Методы расчета электрических полей

Поле бесконечного заряженного цилиндра. Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью s. Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть только от расстояния r от оси цилиндра. Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r и высоты h (рис. 6). Для оснований цилиндра Е_n = 0, для боковой поверхности Е. = E(r) (заряд предполагаем положительным) . Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность равен E(r)2prh. Если r>R, внутрь поверхности попадает заряд q = lh (l - линейная плотность заряда). Применив теорему Гаусса, получим . Отсюда (r ³ R). Если г < R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего Е (г) = 0.

Таким образом, внутри равномерно заряженной цилиндрической поверхности  бесконечной длины поле отсутствует. Напряженность поля вне поверхности  определяется линейной плотностью заряда l и расстоянием r от оси цилиндра.

Поле отрицательно заряженного цилиндра отличается от поля цилиндра, заряженного положительно, только направлением вектора .

Из полученной формулы  для поля следует, что, уменьшая радиус цилиндра R (при неизменной линейной плотности заряда l), можно получить вблизи поверхности цилиндра поле с очень большой напряженностью.

Подставив в эту формулу  и положив r = R, получим для напряженности поля в непосредственной близости к поверхности цилиндра значение .

С помощью принципа суперпозиции легко  найти поле двух коаксиальных цилиндрических поверхностей, заряженных с одинаковой по величине, но отличающейся знаком линейной плотностью l (рис. 5), Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле отсутствует. В зазоре между цилиндрами величина напряженности поля определяется формулой . Это справедливо и для цилиндрических поверхностей конечной длины, если зазор между поверхностями много меньше их длины (цилиндрический конденсатор). Заметные отступления от поля поверхностей бесконечной длины будут наблюдаться только вблизи краев цилиндров.

Поле заряженной сферической поверхности. Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью s, будет, очевидно, центрально-симметричным. Это означает, что направление вектора в любой точке, проходит через центр сферы, а величина напряженности является функцией расстояния r от центра сферы. Вообразим концентрическую с заряженной сферой поверхность радиуса r. Для всех точек этой поверхности Е_n= E (r). Если r > R, внутрь поверхности попадает весь заряд q, распределенный по сфере. Следовательно, , откуда (r ³ R).

Сферическая поверхность  радиуса r, меньшего, чем R, не будет содержать зарядов, вследствие чего для r < R получается E(r) = 0. Таким образом, внутри сферической поверхности, заряженной с постоянной поверхностной плотностью s, поле отсутствует. Вне этой поверхности поле тождественно с полем точечного заряда той же величины, помещенного в центр сферы.

Используя принцип суперпозиции, легко показать, что поле двух концентрических  сферических поверхностей (сферический  конденсатор), несущих одинаковые по величине и противоположные по знаку  заряды + q и - q, сосредоточено в зазоре между поверхностями, причем величина напряженности поля в этом зазоре определяется формулой  (r ³ R).

Поле объемно-заряженного  шара. Пусть шар радиуса R заряжен с постоянной объемной плотностью r. Поле в этом случае обладает центральной симметрией. Легко сообразить, что для поля вне шара получается тот же результат, что и в случае поверхностно-заряженной сферы. Однако для точек внутри шара результат будет иным. Сферическая поверхность радиуса r (r < R) заключает в себе заряд, равный (0,75 rp r³). Поэтому теорема Гаусса для такой поверхности запишется следующим образом: . Отсюда, заменив r через q/(0,75pR³), получим    (r £ R).

Таким образом, внутри шара напряженность поля растет линейно с расстоянием r от центра шара. Вне шара напряженно убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ  ПОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ГАУССА ДЛЯ ТЕЛ С ПОЛОСТЯМИ

 

Если в  рассмотренных выше объемно-заряженных телах (бесконечный слой, объемно-заряженный цилиндр или шар) имеются полости, в которых отсутствует заряд, и форма полости также является некоторым бесконечным цилиндром или шаром, полностью находящимся внутри исходного объемно-заряженного тела, то расчет напряженности поля может быть выполнен следующим образом.

