующем:

1) выбрать некоторое  начальное приближение.

2) продвигаясь  по сетке (например, слева направо), уточнить решения. При многократном  повторении описанного процесса  начальное приближение сойдётся к точному решению.

На практике используют обобщенное уравнение, в  котором на каждом шаге релаксации j _i заменяется линейной комбинацией из своего старого значения и “улучшенного”.

Полученное уравнение  и будет использоваться для решения  поставленной задачи.

 

3 Проверка работоспособности численной модели

Для проверки работоспособности программы, мы рассмотрим элементарную задачу, зададим начальный  потенциал вдоль вертикальных стен, и оценим, как проходят эквипотенциальные  линии.

Рисунок 4 – Эквипотенциальные лини при потенциале заданном вдоль вертикальных стен.

 

Они получились приблизительно параллельными вертикальным стенам, небольшие отклонения связанны с тем что, часть энергии уходить в внешнюю среду. Данное распределение почти полностью соответствует истинному распределению потенциала.

Оценим  также плотность тока.

Рисунок 5 – Векторы плотности тока в узлах сетки, при потенциале заданном вдоль вертикальных стен.

Как видно  из рисунка, все вектора строго перпендикулярны  вертикальным стенам, что верно, в  условиях данной задачи.

Так же имеет  смысл анализ сопротивления. Для  условий проверки, где U₁(0)=100, U₂(10)=-100, сопротивление, следующее: R=0.5233  
Теоретическое значение сопротивления можно рассчитать из формулы

 ,   и d примем равны 1, тогда

Поскольку результаты решения элементарной задачи численной моделью с нужной точностью совпадают с теоретическим решением, то можно  говорить о решении данной моделью самой поставленной задачей.

 

4 Результаты решения поставленной задачи

 

Рисунок 6 – Эквипотенциальные лини при потенциале заданном как x=0 y=10 U=100; x=10 y=19 U= -100.

 

Рисунок 7 – Векторы плотности тока в узлах сетки, при потенциале заданном как x=0 y=10 U=100; x=10 y=19 U= -100. Сопротивление для данных условий: R=0.90