Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Данные утверждения верны как для портфеля, состоящего из двух активов, так и из нескольких.

Риск портфеля, состоящего из двух активов, рассчитывается по формуле:

 

  (5)

 

 

Тогда риск (дискперсия) портфеля, состоящего из нескольких активов, запишется как:

 

  (6)

 

Это следует из того, что если вы вложили x денежных единиц в ценную бумагу (акцию), имеющую среднюю годовую доходность , тогда доход составит , а так же из формулы (5).

4.2 Обоснование и описание ограничений на множество допустимых значений оптимизируемых переменных

4.2.1 Определение доходности актива

Суммарная доходность обыкновенных акций зависит от изменения курса и выплаты дивидендов. Однако главным компонентом доходности является рыночная оценка нераспределенной прибыли. Для коротких периодов главным фактором является изменение цен на акции. В нашей задаче мы опустим все прочие компоненты суммарной доходности акций, кроме той, что зависит от выплаты дивидендов и изменения курса акций.

Пусть - дивиденд, выплаченный на акцию i в состоянии s (в конце периода), и пусть - цена акции (в начале периода). Тогда:

 

 (7)

 

является доходностью акции i в состоянии s.

Доходность бессрочной привилегированной акции, равно как и обыкновенной акции с неизменным дивидендом, находится по формуле:

, (8)

 

где - текущая рыночная цена акции.

4.2.2 Определение ожидаемой доходности портфеля

На начальном этапе решения задачи необходимо оценить ожидаемую доходность портфеля в конце периода инвестирования, а так же оценить стоимость портфеля в начале инвестиционного процесса. В [5, 178] предлагается методика оценки ожидаемой доходности портфеля.

Портфель, формируемый инвестором, состоит из нескольких активов, каждый из которых обладает своей ожидаемой доходностью.

Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него активов:

 

 (9)

 

где - ожидаемая доходность портфеля;

- ожидаемая доходность активов, входящих в состав портфеля;

- удельный вес каждого актива в портфеле.

Или иначе:

 

 (10)

 

Удельный вес актива в портфеле рассчитывается как отношение его стоимости к стоимости всего портфеля:

 

, (11)

 

где - удельный вес i-ого актива;

- стоимость i-ого актива;

- стоимость портфеля.

Сумма всех удельных весов, входящих в портфель активов, всегда равна единице.

Т.к. ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенные ожидаемые доходности ценных бумаг, то вклад каждой ценной бумаги в ожидаемую доходность портфеля зависит от ее ожидаемой доходности, а так же от доли начальной рыночной стоимости портфеля, вложенной в данную ценную бумагу [5, 178 - 179].

Данное утверждение будет полезно при составлении математической модели задачи.

4.3 Обоснование и описание взаимосвязи между переменными

 

Для каждого допустимого портфеля мы можем отметить на графике ожидаемую доходность и стандартное квадратическое отклонение. Это приведет к следующей диаграмме (см. рис. 1).

 

 

Рис. 1 Кривая безразличия

 

Данный рисунок показывает возможные соотношения между риском и доходностью на данном рынке. Каждая точка на диаграмме соответствует портфелю бумаг, которые инвестор считает равноценными.

Далее, перейдем от системы координат к системе координат , где . Тогда в наших осях парабола, характеризующая кривую безразличия инвестора, будет выглядеть прямой. Уравнение для семейства прямых безразличия запишется в виде:

 

 

Если инвестор заинтересован в максимизации ожидаемой доходности, и минимизации стандартного отклонения, то можно заметить, что некоторые из портфелей доминируют остальные. Так, при фиксированной доходности (отклонении) доминируемые портфели имеют большее отклонение (меньшую доходность). Можно полагать, что рациональные инвесторы будут делать свой выбор среди недоминируемых портфелей, которые занимают верхний левый угол на рисунке.

 

5. Построение и описание экономико-математической модели задачи формирования оптимального портфеля инвестиций в ценные бумаги

 

При определении оптимального в смысле минимизации риска портфеля, инвестор (банк) исходит из следующих допущений:

1. Состав портфеля ценных бумаг в течение периода владения неизменен при изменении структуры портфеля.
2. Средства инвестируются в один вид ценных бумаг - в акции.
3. Доходность портфеля не может быть больше доходности самой доходной ценной бумаги (акции), входящей в портфель.
4. Всегда приходится выбирать между увеличением доходности и уменьшением риска.

Как было отмечено выше, инвестор не склонен вкладывать свои средства в один какой-либо наиболее доходный финансовый инструмент, но предпочитает диверсифицировать структуру своего портфеля вложений, теряя, однако, при этом в доходности.

Для того, чтобы сохранить структуру портфеля относительно стабильной, необходимо минимизировать дисперсию при ограничениях наложенных на величину инвестиций и ставки доходности.

Необходимо рассчитать дисперсию (см. Приложение II, Табл. 2.1) а так же ковариацию доходностей по ценным бумагам (см. Приложение II, Табл. 2.2).

Итак, запишем математическую модель задачи нахождения структуры оптимальных вложений в акции на основе модели Марковица.

Множество недоминируемых портфелей, называемое эффективной границей, может быть построено решением общей задачи минимизаци риска, впервые рассмотренной Марковицем:

 

 

 (12)

 

при двух ограничениях. Первое ограничение фиксирует желаемый уровень доходности, а второе ограничение нормирует весовые коэффициенты портфеля (без ограничений на короткую позицию):

 

 (13)

 (14)

 

На практике обычно на величины накладывают ограничения. Самое распространенное из них . Т.е. предполагается, что инвестор не собирается делать эмиссию или брать в долг. Кроме того, могут возникать ограничения типа: доля любой ценной бумаги в портфеле не должна превышать определенной величины.