Для определенности будем считать, что исходное тело заряжено положительно с объемной плотностью заряда s. Тогда можно мысленно заполнить полость положительным зарядом с плотностью s и отрицательным зарядом с плотностью (-s). Результирующий заряд полости останется нулевым и искомое электрическое поле не изменится, но в результате такого "мысленного" заполнения получим два заряженных тела: положительно заряженное симметричное тело без полости, поле которого находиться с помощью теоремы Гаусса, и отрицательно заряженное симметричное тело, поле которого также находится с помощью теоремы Гаусса. Результирующее поле, которое совпадает с искомым полем задачи,  находится путем векторного сложения этих двух полей, т.е. путем векторного сложения напряженностей этих полей.

Если полость частично выходит за границы симметричного  тела  (например, шаровая полость в бесконечном объемно-заряженном цилиндре,  частично выходящая за поверхность цилиндра (рис. 7)), то суммарное поле положительно и отрицательно заряженных тел не будет совпадать с искомым полем задачи. В этом случае предлагаемый метод расчета электрического поля с помощью теоремы Гаусса уже неприменим.

Тот же принцип мысленного заполнения полости одинаковыми по величине положительным и отрицательным зарядами можно использовать для расчета полей в плоских структурах, например, в случае наличия полости в виде кругового отверстия в бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда +s. Однако в этом случае напряженность поля  второго тела (диска на месте полости) с плотностью заряда  (-s) необходимо находить уже не с помощью теоремы Гаусса, а другими методами.

Решим одну задачу с расчетом напряженности поля внутри бесконечного по двум координатам объемно заряженного слоя, имеющего цилиндрическую полость бесконечной длины.

 

Задача. Найти напряженность электрического поля на оси х в точках с координатами (-0,5d и 2 d) внутри и вне объемно заряженного слоя толщиной 2d и плотностью зарядов r, если внутри слоя имеется цилиндрическая полость с радиусом R < d (см. рис). Решение: Рассчитаем поле объемно заряженного слоя без полости. Из симметрии задачи можно установить, что напряженность поля будет зависеть только от расстояния х от середины слоя до точки, в которой ищется поле.

Для нахождения поля внутри слоя выделим мысленно цилиндрический объем, расположенный симметрично относительно середины слоя и имеющий такую длину, чтобы точка х, в которой ищется поле, находилась на одном из торцов этого цилиндра  (см. рис. 8 а). Радиус цилиндра выбирается произвольным образом. Запишем теорему Гаусса для этого цилиндрического объема: , где S – полная поверхность цилиндра, а справа суммируются заряды, расположенные внутри этого цилиндра. Сумма этих зарядов равна 2хrS_т, где S_т – площадь каждой из торцовых поверхностей.  Интеграл в левой части разобьем на три интеграла: по боковой поверхности цилиндра и по двум торцовым поверхностям. Из симметрии задачи следует, что вектор может быть направлен только перпендикулярно поверхности слоя. Отсюда следует, что интеграл по боковой поверхности равен нулю, т.к. = 0. На каждой из торцовых поверхностей = Е(х) и одинаково во всех точках торцовой поверхности. Если за знак оставшихся интегралов вынести постоянную величину = Е, то эти интегралы в сумме дают величину 2ЕS_т. Приравнивая правую и левую части формулы Гаусса, получаем 2ЕS_т = 2хrS_т/e₀ и находим Е = хr/e_0.  При положительном заряде слоя вектор направлен по перпендикуляру от плоскости симметрии во внешнее пространство.

Если  поле ищется вне однородного слоя (рис. 8 б), то сумма зарядов не зависит от х, а равна 2drS_т. Все остальное остается без изменения, и в этом случае из уравнения 2ЕS_т = 2drS_т/e₀ получаем Е = dr/e₀ = const. При положительном заряде слоя вектор направлен по перпендикуляру от плоскости симметрии во внешнюю часть пространства. Общий график зависимости Е(х) для бесконечного слоя толщиной 2d показан на рис. 8 в.

