Гармониялық тербелістер мен олардың сипаттамалары

 Маятник қозғалысының теңдігі    немесе .

(3.1) және (1.1) мәндерден 

                                                (3.2)

Цикілді жиілікті және

                                                (3.3)

периодты   заңы бойынша гармониялық тербелісті серпімді маятниктің жасайтындығы шығады.

(3.3) формуласы Гук заңы орындалатын  шамадағы серпімді тербелістер  үшін әділ болып табылады.         

 Серіппелі маятниктің потенциялды  энергиясы (2.5) және (3.2) сай - ге тең.

2. Физикалық маятник – С денесі массасының ортасынан өтпейтін, қозғалмайтын көлденең өсі айналасында тербелісті ауырлық күші әсерінен жасайтын қатты дене (4 – сурет).         

 Егер маятник кейбір a бұрышының тепе теңдік жғдайынан ауытқитын болса, онда қатты дененің айнымалы қозғалысы динамикасының теңдігіне сай айнымалы күштің М күйін мына түрде жазуға болады:

                   (3.4)

мұндағы  нүктесі арқылы өтетін, өске салыстырмалы маятник  инерциясының күйі, l – маятник массасының ортасы мен көтерілу нүктесі аралығындағы қашықтық,  - оралушы күш (теріс белгісі  болып және барлық кезде қарама - қарсы). (3.4) теңдігін мына түрде жазуға болады:

   немесе 

                                            (3.5) 

Қабылдай отырып,  теңдігін (3.1) индетикалық түрде аламыз, мұндағы (1.1) шешімі беріледі:

                                         (3.6)

(3.6) мәннен кіші тербеліс  кезінде физикалық маятниктің w₀ (3.5) циклді жиілікті және

                               (3.7)

периодты гармониялық  тербеліс жасайды, мұндағы  физикалық  маятниктің келтірілген ұзындығы.         

 Келтірілген L ұзындығы қашықтығындағы көтерілу өсінен ОС түзу жалғаспасында жатқан О нүктесі физикалық маятниктің тербелу орталығы деп (201 – сурет) аталады. Штенер теориясын (16.1) қолдана отырып, , сондай – ақ 00¢ барлық кезде ОС үлкен. Көтерілу нүктесі О мен тербелу орталығы О¢ өзара алмасушылық қасиетке ие: егер бастапқы көтерілу өсінің 0 нүктесі тербелудің жаңа орталығы болып  табылып, физикалық маятниктің тербеліс периоды өзгермейді.

3. Математикалық маятник  – ауырлық күші әсерінен тербелетін т массалы материялдық нүктеден тұратын идеалданған жүйе. Математикалық маятниктің жақсы жуықтауы жұқа ұзын жіпке ілінген кішірек ауыр шар болып табылады.

Математикалық маятниктің инерциясының күйі:

                                               (3.8)

мұндағы l – маятниктің ұзындығы.         

 Математикалық маятникті  физикалық маятниктің жекелеген  жағдайы ретінде қарастыра отырып, оның бүкіл массасы бір нүктеде  – масса  орталығына шоғырланған деп ұйғарып, (3.8) мәнін (3.7) формуласына қоя отырып, математикалық маятниктің кіші тербеліс периоды үшін мәнді аламыз:

                                              (3.9)

(3.7) және (3.9) формулаларын  салыстыра отырып, егер физикалық  маятниктің келтірілген ұзындығы L математикалық маятник l ұзындығына тең болса, онда олардың тербеліс периодтарының бірдей болатындығын көреміз. Физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы сол физикалық маятник тербеліс периодымен тербеліс периоды сай келетін осындай математикалық маятник ұзынығы.  

 

§4. Тербеліс контурдағы еркін гармониялық  тербелістер.        

