Гармониялық тербелістер мен олардың сипаттамалары

(11.8) теңдеуден контурдың  мықтылығы неғұрлым жоғары болса,  соғұрлым амплитуда е рет кемігенге дейін тербеліс саны жасалып үлгереді. l - ның орнына оның bТ мәнін алып, мынаны табамыз:

Егер өшу аса үлкен  болмаса  (b² << w₀²),   деп ұйғаруға болады. Сонда

[(11.2) – ге сәйкес 2b = R/L]. Сөйтіп, өшу баяу болған жағдайда

                                           (11.9)        

 Контурдағы ток  күшінің амплитудасы е^-bt заңы бойынша кемиді. Контурдағы жиналғыш W энергия ток күші амплитудасының квадратына (немесе конденсатордағы кернеу амплитудасының квадратына) пропорционал болады; демек, W е^-bt заңы бойынша кемиді. Период ішінде энергияның салыстырмалы кемуі мынаған тең:

        

 Шамалы өшу кезінде  (яғни l << 1 шарты орындалғанда) е^-2l - ні 1 – 2l арқылы жуықтап ауыстыруға болады:

 .

Бұл өрнектегі l - ны (11.8) формуласына сәйкес контурдың Q мықтылығымен ауыстырып, әрі шыққан теңдеуді Q – ға қатысты шешіп, мынаны аламыз:

                                           (11.10) 

 

 

         Сонымен,  баяу өшу кезінде контурдың  мықтылығы контурда жинақталған  энергияның осы энергияның тербелісінің  бір периоды ішінде кемуіне  қатынасына пропорционал болады  екен.         

 Қорытындылай келе b² ³ w₀², яғни  болғанда тербеліс орнына канденсатордың апериодты (периодсыз) разряды жүреді. Тербелмелі процестің апериодты процеске ауысуындағы контурдың кедергісі кризисті кедергі деп аталады. Кризистік кедергі R_k – нің мәні   шартымен анықталады, бұдан

                                        (11.11) 

 

 

 

§12. Еріксіз электр тербелістер.        

 Еріксіз тербелісті  шығарып алу үшін системаға  периодты түрде өзгеріп тұратын  сырттай әсер беру керек екен. Электр тербелісі жағдайында, мұны  контур элементіне тізбектей  қосылған айнымалы э.қ. күшін  немесе контурды үзіп жіберіп, жаңа пайда болған контактіге айнымалы U кернеуін беру арқылы іске асыруға болады. Соңғы жағдай алдағы тарауда толық қарастырылған . Алайда электр және механикалық тербелістердің арасындағы ұқсастықты аяғына дейін жүргізу үшін біз еріксіз электр тербелістерінің теңдеулеріне басқаша түр бере отырып, тағы да қарастырамыз.         

 Контурдың элементіндегі  кернеу кемулерінің қосындысын  түсірілген кернеуге теңестіреміз

        

 і ток q зарядына отырып, (10.2) және (11.2) белгілеулерді пайдаланып, мына теңдеуді аламыз:

бұл еріксіз механикалық  тербелістің дифференциял теңдеуімен бірдей . Осы теңдеудің дербес шешімі мына түрде болады:

q = q_m cos (wt - y)                                     (12.1)

мұндағы

Осы өрнектегі w₀² пен b - ның орнына (10.2) және (11.2) мәндерін қойсақ

                                 (12.2)

                                          (12.3)        

 Егер (12.1) дербес шешуге  сәйкес біртекті теңдеудің жалпы  шешуін қоссақ, жалпы шешуді аламыз. Бұл шешу алдыңғы параграфта алынған болатын , мұнда экспоненциал е^-bt көбеткіш бар, сондықтан тербеліс басынан  саналатын жеткілікті уақыт аз болып шығады, оны елемеуге болады. Демек, орныққан еріксіз тербелісіміз (12.1) функциамен сипатталады екен. Алдыңғы тарауда тек орныққан ток пен кернеудің ғана қарастырылғанын ескертелік.         

 Заряд q – ды сыйымдылық С – ге бөліп, конденсатордағы кернеуді аламыз:

мұндағы

                        (12.4)

(12.1) функцианы t бойынша дифференциалдай отырып, контурда орныққан токты табамыз:

                  (12.5)

Ток амплитудасының  өрнегімен сәйкес келетін мәні төмендегіше болады:

                     (12.6)

(12.5) – ке j = y - p/2 белгілеулерін енгізе отырып, біз  формуласымен бірдей і – дің өрнегіне келеміз. (12.3) – ге сәйкес мынаны аламыз:

Сөйтіп, біз  формуласына қайта келдік.         

 q заряды үшін резонанстық жиілік пен конденсатордағы U^C кернеу мынаған тең 

               (12.7)        

17 – суретте U^C үшін резонанстық қисықтық кескінделген (q – дың  резонанстық қисықтығы да дәл осындай). Бұлар механикалық тербелістер үшін алынған резонанстық қисықтармен ұқсас . w ® 0 болғанда резонанстық қисықтар U_Cm=U_m ға – конденсаторда шамасы U_m тұрақты кернеу көзіне конденсаторды қосқанда, онда пайда болатын кернеуге ұмтылады. Неғұрлым b = R/2L аз болса, яғни неғұрлым конденсатордағы актив кедергі аз, индуктивтілік көп болса, резонанс кезінде максимум соғұрлым жоғары, әрі сүйірлеу болып келеді.         