Теперь найдем напряженность  поля отрицательно заряженного бесконечного цилиндра с радиусом R вне этого цилиндра (рис. 9). Из симметрии этой задачи следует, что в любой точке пространства вектор напряженности поля направлен по радиусу к оси цилиндра и зависит только от расстояния z от точки, в которой ищется поле, до оси цилиндра по радиусу. Выберем мысленно цилиндр с произвольной высотой таким образом, чтобы точка, в которой ищется напряженность электрического поля оказалась на боковой поверхности этого цилиндра. Поскольку вектор направлен по радиусу, то поток вектора через верхний и нижний торцы этого цилиндра равен нулю, а на боковой поверхности = Е(z) = const, т.к. значение z (радиус большого цилиндра) во всех точках боковой поверхности одинаково. Тогда поток вектора через всю поверхность большого цилиндра оказывается равным 2Еpzh, где h – высота большого цилиндра. Заряд внутри большого цилиндра по величине равен pR²hr. Из теоремы Гаусса находим значение напряженности электрического поля однородно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R : |Е| = R²r/2e₀z. В точке с координатой х = – d/2 поля положительно заряженного слоя и отрицательно заряженного цилиндра направлены в разные стороны и, следовательно, искомая напряженность поля будет иметь вид Е = (– d/2)(r/e₀) + (R²r/2e₀z), где z = (1,5d – R) – это расстояние от оси цилиндрической полости до точки с координатой х = – d/2. Если поле ищется в точке с координатой х = 2d, то поля слоя и цилиндра будут направлены в разные стороны, поэтому искомая напряженность поля равна:

Е = (dr/e₀) – (R²r/2e₀z), где z = (R + d) – это расстояние от оси цилиндрической полости до точки с координатой х = 2d.

 

АЛГОРИТМ  РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА

 

1. Написать формулировку теоремы Гаусса: Поток вектора через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на e₀e , т.е. e₀e = .
2. Выбрать вид замкнутой поверхности в виде цилиндра или сферы. Написать словами, какой формы замкнутую поверхность вы выбираете, и правильно нарисовать ее пунктиром на рисунке. Ввести обозначения параметров этой поверхности (радиуса для сферы и цилиндра и длину для цилиндра). При выборе поверхности следует руководствоваться следующими правилами:
3. Сферическая поверхность выбирается для заряженных тел в виде сфер и шаров (центр выбранной поверхности должен совпадать с центром сфер и шаров).
4. Для плоских и цилиндрических заряженных тел замкнутая поверхность выбирается в виде цилиндра, расположенного перпендикулярно плоским бесконечным поверхностям (слоям) или соосно цилиндрическим телам.
5. Форма замкнутой поверхности не должна нарушать исходной симметрии задачи, т.е. цилиндр должен быть расположен симметрично относительно плоскости или оси симметрии (соответственно для плоских и цилиндрических тел). В этом случае в любой точке выбранной поверхности будет выполняться одно из условий: |E_n |= |E| или E_n = 0.
6. Точка, в которой ищется электрическое поле, должна находиться  на выбранной замкнутой поверхности (на той части поверхности, где E_n ¹ 0). С учетом симметричности расположения замкнутой поверхности это условие однозначно определяет один из размеров замкнутой поверхности. Второй размер цилиндрической поверхности можно выбрать произвольно.
7. Определить из симметрии задачи направление вектора напряженности электрического поля в любой точке пространства. Вектор лежит на прямой, образованной пересечением двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии задачи, а его направление находится исходя из закона Кулона. Другой способ нахождения направления : направление не должно нарушать симметрии задачи (т.е. не должно предпочитать правую или левую сторону или верх и низ по отношению к любой плоскости симметрии задачи).  Из равноправия точек пространства по двум координатам в сферической (для сфер и шаров), цилиндрической (для цилиндрических тел бесконечной протяженности) или декартовой (для бесконечных плоскостей или слоев) систем координат определяются две координаты, от которых вектор не зависит, и одна координата, от которой вектор зависит.
8. Поскольку вектор зависит только от одной координаты, то на той части замкнутой поверхности, где выполняется условие |E_n | = |E|, доказывается, что значение E_n есть величина постоянная и может быть вынесена за знак интеграла. В результате  получаем, что , где S₁ – та часть выбранной замкнутой поверхности, на которой выполняется условие |E_n | = |E| . Это полная площадь 4pR² сферической замкнутой поверхности в сферических задачах или площадь pR²L боковой поверхности цилиндра, если точка, где ищется поле, расположено на боковой поверхности. Если же эта точка расположена на торцах цилиндра, то в качестве S₁ нужно взять удвоенную площадь поверхности одного торца. Поток через оставшуюся часть замкнутой поверхности, очевидно, равен нулю, так как на этой части выполняется условие E_n = 0.
9. Далее требуется найти заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности. Если задана объемная плотность заряда r , то величина этого заряда равна Q = r×DV , где DV – та часть объема замкнутой поверхности, в которой находится заряд с плотностью r. Если зарядом равномерно заполнен весь объем замкнутой поверхности, то DV = 4pR³/3 для сферической поверхности и               DV = 2pRL для цилиндрической поверхности, где R – радиус сферы или цилиндра, L – длина цилиндра.
10. Окончательно значение поля находится из уравнения или Е = r×DV / S₁ , где S₁ и DV требуют аккуратного и внимательного расчета, особенно в том случае, когда заряд не полностью заполняет замкнутую поверхность (например, заряд распределен внутри шарового слоя или внутри цилиндрического слоя).
11. Если по условию задачи требуется найти потенциал поля в данной точке, то далее следует выполнить операцию интегрирования по той координате, от которой зависит значение Е, т.е. . При этом как правило, |E_r |= |E(r)|. Если требуется определить r(r), то следует записать конечный вид теоремы Гаусса в виде , выразить dV через dr и свести объемный интеграл к одномерному интегралу (подумайте сами как это сделать в случае сферических и цилиндрических заряженных тел). Затем следует продифференцировать по r правую и левую части уравнения. В результате интеграл исчезает и остается алгебраическое уравнение для нахождения r(r).
12. Если в задаче имеется тело с полостью, то нужно решить две самостоятельных задачи: для заряженного тела без полости и для заряженной полости с противоположным знаком заряда. Результирующее поле – это сумма векторных значений напряженностей первого и второго полей.