 Әртүрлі электрлік  құбылыстар ішінде электрлік  шамалар (зарядтар, токтар) периодты  түрде өзгерісіз жүретін сондай  – ақ, электрлік және магниттік  өрістердің өзара айналуы жүзеге  асатын электромагниттік толқындар  ерекше маңызға ие. Электромагниттік тербелістерді қоздыру мен демеу үшін L индуктивті, С конденсатор сыйымдылықты және R кедергілі резисторлы бір – біріне тібектей жалғанған катушкалардан құралған тербелістік контур қолданылады. Кедергісі салыстырмалы түрде өте аз , идеалды контурдағы тербелістік процестің сатыларын қарастырайық. Контурда тербеліс туындату үшін конденсаторды алдын – ала зарядтайды. Сонда бастапқы уақыт сәтіндегі t = 0 (5a - сурет) конденсатор қабықшалары арасында  энергиялы электрлік өріс туындайды. Егер индукивтік катушкасы конденсаторын бітер болсақ, ол зарядтала бастайды да, контурда уақытпен өсуші ток І жүреді. Нәтижесінде электрлік өріс энергиясы азая отырып, катушканың магниттік өрісінің энергиясы (ол ге тең) өсетін болады.         

   болғандықтан, энергия сақталу заңына сай толық энергия  болып, ол қыздыруда шығындалмайды. Сондықтан конденсатор толығымен зарядталып, электрлік өріс энергиясын нөлге айналған  сәтінде магниттік өріс энергиясы (кейін, ток) ең жоғары мәнге жетеді (5,б – сурет).         

 Осы сәттен бастап контурдағы тоқ азая бастайды; орташа катушканың магниттік өрісі әсерінен, онда тоқ индуцирленеді. Конденсатор қайта зарядтала бастайды да, соңында нолге айналатын токты әлсіретуге ұмтылған электр өрісі туындайды, ал конденсатор қабықшаларындағы заряд максимум мәнге жетеді (5,в – сурет). Ары қарай осы процесс кері бағытта жүре бастайды да (5,г – сурет), уақыт   сәтінде   жүйе бірінші бастапқы жағдайға келеді (5,а – сурет). Бұдан кейін конденсатор зарядталуы мен разрядталуының қарастырылған циклінің қайталану басталады. Егер де энергия  жоғалуы болмаса, онда контурда периодты өшпейтін тербелістер жүзеге асып, катушка индуктивтілігі арқылы жүретін ток күші І мен конденсатордағы  кернеулігі конденсатор қабықшасындағы заряд периодты түрде өзгерер еді (тербелер еді). Артынша, контурда электрлік тербелістер туындап, электрлік және магниттік өрістер энергияларының айналуымен тербеліс жүзеге асады.         

 Тербелістік контурдағы  электрлік тербелісті маятниктің  потенциялдық және механикалық  энергияларының өзара айналуларымен жүретін маятниктің механикалық тербелісімен салыстыруға болады. Бұл жағдайдағы конденсатордың электрлік өрісінің энергиясы  серпімді соқынның потенциялды энергиясын  катушканың магниттік өрісінің энергиясы  кинетикалық энергияға , контурдағы ток күші маятник қозғалысының жылдамдығына ұқсас аналогты. Индуктивтілік L массада m, ал контур кедергісі – маятникке әсер ететін үйкеліс күшінің рольін ойнайды.         

 Ом заңына сай, R кедергілі резистор мен С сыйымдылықты конденсаторлы, L индуктив катушкалы контур үшін:

мұндағы IR – резистордағы кернеу,  конденсаторындағы кернеу;  айнымалы токтың өтуі кезіндегі катушкада туындайтын өзіндік индукция кезінде катушкада туындайтын өзіндік индукция э.қ.к. (e - контурдағы жалғыз э.қ.к.).  Артынша

                                            (4.1)

(4.1) – ді L – ге бөле отырып, I = Q және  қойып контурдағы  тербелісі зарядының дифференциялды теңдеуін аламыз:

                                           (4.2)        

 Бұл тербелістік  контурдағы сыртқы э.қ.к. болмайды. Сондықтан қарастырылушы тербеліс еркін тербеліс (§1 қара) түрінде болады. Егер кедергі  болса, онда контурдағы еркін электромагниттік тербеліс гармониялы болады. Сонда (4.2) – ден контурдағы зарядтың еркін гармониялық  тербелісінің дифференциялды теңдеуін аламыз:

