Гармониялық тербелістер мен олардың сипаттамалары

2)   Бұл жағдайда теңдеу мына түрде болады:

                                                 (6.4)

Бұл эллипс теңдігінің өсі  координата өсімен сай келеді, ал оның жартылай өсі  сәйкес амплитудаға тең (9 – сурет). Бұдан басқа, егер А = В болса, онда эллипс (6.4) шеңберде туындайды. Мұндай тербелістер циркуляциялы поляризацияланған тербелістер немесе шеңбер бойынша поляризацияланған тербелістер деп аталады.         

 Егер қосылмалы  өзара перпендикуляр тербелістер жиілігі әртүрлі болса, онда нәтижелеуші тербелістің оқшау траекториясы жеткілікті дәрежеде күрделі болып табылады. Бірдей екі өзара перпендикулярлы тербелістер жасайтын, нүктемен белгіленген бітеу траекториялар Лиссаж фигуралы деп аталады. Бұл қисықтар формасын қосылушы тербеліс амплитудасы, жиілігі қатынасы мен фазалар айырмасына тәуелді. 10 – суретте жиіліктердің әртүрлі қатынасы (оң жақта көрсетілген) үшін Лиссаж фигурасы көрсетілген.         

 Қосылушы тербелістер  жиіліктерінің қатынасы координата өсіне параллелді түзулі Лиссаж фигурасының қиылысу санының қатынасынатең. Фитгуралар түрі бойынша белгіліге қарап белгісізді немесе қосылушы тербеліс жиіліктерінің қатынасын анықтауға болады.         

 Сондықтан Лиссаж  фигураларын талдау – қосылушы тербеліс фазаларының айырмасы мен жиіліктері қатынастарын, сондай – ақ тербеліс формаларын зерттеуде кеңінен қолданылатын әдіс.  

 

§7. Еркін өшуші тербелістердің (механикалық және электромагниттік) дифференциялды теңдігі мен оның шешімі. Автотербелістер.        

 Амплитудасы уақыт  өтуімен шынайы тербелістік жүйеде  энергия шығындалу есебінен азаятын  тербелістерді еркін өшуші тербелістерді  қарастырайық. Тербеліс энергияларының  азаюының қарапайым механизмі  механикалық тербелісті жүйедегі  үйкеліс әсерінен оның жылуға айналуы, сондай – ақ электромагниттік тербелістік жүйедегі электромагниттік энергия  сәулеленуі болып табылады.         

 Өлшеуші тербелістер  заңы тербелістік жүйелер қасиетімен  анықталады. Негізінен жүйенің физиклық  қасиеттерін анықтаушы, процесс кезінде өзгермейтін параметрлі идеалданған шынайы жүйелер – сызықты жүйелерді қарастырады. Сызықты жүйелер, мысалы, серіппесі аз тартылған күрделі серіппелі маятник (Гук заңы әділ болғанда), контурдағы ток пен ондағы кернеуге индуктивтілік, сыйымдылық және кедергісі тәуелді емес тербелістік контур болып табылады. Өздерінің әртүрлі табиғаты бойынша сызықты жүйелер бірдей көзқарасты әртүрлі физикалық тербелістерді зерттеуге мүмкіндік беретін, сондай – ақ ЭЕМ (ЭВМ) – сында оларды моделдеуді жүргізуге болатын идентикалық сызықты дифференциялды теңдеумен жазылады.         

 Сызықты жүйенің  еркін өшуші тербелістерінің  дифференциялды теңдігі мына  түрде жазылады:

                                     (7.1)

мұндағы s – сол немесе басқа физикалық процесті (жазатын) 

суреттейтін тербелістік  шама, d = const - өшу коэффициенті, w₀ – d = 0 кезіндегі (энергия жоғалуы болмаған кезде) сол тербелістік жүйенің еркін өшпейтін тербелісінің циклдік жиілігі деп аталады. (7.1) теңдігінің шешімін мына түрде қарастырамыз:

S = e^{-d t} u                                                (7.2)

мұндағы u = u (t) (7.2) туынды бірінші және екінші мәндермен олардың (7.1) қойылуын тапқаннан кейін мынаны аламыз.

                                       (7.3)

(7.3) теңдігінің шешімі  ізденуші коэффициент алдындағы  коэффициент белгісіне тәуелді.  Осы коэффициент оң болған  кездегі  жағдайды қарастырайық:

w² = w₀² - d²                                        (7.4)

(егер (w₀² - d²)> 0 болса, онда мұндай мәнді біз жасай аламыз). Сонда (3.1) типті теңдікті аламыз: , оның шешімі мына функция болып табылады:

u = A₀ cos (wt + j)     (1.1 қара).         

 Осылайша, кіші өшу  жағдайы (d² << w₀²) (7.1) теңдеу шешімі:

S = A₀ e^-dt cos (wt+j)                                   (7.5)

мұндағы

A = A₀ e^{-d t}                                            (7.6)

өшуші тербеліс амплитудасы, ал А₀ – бастапқы амплитуда. (7.5) тәуелдігі 11 – суретте тұтас сызықпен, ал (7.6) тәуелділігі – шрихты сызықпен көрсетілген. Өлшеуші тербеліс амплитудасы t = 1/d уақыт аралығында е рет азайып, релаксация уақыты деп аталады.         

