Влияние философии на математику

Согласно Канту, понятие  геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как  думали пифагорейцы, и не извлечены  посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого  или априорного созерцания, присущего  человеку наряду с созерцанием эмпирическим. Геометрия по Канту не что иное, как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится  в таком же отношении к чистому  представлению времени. Математика, таким образом, может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуры априорных  форм чувствительности. Как система  выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясна: по Канту, все математические доказательства "постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза".

Исходя из современных  представлений, не составляет особого  труда указать на несостоятельность  кантовских взглядов на математику, но не следует забывать, что современная позиция есть результат длительного исторического развития как философской, так и конкретно научной мысли. Это развитие привело к критической переработке кантовского учения о математике, причем критика не сводилась к отбрасыванию его утверждений. Качественно новые воззрения возникли путем удержания всего того ценного, что сумел открыть этот выдающийся мыслитель.

Философское наследие Фихте  не содержит столь же богатого материала  для изучения проблемы взаимосвязи  философии и математики, как это  имеет место в сочинениях Канта, но, тем не менее, ряд рассуждений  затрагивает некоторые её интересные аспекты.

Целью Фихте было укрепить основания философского знания, упрочить тот фундамент, на котором строил философию Кант. На усовершенствованном  основании, по его мнению, философия должна строиться с математической достоверностью. Кроме рассуждений о процессе взаимосвязи философии и математики в работах Фихте имеются и некоторые более конкретные замечания по отдельным философским проблемам математики, в частности, несколько видоизмененные изложения кантовской концепции пространства. Фихте, считает, что "протяжённость в пространстве есть не что иное, как самосозерцание свой способности быть бесконечным в созерцающим". Можно отметить некоторые отдельные идеи Фихте, воспринятые в последующем развитии научного познания (идею цикличности при обоснованном построении научной системы, положение об относительной самостоятельности обоснования математики по отношению к философии и в то же время утверждение о необходимости философского анализа исходных принципов математики), но в целом этот мыслитель не внёс каких-то существенных изменений в кантовскую философию математики, которую он взял за основу своих изысканий, его деятельность не повлияла ощутимым образом на процесс взаимодействия философии и математики.

Примерно тот же вывод  можно сделать относительно Шеллинга. В сочинениях этого мыслителя  встречаются отдельные натурфилософские размышления о природе математики и её основных объектов: о пространстве и времени, соотношении бесконечного и конечного и т.д. Единство и  различие философии и математических наук он связывает с различным  пониманием соотношения конечного  и бесконечного.

Обращение к анализу математического  познания у Гегеля, судя по его первому  крупному произведению - "Феноменология  духа", обусловлена мотивами, подобными  тем, которыми руководствовался Кант. У обоих мыслителей интерес к  математике направлялся стремлением  к достижению единой цели: Кант пытался  построить метафизику как систему  достоверного знания, Гегель заявил, что  его намереньем "было - способствовать приближению философии к форме  науки - к той цели, достигнув, которой  она могла бы отказаться от своего имени "любви к знанию" и быть "действительным знанием"". Если Кант считал, что философское и математическое знания по достоверности в идеале могут быть однородными, то Гегель убежден, что природа математических истин "отличается от природы философских истин". Математика, как пишет Гегель, считается наукой, прежде всего потому, что она доказательна. Только доказанное положение считается правомерным элементом системы, в математике "полное выведение результатов есть ход и средства познавания". Является ли такой путь познания идеальным? Нет, отвечает Гегель.

Союз между философией и математикой может быть действительным, если он основан на взаимном интересе. Гегель в принципе считал необходимым  обращение математиков к философии. Что касается обращения философов  к математике, то по этому вопросу  он занял иную позицию, не способствовавшую укреплению союза данных наук. "Поскольку  очевидность в математике "покоится лишь на бедности ее цели и несовершенстве ее материала", то она неприемлема  в философии". Сам Гегель, если учесть, что он не был специалистом математики, для своего времени был  очень хорошо знаком, как с историей математики, так и с ее новыми достижениями на уровне распространенных учебных пособий высшей школы.

Гегель знал математику на столько, что никто из его учеников не был в состоянии издать оставшиеся от него многочисленные математические рукописи.

Но мнение Гегеля по вопросу  о необходимости философам обращаться к математике было противоположно тому, что он сам делал. С его точки  зрения математика не может "что-то определить для метода и содержания философской науки".

Большинство исследователей акцентируют внимание на негативизм Гегеля к математике и недостаточно уделяют внимание тем интересным, оригинальным идеям, которые требуют осмысления и дальнейшего развития. Кроме того, при оценке гегелевской позиции, она не рассматривается в соотношении с реальным процессом развития математических знаний того времени. Чтобы устранить последний недостаток дадим краткую характеристику наиболее выдающихся достижений математической мысли конца XVIII - первых десятилетий XIX столетия и проследим, какое влияние на её развитие оказали взгляды Гегеля и других представителей немецкой классической философии.

В рассматриваемый период протекала деятельность таких выдающихся математиков, как Г. Монж (1746-1818), К.Ф. Гаусс (1777-1855), О.Л. Коши (1789-1857), Н.И. Лобачевский (1792-1856), Э. Галуа (1811-1832). Ими были получены многие первостепенные результаты, среди которых, прежде всего, следует упомянуть преобразование, совершённые в фундаменте трёх главных дисциплин: математического анализа (Коши), геометрии (Лобачевский, Гаусс, Больаи), алгебры (Галуа, Абель). Учёные, совершившие их, принадлежат к разным математическим школам. Так, Коши представляет математику Франции, Лобачевский - русскую математическую школу, Гаусс - математику Германии. Анализ мировоззрения данных учёных с целью выяснить влияние на ни них немецкой классической философии даст представление не только о силе такого влияния, но и о "географии" его распространения.

