Методы расчета электрических полей

1

 

 

 

 

МЕТОДЫ РАСЧЕТА 

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННОСТИ  И ПОТЕНЦИАЛА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

 

Электростатическое, то есть не меняющееся во времени, поле создается  неподвижными в данной системе координат электрическими зарядами и описывается двумя основными характеристиками. Силовой характеристикой поля является напряженность электрического поля (векторная величина), а энергетической характеристикой является потенциал поля j (скалярная величина).

Напряженность электрического поля в некоторой точке - это отношение силы , действующей со стороны электрического поля на точечный заряд q, помещенный в эту точку, к величине этого заряда: = /q . Потенциал электрического поля в некоторой точке равен отношению потенциальной энергии W положительного точечного заряда q, помещенного в эту точку, к величине заряда:  j = W / q.

Потенциал электрического поля  j измеряется работой, которую совершают силы поля, перемещая единичный положительный заряд из данной точки в бесконечность (или другую точку, потенциал которой условно принят равным нулю). В этом определении j  раскрыт физический смысл величины W.

 

НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА

 

Напряженность и потенциал поля точечного заряда рассчитываются по формулам

( - единичный вектор вдоль радиуса-вектора ),                                                    (1)

.                                                                                                                                                   (2)                   

Вектор  направлен от положительного заряда вдоль радиуса-вектора , проведенного от заряда до  рассматриваемой точки поля. Если точечный заряд отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное, т.е. направлен в этом случае уже к заряду.

 

СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ  И ПОТЕНЦИАЛА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

 

Напряженность и потенциал j не являются независимыми характеристиками электрического поля. Они связаны друг с другом соотношением

.                                                                                                                                                 (3)

Здесь dj - приращение потенциала между двумя точками, расположенными на расстоянии dl друг от друга, E_l - проекция вектора напряженности электрического поля на направление отрезка dl.

Если направление вектора  известно, то, выбирая dl вдоль этого направления, получаем формулу  для определения величины : . Если направление вектора неизвестно, то для расчета вектора применяется формула = - grad j, где - единичные векторы, направленные вдоль осей x, y, z. Напряженность поля равна градиенту потенциала , взятому со знаком "минус". Градиент показывает направление, в котором потенциал растет наиболее быстро, и скорость этого роста. Распределение электрического поля в пространстве удобно графически описывать с помощью линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей.

 

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ДЛЯ НАПРЯЖЕННОСТИ  И ПОТЕНЦИАЛА

 

Напряженность и потенциал поля, созданного системой зарядов, подчиняются принципу суперпозиции:

1. Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов в отдельности:  ;

2. Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности  .

 

СИЛОВЫЕ ЛИНИИ  И ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 

 

Линии напряженности - это направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором напряженности в этой точке. Густота линий (число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную к линиям в этой точке) пропорциональна модулю вектора . Эквипотенциальные поверхности - это геометрическое место точек с одинаковым потенциалом.  В случае плоской системы роль эквипотенциальных поверхностей выполняют эквипотенциальные линии. В каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор перпендикулярен к этой поверхности и направлен в сторону уменьшения потенциала. Этот вывод следует из формулы (3). Для напряженности электрического поля вводятся понятия потока вектора напряженности Ф  и циркуляции вектора . Теорема о циркуляции вектора .  Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L в электростатическом поле равна нулю, т.е. .                                                                                                                                                 

Следствием этой теоремы является тот факт, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. Эти линии всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах (или уходят в бесконечность).

 

ПОТОК ВЕКТОРА  НАПРЯЖЕННОСТИ И ТЕОРЕМА ГАУССА

 

Поток вектора  напряженности через произвольную поверхность S равен Ф = ,  где - проекция вектора на нормаль к поверхности, dS - площадь малого элемента поверхности (рис. 1).

Для потока Ф через  любую замкнутую поверхность доказана теорема Гаусса:

,                                                                    (4)

т.е. поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на e₀ = 8,85 × 10^-12 Ф/м.

Теорема Гаусса в ряде случаев позволяет достаточно просто рассчитывать напряженность поля системы зарядов. Чтобы применить теорему Гаусса для решения конкретной задачи, необходимо знать структуру силовых линий поля и удачно подобрать замкнутую поверхность S  таким образом, чтобы вычисление потока Ф свести к простому умножению (или ) на площадь поверхности S или некоторой ее части. Отметим, что в случае замкнутой поверхности S нормаль принято направлять во внешнюю сторону от поверхности.