 Өшу  тербеліс периодын бұзады, сондықтан өшуші тербелістер периодты болып табылмайды, турасын айтсақ,  период немесе жиілік түсінігін қолдана алмаймыз. Дегенмен, егер өшу аз болса, тербелуші физикалық шамалардың (11 – сурет) екі жалғаспалы максимумдер (немесе минимумдер) арасындағы уақыт аралығы ретінде (секілді) период түсінігі шартты түрде қолданылады. Сонда (7.4) формуласы есебімен өшуші тербеліс периоды мынаған тең:

Егер периодпен ерекшеленетін, уақыт сәтіне сай келетін екі  жалғаспалы тербеліс амплитудалары  – А(t) және А (t+T)  болса, онда  қатынасы өшу декременті деп аталып, оның логарфмі

                              (7.7)

өшудің логарифмдік  декремент деп аталады: Ne – азаю уақытындағы амплитуданың е рет азаюының тербеліс саны. Өшудің логарифмдік декременті – сол тербелістік жүйе үшін тұрақты шама.         

 Тербеліс жүйесін  сипаттау үшін аз логарифмдік декремент кезінде

                              (7.8)

тең  добратность Q түсінігі қолданылады өшу (d² << w₀²) үлкен емес, ал Т мәні Т₀ – ге тең деп қабылдаған.         

(7.8) формуладан релаксация  уақытында жүйеде жасалатын тербеліс  санына  добратность тең екендігі шығады.         

 Сызықты жүйенің  еркін өшуші тербелістері үшін, әртүрлі физикалық табиғатты  тербелістер үшін (механикалық және  электромагниттік) қорытындылар (нәтижелер)  қолданылады (мысалы механикалық  ретінде серіппелі маятникті, ал электромагниттік мысал ретінде электрлік тербелісті контурды аламыз).

1.Серіппелі маятниктің  еркін өшетін тербелістері. F = - kx серпімді күш әсерінен кіші тербеліс жасаушы, т массалы серіппелі маятник үшін (§3 қара) үйкеліс күші жылдамдыққа тең:

F_үйк = - ru = - rx

мұндағы r – кедергі коэффициенті; теріс белгісі үйкеліс күші мен  жылдамдықтың  қарама – қарсы бағыттарын көрсетеді.         

 Бұл жағдайда маятник  қозғалысының заңы мына түрде  болады:

                                            (7.9)

 формуласын қолдана (3.2 қара) және өшу  коэффициентін d = r/(2m). (7.10) деп қабылдай отырып, өшуші тербеліс маятнигінің дифференциялды теңдігінің идентикалық теңдеуін (7.1) аламыз:

(7.1) және (7.5) мәндерден  маятниктің    (7.4 қара) жиілікті х = А₀е^-dt cos (wt+j) заңымен тербелетіндігі шығады.         

(7.8) және (7.10) сай серіппелі  маятник  добратность

2. Электрлік тербелісті  контурдағы еркін өшуші тербелістер.  Контурдағы еркін өшуші тербеліс  зарядының дифференциялды теңдігі  (R ¹0 кезінде) мына түрге ие болады (4.2 қара)

(3.2) мәнін есепке ала, 

d = R/(2L)                                                 (7.11)

өшу коэффициентін қабылдай отырып, (4.2) дифференциялды теңдеуді идентикалы (7.1) теңдеуді  түрде жазуға болады. (7.1) және (7.5) мәндерден заряд тербелісінің 

                                       (7.12)

заңы бойынша жүретіндігі  шығады, ол (7.4) сай 

                                           (7.13)

жиілікті болып келеді. R = 0 кезінде (7.13) формуласы (4.4) өтеді. Өшудің логарифмдік декременті (7.7) формуласымен ал тербелістік контур добратность (7.8 қара)

                                                        (7.14)

анықталады.         

 Қорытындыда айтып  өтеріміз, өшу d коэффициентінің жоғарылауы кезінде өшу тербелісінің пероды өседі, ал d = w₀  кезінде шексіздікке айналып, қозғалыс периодты болудан қалады. Бұл жағдайда тербелу шамасы атомды түрде t ®¥ кезінде нөлге жақындайды. Процесс тербелісті бола алмайды. Ол апериодты деп аталады. Техника үшін өшетін тербелісті қолдану мүмкіндігі үлкен қызығушылыққа ие. Бұл үшін шынайы тербелістік жүйе энергиясының шығынын толықтыру керек. Ерекше маңызды әрі кеңінен қолданылатыны тұрақты сызықты энергия көзі есебінен диссипативті жүйедей болатын, автотербелістер деп аталатын өшпейтін тербелістер.         

