Компьютерное моделирование дифракции упругих волн на локальных неоднородностях

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

Кафедра вычислительных технологий

 

 

ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ В ГАК

Заведующий кафедрой академик РАН,

д-р физ.-мат. наук, профессор

_______________________Миков А.И.

(подпись) (инициалы, фамилия)

_______________________2013г.

 

 

 

 ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

 

 

КОМПЬЮТЕРНОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ  ВОЛН НА ЛОКАЛЬНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ

 

 

 

 

 

Работу выполнил  А.А.Дмитренко

(подпись, дата) (инициалы, фамилия)

Факультет  ФКТиПМ 

Специальность  010501 - Прикладная математика и информатика 

Научный руководитель,

профессор, д.ф.-м.н. Е.В. Глушков

(подпись, дата)  (инициалы, фамилия)

Нормоконтролер

доцент, канд. физ.-мат наук  Е.А. Данилов

(подпись, дата) (инициалы, фамилия)

 

 

Краснодар 2013

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………..3

1 Общие понятия…………………………………..………………………….....….5

1.1 Упругие волны………………………………….………………………..5

1.2 Волновое уравнение……………………………………………………..5

1.3 Дифракция волн…………………………………………….……......…..8

2 Численные методы…………………………………………….…………..……..9

2.1 Метод коллокаций……………………………..……………..…………9

2.2 Метод конечных элементов……………………..…………………..….10

2.3 Метод граничных элементов……..……………………….……………12

3 Постановка задачи………………………………..…………………….…..…….14

3.1 Общая схема решения задачи…………………..…………..…………..14

3.2 Описание программной реализации…………………..….….…………18

3.3 Численные примеры…………………………………………..…………20

Заключение…………………………………………………………………………22

Список использованных источников……………………………………………..23

Приложение…………………………………………………………………………24

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Неразрушающий контроль (НК) — контроль надежности и основных рабочих свойств и параметров объекта или отдельных его элементов — узлов, не требующий выведение объекта из работы, либо его демонтажа.

В данной дипломной работе будет  рассматриваться акустический метод  неразрушающего контроля. А именно ультразвуковая  дефектоскопия — метод предложенный С. Я. Соколовым в 1928 году и основанный на исследовании процесса распространения ультразвуковых колебаний с частотой 0,5 — 25 МГц в контролируемых изделиях с помощью специального оборудования — ультразвукового дефектоскопа. Является одним из самых распространенных методов неразрушающего контроля.

Звуковые волны не изменяют траектории движения в однородном материале. Отражение акустических волн происходит от раздела сред с различными удельными акустическими сопротивлениями. Чем больше различаются акустические сопротивления, тем большая часть звуковых волн отражается от границы раздела сред. Так как включения в металле обычно содержат воздух, имеющий на пять порядков меньшее удельное акустическое сопротивление, чем сам металл, то отражение будет практически полное.

Разрешающая способность  акустического исследования, то есть способность выявлять мелкие дефекты, определяется длиной звуковой волны. Эффект возникает из-за того, что при  размере препятствия меньше четверти длины волны, отражения колебаний  практически не происходит, а доминирует их дифракция. Поэтому, как правило, частоту ультразвука стремятся повышать. С другой стороны, при повышении частоты колебаний быстро растет их затухание, что сокращает возможную область контроля. Практическим компромиссом стали частоты в диапазоне от 0,5 до 10 МГц.

Существует несколько  методов возбуждения ультразвуковых волн в исследуемом объекте. Наиболее распространенным является использование пьезоэлектрического эффекта. В этом случае излучение ультразвука производится с помощью преобразователя, который преобразует электрические колебания в акустические с помощью обратного пьезоэлектрического эффекта. Отраженные сигналы попавшие на пьезопластину из-за прямого пьезоэлектрического эффекта преобразуются в электрические, которые и регистрируются измерительными цепями.

Также используются электромагнитно-акустический (ЭМА) метод, основанный на приложении сильных переменных магнитных полей к металлу. КПД этого метода гораздо ниже, чем у пьезоэлектрического, но зато может работать через воздушный зазор и не предъявляет особых требований к качеству поверхности.

 

 

 

1.ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

1.1 Упругие волны

         Упругие волны (звуковые волны) - волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил. В зависимости от  частоты различают инфразвуковые, звуковые и ультразвуковые упругие волны. В жидких и газообразных средах может распространяться только один тип упругих волн - продольные волны. В волне этого типа движение частиц осуществляется в направлении распространения волны. В твёрдых телах существуют касательные напряжения, что приводит к существованию других типов волн, в которых движение частиц осуществляется по более сложным траекториям.

1.2 Волновое уравнение

Упругой волной называется процесс  распространения колебаний (или  возмущений) в некоторой среде (газообразной, жидкой или твердой). Возмущение распространяется вследствие упругого взаимодействия между ближайшими частицами среды. При этом частицы среды не «переносятся» волной, а лишь совершают движение вблизи своих положений равновесия, вовлекая в это движение соседние частицы. Различают волны продольные и поперечные, в зависимости от того, движутся ли частицы около своих положений равновесия вдоль или поперек направления распространения волны. Рассмотрим в качестве примера распространение возмущения в упругом шнуре.

