Компьютерное моделирование дифракции упругих волн на локальных неоднородностях

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

Метод конечных элементов сложнее метода конечных разностей в реализации. У МКЭ, однако, есть ряд преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: произвольная форма обрабатываемой области; сетку можно сделать более редкой в тех местах, где особая точность не нужна.

Долгое время широкому распространению  МКЭ мешало отсутствие алгоритмов автоматического  разбиения области на «почти равносторонние»  треугольники (погрешность, в зависимости  от вариации метода, обратно пропорциональна  синусу или самого острого, или самого тупого угла в разбиении). Впрочем, эту  задачу удалось успешно решить (алгоритмы  основаны натриангуляции Делоне), что дало возможность создавать полностью автоматические конечноэлементные САПР.

2.3 Метод граничных элементов

Метод граничных элементов (МГЭ) — численный метод

решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение  дифференциальных уравнений, разбивается  на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно  выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Цели исследовательской  работы:

• научиться решать задачи дифракции;
• освоить МГЭ( метод граничных элементов);
• освоить МГИУ( метод граничных интегральных уравнений);
• освоить методики численного анализа волновых задач.

Задачи исследовательской  работы:

• разработать компьютерную модель дифракции упругих волн на границах среды, а так же на внутренних препятствиях;
• проанализировать влияние препятствия(полость) на волновую картину.

Приложение для компьютерной модели дифракции упругих волн  было реализовано с помощью пакетов  MATLAB & SIMULINK 2010 и COMSOL Multiphysics 4.2a.

В результате работы было написано приложение SH_Simulator, с помощью которого можно проводить эксперименты по анализу волновой картины на различных средах, а так же влиянию неоднородностей на волновую картину.

3.1 Общая схема решения  задачи

Рассмотрим задачу  дифракции  упругих волн на локальных неоднородностях (пустотах). Упругая среда занимает прямоугольник (а, b). Неоднородность с центром в точке () в первом случае представляет собой полость квадратной формы со стороной с. В данной задаче будут рассмотрены SH-колебания( поперечно-горизантальные поляризационные волны). На данном рисунке изображена пластина прямоугольной формы с простой неоднородностью, ввиде квадратного отверстия. В левом верхнем углу находится актуатор.

Рис.2

Данные волны описываются следующим  уравнением:

    (6) 

где - частота,

- плотность материала  среды, 

- коэффициент сдвига,

- смещение.

 моделирует действие  актуатора( источник волн):

.

На границах среды заданны условия 

                  

Согласно МГЭ(метод граничных элементов) будем представлять решение в виде:

 ,   (7)

где - поле источника в безграничной среде:

,

g- фундаментальное решение уравнения Геймгольца:

 определено в явном виде ,

 функция Ханкеля  1 рода нулевого порядка.

Представление (7) удовлетворяет (6) автоматически в рассматриваемой области за исключением границ. Удовлетворяя нашим граничным условиям, подставим (7) в граничные условия и получим производные имеющие общий вид:

 

 

 

Подставляя их в граничные условия получим интегральные уравнения:

 

 

 

Будем решать интегральные уравнения МГЭ(метод граничных  элементов).

 

 

 

 

Удовлетворяя условию  на границах получим:

 

 

 

 

Полученные функциональные уравнения будем решать методом коллокаций. Пусть узлы точек коллокаций совпадают с узлами точек базисных функций. Метод коллокаций приводит к СЛАУ, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1 Описание программной реализации

Моя модель была создана  в пакете Comsol Multyphysics 4.2a.

На рис.3, приведенном ниже, изображено тело программы со всеми используемыми модулями.

Рис.3

При создании проекта в  первую очередь указывается система  измерения. Была выбрана безразмерная система измерения. Во вкладке Definitions задаются параметры координатного пространства. В Geometry строится заданная исследуемая модель. В Materials задаются данные об используемых материалах: плотность и модуль сдвига. Следующая вкладка это Helmholtz Equation, в ней мы задаем параметры для решения нашей волновой задачи.

Решение выводится в такой  рабочей плоскости, изображенной на рис.4, где можно менять масштаб, сделать скриншот и развернуть график.

Рис.4

 

 

 

 

 

 

 

3.2 Численные примеры

Ниже приведена таблица  1, построенная на данных вышеизложенных примеров.

Таблица 1 – значения U(смещения)

аллюминий		титан		сталь
примеры с квадратным препятствием
U	от 10 до 32.5 х1		от 17 до 26.5 х1		от 35 до 80 х1
примеры с множеством препятствий
U	от 14 до 26 х1		от 18.5 до 23.5 х1		от  42 до 63 х1
примеры с увеличением  частоты в 3 раза
U	от 4 до 13.5 х1		от 5.8 до 10.5 х1		от 12 до 37 х1

 

Моделируя различные примеры  с на разных материалах можно выявить  некоторые закономерности.