 Автотербелістер күш  әрекетінсіз жүретін еркін өшпейтін  тербелістер мен периодты күш  әсерінен жүретін амалсыз тербелістерден  принципиалды түрде ерекшеленеді. Автотербелістік жүйе керекті  уақыт сәтіндегі энергияның белгілі  бір порциямен түсуін жабдықтайтын сызықты әсерлерді басқарады.         

 Автотербелістік жүйе  мысалы ретінде сағаттарды алуға  болады. Храпты механизм маятникті  оның тербелістік тактикасымен  шайқайды. Бұл кездегі маятникке  берілетін энергия шиыршықталған  шиыршық есебінен, немесе жіберілетін салмақ есебінен алынады. Сазды аспаптағы және органдық трубадағы ауа тербелісі автотербелістер әсерінен туындайды. Автотербелістік жүйелер болып іштен жану двигательдері, бу трубиналары, шамды генераторлар және т.б. табылады.

 

 

 

 

§8. Мәжбүрлік тербелістердің дифференциялды теңдеуі (механикалық және электромагнитті) және олардың шешімі.         

 Шынайы тербелістік  жүйеде өшпейтін тербелістер  алу үшін энергия шығынын компенсациялау  қажет. Мұндай компенсация громатикалық  заң: x(t)=x₀ cos wt бойынша өзгеретін қандайда бір периодты әсер етуші фактор x(t) көмегімен жүзеге асуы мүмкін.         

 Егер механикалық тербелісті  қарастырар болсақ, онда x(t) ролі сыртқы Мәжбүр күштің

F = F₀ cos wt                                           (8.1)

рөлін атқарады.

(8.1) күш есебімен серіппелі маятник  (7.9) үшін қозғалыс заңын мына  түрде   жазуға болады.

(3.2) мен (7.10) пайдалана отырып,

                                 (8.2)

теңдігіне тоқталамыз. Егер электрлік тербелістік контурды қарастырар болсақ, онда x(t) рөлі э.қ.к. гармониялық заңы немесе айнымалы кернеу

U = Um coswt                                             (8.3)

Бойынша сыртқы периодты өзгеретін контурға өтуді ойнайды.         

 Сонда (4.2) теңдігін (8.3) есебімен  мына түрде жазуға болады:

(4.4) пен (7.11) пайдалана  отырып,

                               (8.4)

теңдігіне ораламыз. Сырттан  периодты өзгеретін күш немесе сырттан  периодты өзгеретін э.қ.к. әсерінен туындайтын тербеліс сәйкесінше Мәжбүр механикалық және Мәжбүр электромагниттік тербеліс деп аталады.

(8.2) және (8.3) теңдеулерін  сызықты әртекті дифференциялды  теңдеуге                             (8.5)

кіргізуге болады.         

(8.5) теңдеудің шешімі  біртекті теңдеудің (7.1) жалпы  шешімі мен әрекеті теңдеудің  жекелеген шешімдерінің жиынтығына тең (7.5). Жекелеген шешімді кешенді формада (§1 қара) табамыз. (8.5) теңдеуінің оң бөлігін  кешенді шамасына аламастырамыз:

                               (8.6)

Бұл теңдеудің жекелей  шешімін мына түрде іздейміз:

S = S₀ e^int

(8.6) теңдігіндегі S пен оның туындылары  үшін мәндерді қоя отырып, мынаны аламыз:

                             (8.7)

Бұл теңдік барлық уақыт  сәттері үшін әділ болуы тиіс. Бұдан  шығатыны, h = w. Бұны есептей отырып, (8.7) теңдігінен S₀ шамасын тауып, оны сандық пен  көбейтміз:

.        

 Бұл кешенді санды  экспоненциялды (пішінде) формада S₀ = Ae^-ij ұсыну ыңғайлы, мұндағы

                                     (8.8)

және 

                                           (8.9)

Кешкнді формада (8.6) теңдеуінің шешімі мына түрге ие: S = Ae^{i (wt-§j)}.         

(8.5) теңдеуінің шешімі болып  табылатын оның заттық бөлігі 

S = A cos (wt-j)                                        (8.10)

Тең, мұндағы А мен j сәйкесінше (8.8) және (8.9) формулаларымен беріледі.

Осылайша, әртекті теңдеудің (8.5) жекелей шешімі мына түрде болады:

                                      (8.11)

(8.5) теңдігінің шешімі  біртекті теңдеу 

S₁= A₀e^-dt cos(w₁t+j₁)                                    (8.12)

мен жекелей шешімінің  жалпы шешімі қосындысына тең. (8.12) қосылмасы керекті тербеліс амплитудасы (8.8) теңдігімн анықталған және жеткенінше, тең  (бастапқы) процестің бастапқы сатысында маңызды роль атқарады. Мәжбүр тербеліс графикалық түрде 12 – суретте кескінделген. Орнатылған режимдегі Мәжбүр тербеліс w жиілігімен жүзеге асып, w тәуелді, (8.8) мәндермен анықталатын тербеліс амплитудасы мен фазасы гармониялық болып  табылады.