Однако вместо весовых коэффициентов могут быть и конкретные суммы вложений в ценные бумаги.

С учетом (6) целевая функция запишется:

 

, (15)

 

при ограничениях:

 

,

 

т.к. мы предполагаем, что прогнозная доходность портфеля составит величину ;

 

,

 

т.к. доходность портфеля не может превышать доходность самой доходной ценной бумаги, включенной в портфель;

 

,

 

т.к. максимальный размер инвестиций не может превысить инвестируемых средств;

 

  ,

 

т.к. инвестиции должны быть положительными.

 

6. Выбор и обоснование методов решений предполагаемой модели

6.1 Задача нелинейного программирования

 

В общем виде задача нелинейного программирования состоит в определении максимального (минимального) значения функции:

 

  (1)

 

при условии, что все ее переменные удовлетворяют соотношениям:

 

  (2)

 

где f и g - некоторые неизвестные функции n переменных, а - заданные числа.

Здесь имеется в виду что в результате решения задачи будет определена точка , координаты которой удовлетворяют соотношениям (2) [8, 251].

6.2 Задача выпуклого программирования. Метод множителей Лагранжа

 

Рассмотрим задачу нелинейного программирования:

 

  (3)

 

 

Для решения сформулированной задачи в такой общей постановке не существует универсальных методов. Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функций и , разработаны эффективные методы их решения. В частности, ряд таких методов имеется для решения задач нелинейного программирования, при условии, что - выпуклая (вогнутая) функция и область допустимых решений - выпуклая.

Опираясь на некоторые выводы теории нелинейного программирования, можно дать математические условия оптимальности для модели (3). С задачей нелинейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая имеет вид:

 

 

где - множители Лагранжа.

Необходимые условия экстремума запишутся:

 

 

Задача, состоящая в определении максимального (минимального) значения функции

 

 

 (4)

 

при ограничениях

 

  (5)

 

где - отрицательно (положительно)-полуопределенная квадратичная форма, называется задачей квадратического программирования.

Функция Лагранжа является оптимальной оценкой дохода [12].

Целевая функция Лагранжа для задачи минимизации риска при фиксированном уровне доходности записывается следующим образом:

 

.

 

Портфель, минимизирующий риск, находится, если положить

 

 

для всех акций i. Эти условия первого порядка определяют систему уравнений, линейную по весовым коэффициентам портфеля (или по конкретным суммам вложений) и множителям Лагранжа и поэтому решаемую с помощью матричных методов (с возможностью использования стандартных пакетов). Например, целевая функция для задачи с тремя типами акций записывается так:

 

 

 

Используя градиентные методы, можно найти решение любой задачи нелинейного программирования. Однако в общем случае применение этих методов позволяет найти точку локального экстремума. Поэтому более целесообразно использовать градиентные методы для нахождения решения задач выпуклого программирования, в которых всякий локальный экстремум является одновременно и глобальным.

Функция двух переменных представляет собой поверхность, где точка максимума соответствует пику, а точка минимума - впадине. Переменные соответствуют начальным условиям (точке, в которой находим оптимальное значение целевой функции).

 

6.3 Геометрическая интерпретация решения задачи квадратического программирования

 

Геометрическая интерпретация состоит в постепенном перемещении целевой функции в пределах ограничений.

 

 

7. Анализ полученных выходных данных

 

Исходя из заданных ограничений на уровень доходности (предположим, что банк-инвестор планирует получить не менее 0,08 рублей на каждый вложенный рубль инвестиций), а так же при условии, что банк инвестирует сумму 2.581.241,9 руб. с целью увеличения собственного капитала, минимизируем дисперсию дохода.

Результаты решения задачи в поиске решения представлены в Приложении II, Табл. 2.4. Найдена оптимальная структура портфеля ценных бумаг при заданных начальных условиях.

Если мы сравним структуру оптимального и начального портфеля (см Приложение I, Табл. 1.2), то можно сделать некоторые выводы.

 

Рис. 3 Начальная структура портфеля

 

Как было сказано ранее, приходится выбирать между доходностью и риском. Можно заметить (см. рис. 4), что в оптимальный портфель входят в основном активы с низким уровнем доходности. Однако и риск такого портфеля минимален.

Множители Лагранжа в Отчете по устойчивости для нелинейных задач выполняют функцию двойственной оценки и показывают, на сколько изменится целевая функция (риск) при изменении доходности портфеля или величины инвестиций на 1 ед.

Так, в данном случае при увеличении доходности портфеля на 1% риск (дисперсия дохода) возрастет на 38,46 % ( ).

При увеличении объема инвестиций на 1 руб., риск соответственно снизится 0,1 ед.

При проведении параметрического анализа рассматривались структуры нескольких оптимальных портфелей при различных уровнях ожидаемых доходностей. В частности, нами были рассмотрены структуры оптимальных портфелей при ожидаемой доходности 0,5%; 1%; 1,5%; 2%; 2,5% (см. Приложение II, Табл. 2.8).

 

Рис. 4 Оптимальная структура портфеля при уровне доходности 0,8%

 

 

Очевидно, что при росте совокупной доходности портфеля возрастает и риск, т.е. дисперсия дохода. Анализ так же показывает, что чем выше ожидаемая доходность портфеля, тем менее он диверсифицирован. Оптимальный с точки зрения диверсификации и риска портфель имеет доходность в диапазоне 0,8 - 0,9%.

 

Таблица 1.1 Прогнозная доходность по акциям компаний

 

Расчет ожидаемой доходности портфеля

 

Таблица 1.2 Расчет начальной стоимости ценных бумаг и портфеля

 

 

Таблица 1.3 Вычисление ожидаемой стоимости портфеля