(3.1) мен (1.1) мәндерден   зарядының

                                        (4.3)

заңы бойынша гармониялық  тербеліс жасайтындығы шығады, мұндағы   - контурдың өзіндік жиілігі деп аталатын w₀ циклді жиілікті конденцатор зарядының тербеліс амплитудасы, сондай – ақ

                                           (4.4)

және периоды 

                                          (4.5)        

(4.5) формуласын алғаш  рет Х. Томсон алғандықтан,  ол Томсон формуласы деп аталады.          

 Тербелуші контурдағы  ток күші (1.4 қара)

                (4.6)

мұндағы  - ток күшінің аплитудасы.         

(3.3) және (4.6) мәндерден   - де  зарядының  тербеліс фазасы бойынша тоқ тербелісінің І басып озатындығы шығады.  

 

§5. Бірдей бағыттағы және бірдей жиілікті гармониялық тербелістердің қосылуы. Соғу.        

 Тербелуші дене  бірнеше тербелістік процестерге  қатысуы мүмкін, сонда нәтижелеуші  тербелісті табу керек, басқаша  айтсақ, тербелістерді қосу қажет.  Бірдей бағытты және бірдей жиілікті гармониялық тербелістерді қосайық:

ол үшін амплитуданың айнымалы векторының әдістерін қолданамыз (§1 қара). Осы тербелістердің векторлық  диаграммаларын тұрғызайық (6 – сурет). А₁ және А₂ векторлары бірдей бұрыштық жылдамдықпен w₀ айналады, ал олардың арасындағы фазалар айырмасы (j₂ - j₁) тұрақты болып қалады.         

 Нәтижелеуші тербеліс  теңдігі мынадай болады:

                                      (5.1)        

(5.1) мәндердегі А амплитудасы мен j бастапқы фазасы сәйкесінше мына қатынастармен беріледі:

                              (5.2)

Осылайша, бірдей бағытты  және бірдей жиілікті екі гармониялық  тербеліске қатысқан дене сондай бағытты және сондай жиілікті гармониялық тербеліс жасайды. Нәтжелеуші тербеліс амплитудасы тербеліске кіретін фазалар айырмасына (j₂ - j₁) тәуелді.         

 Фазалар айырмасына (j₂ - j₁) тәуелділіктегі (5.2) мәнін талдайық:

1)     j₂ - j₁ = ± 2mp (m = 0,1,2…..), сонда  А = А₁ + А₂, нәтижелеуші  тербеліс амплитудасы А тербеліске қосылатын амплитудалар жиынтығына тең:

2)     j₂ - j₁ = ± (2m+1)p    (m = 0,1,2 ......), сонда А = ½А₁ – А₂½,  нәтижелеуші тербеліс амплитудасы тербеліске қосылатын амплитудалар айырмасына тең.

Іс – тәжірибе үшін бірдей бағытты екі қосылма гармоникалық тербелістің жиіліктері бойынша  аз ерекшеленетін жағдайы ерекше қызығушылық тудырады. Осы тербелістерді қосу нәтижесінде амплитудалары периодты түрде өзгеретін тербелістер алынады. Жақын жиілікті екі гармониялық тербелістерді қосу кезінде туындайтын тербеліс амплитудаларының периодты өзгерісі соғу деп аталады.         

 Тербеліс жасаушы  амплитудалар А – ға ал жиіліктер w және w+Dw - ға тең болса,, онда Dw << w. Есептеу басында екі тербелістің бастапқы фазаларын нөлге тең деп аламыз:

Осы мәндерді жинақтай және есептей отырып, екінші көбейткіште Dw/2 << w мынаны табамыз:

                                      (5.3)

Алынған мән екі тербеліс туындысы болып табылады. Dw << w болса, онда жақшада тұрған көбейткіш мүлдем өзгермейді. Сондықтан нәтижелеуші тербелісті х А_б амплитудасы келесі периодты заңымен:

                                          (5.4)

өзгеретін w жиілікті гармониялық тербеліс деп қарастыруға болады.         

