Окремі методи дослідження фінансово-економічної інформації

4) незалежні змінні моделі  створюють лінійно-незалежну систему  векторів, тобто

Оператор оцінювання параметрів моделі на основі 1МНК:

Неважко довести, що оцінки , які можна отримати на основі оператора оцінювання 1МНК, мінімізують суму квадратів залишків u. При цьому значення вектора є розв’язком нормальної системи рівнянь:

.

Якщо незалежні змінні в матриці X узяті як відхилення кожного значення від своєї середньої, то матрицю називають матрицею моментів. Числа, що стоять на її головній діагоналі, характеризують величину дисперсій незалежних змінних, інші елементи відповідають взаємним коваріаціям.

Оцінки параметрів загальної економетричної моделі повинні мати такі властивості:

1) незміщеності;

2) обґрунтованості;

3) ефективності;

4) інваріантності.

Оцінка параметра моделі буде незміщеною, коли дотримується рівність: . Якщо ця рівність не дотримується, то різниця називається зміщенням оцінки. Оцінка параметра моделі буде обґрунтованою, якщо за заданої малої величині справджується відношення:

.

Оцінки параметрів A називаються ефективними, коли вони мають найменшу дисперсію.

Якщо функція відповідає функції , то оцінки параметрів A є інваріантними.

Приклад 2. Загальна економетрична модель: побудова й аналіз.

Побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами на харчування, загальними витратами та складом сім’ї на основі даних, наведених у табл. 1.2. Проаналізувати зв’язок, визначений на основі побудованої моделі.

Розв’язання:

1. Ідентифікуємо змінні  моделі:

Y – витрати на харчування (залежна змінна);

X1 – загальні витрати (незалежна змінна);

X2 – розмір сім’ї (незалежна змінна);

u – залишки (стохастична складова).

Загальний вигляд моделі: .

Таблиця 1.2.

Вихідні дані для побудови загальної економетричної моделі

№ п / п	Витрати на харчування, (гр.од.)	Загальні витрати, (гр.од.)	Склад сім’ї, (середнє значення
1	20	45	1,5
2	32	75	1,6
3	48	125	1,9
4	65	223	1,8
5	45	92	3,4
6	64	146	3,6
7	79	227	3,5
8	104	358	5,5
9	68	135	5,4
10	93	218	5,4
11	117	331	5,3
12	145	490	8,5
13	91	175	8,3
14	131	205	8,1
15	167	468	7,3
16	195	749	8,4

 

2. Специфікуємо модель, тобто  в даному випадку визначимо  її аналітичну форму:

3. Оцінимо параметри моделі  на основі методу 1МНК, попередньо  висунувши гіпотезу, що всі чотири  передумови для його застосування  дотримані.

Таким чином, Звідси, економетрична модель має вигляд:

4. Визначимо розрахункові значення залежної змінної на основі моделі, підставивши в неї значення незалежних змінних та . Потім віднімемо розрахункові значення від фактичних , в результаті отримаємо залишки: (табл. 1.3).

Таблиця 1.3

Розрахунки для загальної економетричної моделі

№ п / п
1	28,1424	–8,1424	66,2979	–71,5000		5112,2500
2	34,3382	–2,3382	5,4673	–59,5000		3540,2500
3	45,5785	2,4215	5,8637	–43,5000		1892,2500
4	63,9961	1,0039	1,0077	–26,5000		702,2500
5	49,7976	–4,7976	23,0169	–46,5000		2162,2500
6	61,0872	2,9128	8,4843	–27,5000		756,2500
7	75,2802	3,7198	13,8372	–12,5000		156,2500
8	113,0501	–9,0501	81,9051	12,5000		156,2500
9	71,4035	–3,4035	11,5837	–23,5000		552,2500
10	86,6492	6,3508	40,3332	1,5000		2,2500
11	106,7200	10,2800	105,6793	23,5000		650,2500
12	157,8576	–12,8576	165,3171	53,5000		2862,2500
13	98,6267	–7,6267	58,1665	–0,5000		0,2500
14	121,1347	9,8653	97,3237	39,5000		1560,2500
15	145,5920	21,4080	458,3011	75,5000		5700,2500
16	204,7461	–9,7461	94,9859	103,5000		10712,2500
Усього		0,0000	1237,5704			36518,0000

 

5. Розрахуємо дисперсії  залишків та залежної змінної  :

6. Визначимо матрицю коваріацій  оцінок параметрів моделі:

.

Діагональні елементи цієї матриці характеризують дисперсії оцінок параметрів моделі:

Інші елементи даної матриці визначають рівень коваріації між оцінками параметрів моделі.

7. Знайдемо стандартні  помилки оцінок параметрів:

Порівняємо стандартні помилки оцінок параметрів моделі з величиною оцінки. Так, співвідношення стандартної помилки й абсолютного значення параметра становить 56% , параметра – 10,6%, параметра – 20,4%. Перше й третє співвідношення свідчать про те, що оцінки параметрів моделі і можуть мати зміщення, а друге співвідношення підтверджує незміщеність оцінки параметра .

8. Дамо змістовне тлумачення  параметрів моделі. Оцінка параметра  характеризує граничну зміну величини витрат на харчування залежно від зміни загальних витрат на одиницю. Тобто, якщо загальні витрати сім’ї зростуть на одиницю, то витрати на харчування в них збільшаться на 0,18 одиниці за незмінного складу сім’ї.

Оцінка параметра характеризує граничне зростання витрат на харчування за збільшенням сім’ї на одного члена. Так, якщо склад сім’ї збагатиться ще одним членом, то витрати на харчування зростуть на 6,854 одиниці за незмінної величини доходу.