• Наличие препятствий существенно искажает волновую картину
• Увеличение частоты приводит к уменьшению более активной зоны смещения
• При перемещении актуатора в центр пластины нижний предел значения смещения увеличивается
• Наличие множества неоднородностей уменьшают верхний предел значения смещения
• Повышение частоты значительно уменьшает зону смещения

Опираясь на выявленные закономерности мы можем значительно упростить  процесс дефектоскопии на данных материалах, так как подобрали  оптимальный диапазон частот при  которых наиболее эффективна работа дефектоскопа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе были рассмотрены общие понятия  о неразрушающем методе контроля, дифракции упругих волн и численных  методах решения. Проведено исследование волновой картины на неоднородных участках.

Сделана попытка создать  адекватную модель дифракции упругих  волн в неоднородной среде, а также  смоделировать частотный спектр волновой картины.

Реализована возможность  моделирования дифракции упругих  волн на локальных неоднородностях  для любых материалов. Для проведения экспериментов было написано Windows-приложение с достаточно широкими возможностями исследования волновой картины в телах любых материалов.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Линьков А.М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, -1999. - 382 с. 51ил.
2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО Янус, -1995. - 520 с.
3. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, - 1963. - 472 с.
4. Сайт «Википедия свободная энциклопедия».  http:// www.ru.wikipedia.org/ (дата обращения: 18.05.2013)
5. Сайт  «Акустический журнал».   http://www.akzh.ru/ (дата обращения 30.05.2013)
6. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. К.: Наук. Думка, - 1978.- 308с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

В первой серии волновых картин будем рассматривать алюминиевую  пластину. Входные данные для которой  равны:

На первом рисунке изображена пластина с неоднородностью квадратной  формы.

Рис.5

Шкала справа отображает u(смещение). На рис.5 отчетливо видим искажение волновой картины в районе препятствия. Шкала координатной оси измеряется в метрах.

 

 

 

Рис.6

На Рис.6 смоделировано несколько препятствий(пустот), так же был перемещен актуатор, как видим волновая картина в данном случае кардинально поменялась. Множество препятствий сильно искажают волновую картину. В следствие всех этих изменений понизилось смещение, это можно наблюдать по шкале, справа от  рисунка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На Рис.7 была увеличена частота , по сравнению с предыдущими примерами, как видим, волновая картина не изменилась, но сущесвенно уменьшилось смещение. Шкала справа от графика отображает u(смещение).

Рис.7

Как мы можем наблюдать  по приведенным выше примерам, препятсвия мешают ровному и однородному  распрастранению упругих волн на пластине. Так же заметим, что при  увеличении частоты волн смещение уменьшается, это говорит о том, что высокочастотные  волны в данном материале распрастраняются заметно хуже, чем волны с более  низкими частотами.

Далее будут рассмотрены  примеры для пластин этих же размеров с такими же неоднородностями для  других материалов, в частности стали  и титана.

 

 

 

 

 

 

 

Теперь рассмотрим пример на пластине из стали. Параметры для этого сплава брались средние. ,  .

На рис.8 видим незначительное изменение волновой картины, расширилось поле смещения от эпицентра к границам пластины.

Рис.8

Заметим, что из-за высокой  плотности стали, значения смещения намного меньше, чем у алюминиевой  пластины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис.9 с множеством препятствий видим сильное искажение волновой картины. Значения смещения по сравнению с предыдущим примером уменьшились примерно на 15%, это следствие того, что препятствия мешают распрастранению волн по плоскости пластины

Рис.9

 

На рис.10 можем наблюдать явление, характерное и для первого примера с алюминиевой пластиной, а именно уменьшение значений смещения в пластине в следствии увеличения подаваемой частоты на актуатор .

Рис.10

В последнем примере рассмотрим пластину из титана. Входные данные для этой модели равны: Заметим, что особенностью этого примера является то, что плотность этого материала существенно ниже приводимых выше материалов.

Рис.11

На рис.11 мы можем наблюдать расширение зоны смещения, но так же и уменьшение значений смещения. В данном случае это объясняется необычайно низкой плотностью материала. Что касается зоны смещения, то ее расширение обусловлено большим модулем сдвига для данного материала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис.12 наблюдаем искажение волной картины, обусловленное наличием множества неоднородностей. Заметим, что значения смещения уменьшились примерно на 10%

Рис.12

Рассмотрим следующий  пример с увеличением частоты  на актуаторе в 3 раза, . На рис.13 можем наблюдать характерное уменьшение зоны более активного смещения. Так же значения смещения уменьшились почти на 50%.