 

ПРИМЕРЫ СТРУКТУРЫ  ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 

 

Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости (рис. 2) таково, что вектор перпендикулярен к плоскости. Если поверхностная плотность зарядов s > 0, то вектор направлен от плоскости, а при отрицательной плотности зарядов s - вектор направлен к плоскости. Такова же структура поля между пластинами плоского конденсатора (рис. 3), если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин.

Поле бесконечной  равномерно заряженной прямой нити (рис. 4) таково, что линии направлены по радиальным направлениям от нити, если линейная плотность зарядов t больше нуля.

Модуль E в любой точке зависит только от расстояния r этой точки до нити. Такую же структуру имеет поле между электродами цилиндрического конденсатора (рис. 5), если его высота много больше разности . Если заземлить внешний электрод такого конденсатора (т.е. дать ему нулевой потенциал), то напряженность поля конденсатора на расстоянии r от оси симметрии при будет равна . При и поле E равно нулю. Потенциал поля такого конденсатора при равен . При потенциал имеет постоянное значение: . Поле равномерно заряженной сферы на расстояниях от центра, больших радиуса сферы, не отличается от поля точечного заряда. Вектор параллелен или антипараллелен радиусу-вектору , проведенному от центра сферы в точку наблюдения. Модуль вектора зависит только от .

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ  ПОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ГАУССА

 

Теорема Гаусса позволяет  в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей. Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на нескольких полезных для дальнейшего примерах. Прежде чем приступить к рассмотрению этих примеров, введем понятия поверхностной и линейной плотностей заряда.

Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое несущего заряд тела, распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности s, которая определяется выражением . Здесь dq - заряд, заключенный в слое площади dS. Под dS подразумевается физически бесконечно малый участок поверхности.

Если заряд распределен по объему или поверхности цилиндрического  тела (равномерно в каждом сечении), используется линейная плотность заряда (dl - длина физически бесконечно малого отрезка цилиндра, dq - заряд, сосредоточенный на этом отрезке).

 

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ  ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОСТИ 

 

Методику применения теоремы Гаусса рассмотрим на примере  заряженной плоскости (рис. 6). Выберем  в качестве замкнутой поверхности S цилиндр. Образующие цилиндра направлены вдоль линий . На рис. 6 также обозначены нормали к выбранной поверхности S в трех разных ее точках. Площадь одного торца цилиндра обозначим DS.

Рассчитаем интеграл в левой части формулы (4). Поток  Ф через боковую поверхность  цилиндра равен нулю, т.к. на этой части  цилиндра векторы  и взаимно перпендикулярны. Поток через каждое из двух торцов цилиндра равен EDS, а через оба торца - 2EDS. Следовательно, полный поток через замкнутую поверхность S равен 2EDS. Правая часть (4) - это заряд внутри S. Из рис. 6 видно, что этот заряд равен sDS. Приравнивая левую и правую части (4), получаем E = .

Ниже рассмотрены решения  этой же и других задач с помощью  теоремы Гаусса из учебника: Савельев И.В. Курс общей физики. Том 2. - М.: Наука, 1988. - 496 с. (см. стр. 54-59).

Поле бесконечной  однородно заряженной плоскости. Пусть поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинакова и равна s; для определенности будем считать заряд положительным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плоскости. Действительно, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно, нет никаких оснований к тому, чтобы вектор отклонялся в какую-либо сторону от нормали к плоскости. Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе мысленно цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины DS, расположенными относительно плоскости симметрично (рис. 2). В силу симметрии напряженность электрического поля справа и слева на основаниях цилиндра одинакова по величине и равна Е. Применим к поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Е_n в каждой ее точке равна нулю. Для оснований Е_n совпадает с Е. Следовательно, суммарный поток через поверхность равен 2ЕDS. Внутри поверхности заключен заряд sDS. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие , из которого .

Полученный нами результат  не зависит от длины цилиндра. Это  означает, что на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Вид линий напряженности показан на рис.  6.  Для отрицательно заряженной плоскости результат будет таким же, лишь направление вектора и линий напряженности изменится на обратное.

Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную тонкую пластинку, то полученный результат будет справедливым только для точек, расстояние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки. По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости. Характер поля на больших расстояниях легко представить, если учесть, что на расстояниях, значительно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного заряда.

Поле двух разноименно  заряженных плоскостей. Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плотностью s, можно найти как суперпозицию полей,  создаваемых каждой из плоскостей (рис. 6) в отдельности. В области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна . Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю. Таким образом, поле оказывается сосредоточенным между плоскостями. Напряженность поля во всех точках этой области одинакова по величине и по направлению; следовательно, поле однородно. Линии напряженности представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых.

Полученный нами результат  приближенно справедлив и для  плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями много меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). В этом случае заметные отклонения поля от однородности наблюдаются только вблизи краев пластин.