Скорость распространения волны  зависит от свойств среды, а также  от типа волны (продольные и поперечные волны распространяются с разной скоростью). Демонстрация с пружиной. Наиболее просто математически описываются синусоидальные волны. Они широко распространены в природе и, что особенно важно, все другие волны можно представить в виде суммы большого числа синусоидальных волн. Синусоидальную волну в длинном шнуре можно получить, если один из концов струны заставить совершать гармонические колебания. Уравнение такой волны описывается формулой

   (1)

где y(x,t)- смещение из положения равновесия точки шнура с координатой x в  момент времени t, A – амплитуда волны, ω - циклическая частота, k – так  называемое волновое число, α - начальная  фаза. Каждая точка шнура совершает  гармонические колебания в направлении  оси y. Начальная фаза этих колебаний

 

линейно зависит от координаты точки x: чем дальше от источника расположена  точка шнура, тем сильнее «запаздывают»  ее колебания. При t = const формула (1) дает мгновенную «фотографию» шнура –  его положение в данный момент времени в пространстве:

,

где ψ =ωt +α. График  y(x)имеет синусоидальную форму с пространственным периодом λ = k /2π. Эту величину называют длиной волны. Длина волны – это расстояние между точками, которые колеблются с фазовым сдвигом, равным 2π. Точки струны, расположенные на расстоянии λ друг от друга, колеблются одинаково: одновременно достигают максимума, одновременно проходят через ноль.

Рис.1

На рис.1 изображены положения струны в три последовательных промежутка времени t: t +T /4 и t +T /2 . Видно, что за время T /2 максимум колебаний сместился в направлении оси x на Δx = λ/2. Скорость перемещения максимума (постоянной фазы) равна

 .

Это и есть скорость волны (фазовая  скорость). Скорость волны зависит  от свойств среды, в которой она  распространяется и от типа волны (поперечная или продольная). Формула (1) описывает  не только поперечные волны, но и продольные. В этом случае величина y имеет смысл  смещения частицы из положения равновесия не в поперечном, а в продольном направлении. Геометрическая картина  продольной волны менее наглядна: вдоль шнура-пружины теперь распространяются области растяжения и сжатия. Однако смысл всех величин остается прежним. Уравнение волны принято записывать в виде

 

где ξ(x,t) - смещение точки с координатой x из положения равновесия в момент времени t. Это уравнение описывает  не только волны в струне, но и  любую волну (например, звуковую), распространяющуюся вдоль оси x.

1.3 Дифракция волн

Дифракция волн - явление, которое проявляет себя как отклонение от законов геометрической оптики при распространении волн. Она представляет собой универсальное волновое явление и характеризуется одними и теми же законами при наблюдении волновых полей разной природы. В явлении дифракции важную роль играют исходные размеры области волнового поля и исходная структура волнового поля, которая подвержена существенной трансформации в случае, если элементы структуры волнового поля сравнимы с длиной волны или меньше её.

Например, ограниченный в пространстве волновой пучок имеет свойство «расходиться» («расплываться») в пространстве по мере распространения даже в однородной среде. Данное явление не описывается законами геометрической оптики и относится к дифракционным явлениям (дифракционная расходимость, дифракционное расплывание волнового пучка). Исходное ограничение волнового поля в пространстве и его определённая структура могут возникнуть не только за счёт присутствия поглощающих или отражающих элементов, но и, например, при порождении (генерации, излучении) данного волнового поля.

Следует заметить, что в средах, в которых скорость волны плавно (по сравнению с длиной волны) меняется от точки к точке, распространение  волнового пучка является криволинейным. При этом волна также может огибать препятствие. Однако такое криволинейное распространение волны может быть описано с помощью уравнений геометрической оптики, и это явление не относится к дифракции. Вместе с тем, во многих случаях дифракция может быть и не связана с огибанием препятствия (но всегда обусловлена его наличием). Такова, например, дифракция на непоглощающих (прозрачных), так называемых фазовых, структурах.

 

 

2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

2.1 Метод коллокаций

Пусть необходимо определить функцию , удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению 

+q(x)y=f(x)   (2)                                

   

и линейными краевыми условиями                        

,  (3)                

причем  . 

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций                                                            

 

которую назовем системой базисных функций.

Пусть функция    удовлетворяет неоднородным краевым условиям                                                        

 

а остальные функции удовлетворяют  соответствующим однородным краевым  условиям:              

 

 

 Если краевые условия (3) однородны (A=B=0), то можно положить   и рассматривать лишь систему функций.

Будем искать приближенное решение краевой задачи (2), (3) в виде линейной комбинации базисных функций                

.   (4)

Тогда функция  y  удовлетворяет краевым условиям (3). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем 

)=A+ 

и  аналогично  

Составим функцию  . Подставляя сюда вместо  y  выражение (4), будем иметь  

.

Если при некотором  выборе коэффициентов  c_i  выполнено равенство   

при   

то функция  y  является точным решением краевой задачи (2), (3). Однако подобрать так удачно функции   и коэффициенты  c_i  в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция  обращалась в нуль в заданной системе точек    из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция  R  называется невязкой уравнения (2). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение  (2)  будет  удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений                   

.               (5)

Из системы (5) в случае ее совместности можно определить коэффициенты (, после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (4).

 

2.2 Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение  дифференциальных уравнений, разбивается  на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.