Дисперсійний аналіз економетричної моделі

Між оцінками параметрів економетричної моделі та коефіцієнтом кореляції існує зв’язок. Для простої економетричної моделі його можна записати так:

,

де – коефіцієнт парної кореляції; , – середньоквадратичне відхилення залежної та незалежної змінної відповідно.

Це співвідношення було покладене в основу алгоритму визначення альтернативної оцінки параметрів моделі за методом 1МНК. Алгоритм має назву покрокової регресії.

Крок 1. Стандартизація (нормалізація) всіх змінних моделі:

Крок 2. Визначення кореляційної матриці , елементи якої розраховуються таким чином:

Крок 3. Із усіх елементів матриці вибирається той, якому відповідає . Це означає, що незалежна змінна найтісніше пов’язана із залежною змінною . Будується економетрична модель:

Крок 4. Серед інших елементів матриці знову вибирається . Якщо даному коефіцієнту кореляції відповідає , то ця змінна вводиться в побудовану раніше економетричну модель, у результаті отримаємо:

і т.д.

Процес продовжується доти, доки всі незалежні змінні поступово будуть включені в модель. Якщо є обмеження, яке вказує на недоцільність розширення економетричної моделі за рахунок змінних, що залишилися, то процес розрахунку закінчується раніше. Таким обмеженням може бути співвідношення між коефіцієнтом кореляції чи детермінації, виправленими й невиправленими на число степенів вільності.

Оскільки оцінки параметрів моделі належать до стандартизованих змінних, то щоб перейти до оцінок параметрів моделі, у якій змінні мають свій початковий вимір, необхідно здійснити такі розрахунки:

Множинний коефіцієнт детермінації, який визначає рівень варіації залежної змінної за рахунок незалежних, розраховується таким чином:

.

Множинний коефіцієнт кореляції характеризує тісноту зв’язку між залежною і незалежними змінними. Множинний коефіцієнт детермінації і кореляції знаходяться на множині

,

Гіпотеза про наявність чи відсутність зв’язку між залежною і незалежною змінними може бути перевірена на основі -критерію:

Фактичне значення - критерію порівнюється з табличним за степенів вільності і і вибраному рівні довіри. Якщо факт > табл , то гіпотеза про суттєвість зв’язку між залежною і незалежними змінними економетричної моделі підтверджується, в протилежному випадку – відкидається.

Альтернативна формула розрахунку –критерію через коефіцієнт детермінації:

.

Значущість оцінок параметрів моделі можна визначити на основі - критерію:

.

Значення критерію порівнюється з табличним за вибраного рівня значимості та степенів вільності. Якщо факт > табл , то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним.

На основі - критерію і стандартної помилки будуються довірчі інтервали для параметрів :

.

Прогноз залежної змінної на основі економетричної моделі за заданих залежних змінних можна виконати на основі такого співвідношення:

.

У цьому співвідношенні є стандартною помилкою прогнозу:

,

де – прогнозні значення незалежних змінних.

Дисперсійний аналіз економетричної моделі та прогноз.

Визначити коефіцієнти детермінації та кореляції для економетичної моделі, яка побудована у попередньому прикладі 2. Перевірити гіпотезу про суттєвість зв’язку на основі F- і t- критеріїв. Виконати прогноз витрат на харчування, якщо загальні витрати становитимуть 900 гр. од., а середній склад сім’ї – 8,5 одиниць.

Розв’язання. Економетрична модель має вигляд:

.

1. Визначимо коефіцієнт детеpмінації на основі співвідношення:

,

де , –залишкова й загальна дисперсії відповідно.

.

Це значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що варіація витрат на харчування на 96,09% визначається варіацією загальних витрат і складу сім’ї.

2. Коефіцієнт кореляції  . Оскільки коефіцієнт кореляції наближається до одиниці, то це свідчить, що зв’язок між витратами на харчування, загальними витратами і складом сім’ї є дуже тісним.

3. Визначимо F- критерій (критерій Фішера):

.

Порівняємо розраховане значення критерію Фішера з табличним. За степенів вільності ; і рівні довіри , Fтабл =19,36.

Оскільки Fфакт > Fтабл, то гіпотеза про значущість зв’язку, який описується економетричною моделлю, підтверджується.

4. Розрахуємо t- критерії:

 

 

 

Табличне значення t- критерію за степеня вільності і рівня довіри дорівнює 2,16. Враховуючи, що

оцінки параметрів моделі і є достовірними. Оскільки , то знизимо рівень довіри: . У цьому випадку tтабл = 1,77. А це означає, що 10-процентний рівень довіри підтверджує значущість вільного члена моделі.

5. Побудуємо довірчі інтервали для оцінок параметрів моделі:

6. Розрахуємо прогнозне значення витрат на харчування на основі економетричної моделі.

6.1. Визначимо точковий  прогноз витрат на харчування  на основі моделі:

6.2. Знайдемо дисперсію  прогнозу:

.

6.3. Визначимо довірчі  інтервали прогнозного рівня  витрат на харчування за  :

Таким чином, точковий прогноз витрат на харчування дорівнює 233,1678 одиниць, а інтервальний буде знаходитись у межах від 211,8896 до 254,4455 одиниць.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 2

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

 

Задача 2.1

 

АКБ «Порто» прийняв іногородній вексель на аваль номінальною вартістю 3000 грн. під 8 % річних. Процент за авальованйй кредит — 15 % річних, процент комісії — 2 %, дамно — 1 %, порто — 5 грн. Знайти суму винагороди банку за надання авального кредиту, якщо вексель 90-денний, а кредит наданий на 60 днів.