 Өзгеру жиілігі А_б косинустың өзгеру жиілігінен екі есе үлкен, соғу (соғыс) жиілігі тербеліске қосылатын жиілік айырмасына тең: w_б = Dw. Соғу (соғыс) периоды: Т_с = 2p/Dw.

Тәуелділік сипаты (5.3) 7 – суретте көрсетілген, мұндағы  тұтас (қалың) жуан сызықтар нәтижелеуші  тербеліс графигін (5.3), ал ирек сызықтар – амплитуданың (5.4) теңдігі бойынша  баяу өзгеретін графикті береді.         

 Соғу тоны жиілігін (белгілі бір биіктіктегі үн ) этолонды өлшенетін шамамен салыстырғанда іс – тәжірибеде кеңінен қолданылатын әдіс. Соғу әдісі музикалық аспаптарды, есту қабілетін реттеу үшін қолданылады.         

 Кез – келген  күрделі периодты тербеліс s = ¦ (t) бастапқы фазалы, сондай – ақ қысқа циклді жиіліктегі w₀:

       (5.5)

әртүрлі амплитудалы  әртүрлі гармониялық тербелістерді  бірмезгілде жасайтын суперпозиция түрінде болады.         

 Периодты функция  ұстанымы (5.5) түрінде күрделі периодтық тербелісті гармониялық талдау немесе Фурье ыдырауы түсінігімен байланысады. w₀, 2w₀, 3w₀, ....., жиілікті гармониялық тербелістерді анықтаушы Фурье қатарының мүшелері күрделі периодтық тербелістің бірінші (немесе негізгі), екінші, үшінші және т.б. гармоникалары деп аталады.

 

 

 

 

§6. Өзара перпендикуляр тербелістердің қосылуы. w екі бірдей жиілік

Гармоникалық тербелістердің қосылысуының нәтижелерін қарастырайық. Бұл қосылу х және у өстері бойындағы өзара перпендикуляр (көлденең) бағыттар бойынша жүреді. Есептеуді бастаудың қарапайымдығылығы үшін бірінші тербелістің алғашқы фазасы нөлге тең болатындай етіп таңдап аламыз:

                                      (6.1)

Екі тербеліс фазаларының  айырмасы тербеліске қосылатын амплитудалар А және В, j  тең.         

 Нәтижелеуші  тербеліс траекториясының теңдігі t параматрінің (6.1) мәнінен шектемесінде орналасады. Қосылушы тербелістерді мына түрде жазамыз:           x/A=coswt; y/B=cos(wt+j)=coswtcosj - sin wt sin j

және екінші теңдіктегі coswt – ны х/А – ға ал, sin wt – ны  алмастыра отырып, өрістері координата өстеріне салыстырмалы бағытталған эллипс  теңдігін аламыз:                               (6.2)        

 Нәтижелеуші тербеліс  траекториясы эллипс формасына  ие болады, ал мұндай тербеліс  эллипсті поляризацияланған деп аталады. Эллипс өсінің бағытталуы мен оның өлшеуі қосылушы тербеліс амплитудасы мен фазалар айырмасына j тәуелді. Физикалық қызығушылыққа ие кейбір жекелеген жағдайларды қарастырайық:

1) j = mp (m = 0, ± 1, ± 2, ….). Бұл жағдайда эллипс қосу белгісі нөл мен жұп мәнге т сай келеді (8,а – сурет) ал теріс таңба тақ мәнге т сай келеді (8,б – сурет). Нәтижелуші тербеліс – х өсімен  бұрышын құраушы, түзу бойымен (6.3) жүзеге асатын, w жиілікті және  амплитуданы гармониялы тербеліс болып табылады. Бұл жағдайда сызықты поляризацияланған тербеліспен жұмыс жасаймыз.