 

ЗАДАЧИ НА ТЕМУ "РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С  ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ГАУССА"

 

 

1. Рассчитать поле внутри и вне объемно заряженного слоя с известными толщиной слоя d и объемной плотностью зарядов r.
2. Рассчитать поле внутри и вне объемно заряженного шара с известными R и r  (см. стр. 59 учебника И.В. Савельева "Курс общей физики", том 2, 1988 год издания или §14 "Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса"). (См. также усложненный вариант этой задачи 3.21 из задачника И.Е. Иродова, 1979 года издания).
3. Рассчитать поле внутри и вне бесконечного объемно заряженного цилиндра с известными R и r.

 

 

Бесконечный по двум координатам заряженный слой с объемной плотностью зарядов r имеет толщину 2d. Внутри слоя имеется цилиндрическая полость с радиусом R₂ < d . Найти напряженность электрического поля над осью цилиндрической полости в зависимости от расстояния до этой оси (расчет полей объемно заряженных слоя и цилиндра приведен в решении задачи на стр. 6-7 этого пособия).

 

5. Найти напряженность электрического  поля на оси х в точке с координатой     (-0,5d) внутри объемно-заряженного слоя толщиной 2d и плотностью зарядов r, если внутри слоя имеется шаровая полость с радиусом R₂ < d (рис.). Ось х проходит через центр полости.

 

 

6. Найти напряженность электрического поля на оси х в точке с координатой (-0,5 R₁) внутри объемно-заряженного бесконечного цилиндра с радиусом R₁ и плотностью зарядов r, если внутри цилиндра имеется цилиндрическая полость с радиусом R₂ < R₁ (рис.).

(см. также аналогичную задачу 3-29 из задачника И.Е. Иродова, 1979 года издания).

 

7. Найти напряженность  электрического поля на оси х в точке с координатой (-0,5 R₁) внутри объемно-заряженного шара с радиусом R₁ и плотностью зарядов r, если внутри шара имеется шаровая полость с радиусом R₂ < R₁. Ось х проходит через центр шаровой полости (рис.).

(См. также задачу 3.28 из задачника И.Е. Иродова, 1979 года издания)

8. Задача 3-25 из задачника  И.Е. Иродова, 1979 года издания. (или  2.31 из задачника Иродова 2001 г.)

9. Задача 3-26 из задачника  И.Е. Иродова, 1979 года издания. (или  2.32 из задачника Иродова 2001 г.)

10. Задача 3-27 из задачника И.Е. Иродова, 1979 года издания.

11. Задача 3-28 из задачника  И.Е. Иродова, 1979 года издания. (или  2.33 из задачника Иродова 2001 г.)