 Ток күші үшін  резонанстық қисықтар 18 – суретте  кескінделген. Бұлар механикалық тербеліс кезіндегі жылдамдықтың резонанстық қисықтығына сәйкес келеді. (12.6) ток күшінің  амплитудасы wL – 1/wC=0 болғанда максимал мәнге ие болады. Демек, ток күшінің резонанстық жиілігі контурдың меншікті жиілігі w₀ – ге дәл келеді. І_т осіндегі резонанстық қисықпен қиылысатын кескінді нольгетең – кернеу тұрақты болғанда конденсаторы бар тізбектгі орныққан ток ағып өте алмайды.         

 Өшу аз болғанда (b² << w₀²) кернеудің (12.7) резонанстық жиілігін w₀ – ге тең деп ұйғаруға болады:

         (12.4) формуласы бойынша U_стрез резонанс кезінде конденсатордағы кернеу амплитудасының U_т сыртқы кернеу  амплитудасына қатынасы бұл жағдайда мынаған тең боады:

мұндағы Q – контурдың мықтылығы .         

 Контурдың мықтылығы  резонанстық қисықтықтың сүйірлігін де сипаттайды. Бұған көз жеткізу үшін қуаттың жартысы бойынша ток күшінің резонанстық қисықтығының ені деп аталатынды есептейміз. Осы шаманы І²_т – дің резонанстық мәннің (І_т » 0,7І_трез; 19 – сурет) 0,5 үлесін құрайтын резонанстық жиілігі Dw деп білеміз.         

(12.6) формуласы бойынша  ток күші амплитудасының квадраты  мынаған тең: 

        

 Резонанс кезінде І_т² мына шамаға тең: , І_т² квадрат амплитудасы

шартын қанағаттандыратын  жиілікте  0,5І_т² үлесін құрады.         

 Жақшаның ашып, аса күрделі емес түрлендіруден кейін мына төмендегі теңдеуге келеміз:

(11.9) формулаға сәйкес 

Сондықтан былай жазуға да болады:

Бұл теңдеуді w²/w₀² – ге қатысты шешелік:

        

 Аса мықты болғанда  бөліміндегі Q² бар шаманы 1 – мен салыстырғанда ескермеуге болады. Сонда мынау шығады:

бұдан

Сөйтіп, жиіліктің ізделініп  отырған мәні мынаған тең:

        

 w₂ - w₁ айырымын алып, қисықтық Dw - ның енін табамыз. Қисықтықтың салыстырмалы ені  контурдың Q мықтылығына кері шама болады екен:

                                               (12.8)        

 Бұл формуланың Q – дың үлкен мәнінде, яғни контурда еркін  тербелістің өшуі аз болған жағдайда ғана дұрыс болатынын ескертейік.         

 Біз тербелмелі  контурдың элементтерімен сыртқы  кернеуді тізбектей қосқандағы пайда болған еріксіз тербелісті қарастырдық . Сондай – ақ еріксіз тербелісті тербелмелі контурға кернеу көзін параллель қосу арқылы да жүзеге асыруға болады . Резонанстық жиілік бұл жағдайда формуласымен анықталады.         

 Резонанстық құбылысты күрделі кернеуден Мәжбүр құраушыларды бөліп алу үшін пайдаланылады. Айталық контурға түсірілген кернеу

болсын.         

 Контурды w₁, w₂ т.б. жиіліктердің біріне келтіріп (яғни оның сәйкес С және L параметрлерін таңдап ала отырып), конденсаторда берілген құраушының шамасына Q есе артық кернеуді алуға болады, бұл уақытта конденсаторда құраушылардан пайда болған кернеу әлсіз болады. Мұндай процесс, мәселен, радиоқабылдағышты керекті толқын ұзындығына келтірген кезде жүзеге асырылады.  

 

§13. Өшпейтін тербелістері алу.

         Өшпейтін электр тербелістің  қоздыру үшін лампылы генератор  деп аталатын электрондық лампалары  бар автотербелісті системалар  қолданылады. Осындай генератордың  қарапайм схемасы 20 – суретте  берілген. Тербеліс қозғалатын тербеліс контуры триодтың катоды мен торының арасына қосылған. Анодтық тізбекке контурдың L катушкасымен индуктивті байланысқан La катушка қосылған

Б_с батареясы лампаның жұмыстық нүктесін характеристиканың түзу сызықты учаскесінің ортасына орнату үшін қызмет атқарады 21 – сурет). Контурда тербеліс пайда болғанда тордағы U_c кернеуді U₀ кернеуіне тең Б_с батареясының кернеуі мен конденсатордағы U_c = q/C кернеуден тұрады:

                                        (13.1   

Осы кернеудің графигі  контурдағы q заряд пен ток күшінің i=q графигімен салыстырылып көрсетілген. Егер тербеліс аса үлкен болмаса, U_c кернеуі характеристиканың түзу сызықты учаскесінің шегінде қалады. Бұл жағдайда анодтық ток пен тордың U_c кернеуінің арасында мынадай тәуелділік орындалады:

i_a = i₀ +SU_c

 

 

 

 

Есептер шығару мысалдары.        

 1 – есеп. Тербелмелі контурдағы катушканың индуктивтілігі 250мГц болғанда, оның жиілігі 500Гц болу үшін, ондағы конденсатордың сыйымдылығы қандай болуы керек?

Берілгені: L = 250 мГн = 0,25Гн           

           u = 500Гц                        

 С - ?

Шешуі: Томсон формуласы бойынша Т = 2p  , осыдан ал  екенін білеміз, олай болса,

        

 2 – есеп. Тербелмелі контур индуктивтілігі 10^-6Гн катушкадан және пластинкасының ауданы 100см² конденсатордан тұрады. Осы тербелмелі контурдың периоды  болса, онда конденсатор пластиналарының ара қашықтығы қандай болады?

Берілгені: L = 10^-6Гн                

 S = 100см² = 10^-2м               

 e₀ = 8,85 × 10^-12 Ф/м              

 e = 1             

                               

d - ?

Шешуі: Ара қашықтықты Т = 2p  Томсон формуласы мен  жазық конденсатор формуласынан табамыз.

.        

 3 – есеп. Айнымалы токтың ЭҚК – і 120В, ал фазасы 30⁰. Керенудің ең үлкен мәнін (амплитудалық) және эффективтік мәнін табыңдар.

Берілгені:  U = 120В                  

 wt = 45⁰                

   U_max - ? U_эфф - ?

Шешуі: Біз U = U_max × sin wt екенін білеміз. Осыдан  Ал эффективтік  мәні         

 4 – есеп. Кернеуі 220В айнымалы ток көзіне сыйымдылығы 20мкФ конденсатор, индуктивтілігі 0,4Гн катушка және кедергісі 8Ом реостат тізбектей қосылған. Токтың жиілігін 50Гц деп алып, осы тізбектің толық кедергісін табыңдар және токтың эффективтік  мәнін табыңдар.

Берілгені:  U_эфф = 220B                  

 C = 20мкФ = 2× 10^-5Ф                 

 L = 0,4 Гн            

     R = 8Омх                

 n = 50Гц              

 w = 2pn = 2× 3,14×50=314                 

Z – ?  I_эфф– ?

Шешуі: Толық кедергі мынаған тең:

Ал токтың эффективтік  мәні мынаған тең:

.        

 5 – есеп. Трансформатор айнымалы токтың кернеуін 220В – тан 2000 В – қа дейін жоғарылатады. Екінші орамдағы ток 0,4А болса, бірінші орамдағы ток неге тең?  Трансформатордың  ПӘК – ін 94% деп алыңдар.

Берілгені:   U₁ = 220B                 

 U₂ = 2000B                 

 I₂ = 0,4A                 

 h=94% = 0,94                        

 I – ?

Шешуі: Орамдағы токты трансформатордың ПӘК – ін  формуласынан табамыз. Осыдан

.        

 6 – есеп. Электр стансасының қуаты 120кВт,  кернеуі 220В, өткізгіштің кедерргісі 0,05Ом, ал фазаға ығысуы 30⁰ болса, электр тогы стансадан тұтанушыға жеткенше қанша қуатын жоғалтады?

Берілгені:  P = 100кВт = 10⁵ Вт                   

 U = 220B                   

 R = 0,05 Ом                  

 j = 30⁰         

           Р₁ – ?

Шешуі: Жоғалтатын қуаты Р₁ = І² R формуласымен анықталады. Ал ток күшін P = IU cosj формуласынан табамыз. Демек, .  Сонда

 

 

Жаттығулар

1.1. u=2Гц жиілікті гармониялық тербеліс жасайтын материялдық нүкте t=0 уақыт сәтінде х₀ = 6см координатамен анықталатын, u₀ = 1см/с жылдамдықты жағдайдан өтеді. Тербеліс амплитудасын анықтаңыз [6,1см].