Французские математики в  рассматриваемый период преимущественно  группировались вокруг знаменитой Политехнической  школы. Последняя была открыта 1794 году и очень скоро достигла исключительных успехов. Фактически почти все, что  был сделано во Франции в первые десятилетия XIX века в области математики, физики и химии, идет из Политехнической школы, пишет Ф. Клейн. Преподавателями или воспитанниками школы были такие выдающиеся исследователи, как Монж, Пуассон, Фурье, Коши, Понселе, Кориолис и другие.

Детище революции - Политехническая  школа - как бы стремилась распространить пламя революции на область технического и научного творчества.

Одним из фундаментов и  фактически руководителем Политехнической  школы до последних дней школы  был Гаспар Монж. Творчество этого математика сможет служить яркой иллюстрацией того влияния, которое общественные идеалы прогрессивных французских мыслителей XVIII века оказывали на развитие математических знаний. Важную роль ученый отводил созданному им новому разделу геометрической науки - начертательной геометрии. Как преподаватель военной школы в Мезьере, а затем в Политехнической школе Монж методически проработал и передал многочисленной аудитории курс начертательной геометрии, стимулируя дальнейшее развитие математических знаний, непосредственно связанных с конкретными практическими задачами. Многие его ученики восприняли у Монжа не только математические знания, но и мировоззренческие установки учителя.

Одним из учеников Монжа  был Л.Н. Карно, которого часто называют "генералом революции" и "генералом  математики". Эти почетные титулы он получил заслуженно. В области  математической деятельности он известен как автор работ по прикладной механике. Общие мировоззренческие  и методологические установки Карно  в целом находятся в русле  основных идей материалистической философии  французского просвещения. Оба соображения лежавшие в основе Концепции Карно (неопределенность дифференциалов и компенсация погрешностей) не имеют убедительного обоснования. Внутренняя его позиция двойственно противоречива. Но при этих недостатках работа Карно "Размышление о метафизике исчисления бесконечно малых", была важным, интересным исследованием. Она отличается от предшествующих сочинений на данную тему четности поставленной проблемы ясность ее определения, здесь предпринимаются попытки строго дедуктивного, систематического изложения основных понятий и принципов анализа. Карно как бы подводит итог исследования по обоснованию анализа и отчасти подготавливает почву для той реформы анализа, которую в XIX веке осуществил Коши.

Строгое обоснование дифференциального  и интегрального исчисления Коши развивает в лекциях и сочинениях в 20-е годы XIX века. Осуществляя построение анализа на базе теории пределов, Коши не только стремится завоевать признание  бесконечно малых и оправдать  их применение. Он дает научное истолкование алгоритму их использования. В мировоззрении  этого выдающегося математика не религиозные выравнивания составляли основу научного творчества. Такой  основой были стихийно-материалистические принципы, закрепленные под влиянием Монжа. Однако они сочетались с религиозной  убежденностью, выработанной под воздействием той среды, в которой воспитывался и жил Коши.

В конечном итоге под давлением  объективных потребностей математического  познания идея актуальной бесконечности  со временем, завоевала признание. Она  получила четкую формулировку в работах  современника Коши - талантливого чешского ученого Больцано. Он был знаком с гегелевской трактовкой и выступил с ее критикой "Я не допускаю только того, что бы философу был известен какой-либо предмет, которому он был бы в праве приписать свою бесконечность, как качество, не обнаружив раньше в этом предмете в каком-либо отношении бесконечной величины или бесконечного количества", - писал Больцано.

На примере критических  замечаний Больцано видно, что у математиков вызывали отрицательное отношение резкие гегелевские суждения об их науки, они выступили с осуждением обособления математически выразимого количества от качества, которое действительно имеет место у Гегеля. Вместе с тем у Больцано имеет место и определенное недопонимание истинного смысла гегелевской трактовки понятия бесконечного, поскольку призыв великого философа не ограничивался выявленным количественным аспектом бесконечного, был актуальным, важным для развития математики.

Известно, что неевклидова  геометрия была почти одновременно открыта несколькими учеными. Это  были Н.И. Лобачевский, К.Ф. Гаусс и Иоанн Больаи. Однако Н.И. Лобачевский по праву заслужил славу творца неевклидовой геометрии.

Создание новой геометрии  относится к числу тех открытий, значение которых выходит за пределы  математики. В сложном процессе формирования этого научного результата, необходимо отметить только один аспект: ту мировоззренческую  основу, исходя из которой такие  математики, как Гаусс и Лобачевский  пришли к его открытию.

Творчество Гаусса знаменует  переход к новому этапу развития математических знаний. Мировоззрение  этого математика противоречиво. Оно  включает такие принципы как убежденность в объективном существовании  действительности, признание практической ценности науки. Вместе с тем в  понимании некоторых вопросов математического  познания, Гаусс находился под  влиянием кантовских воззрений. Гаусс в принципе мог опубликовать ряд основоположений новой геометрии раньше Н.И. Лобачевского, но он этого не сделал. Открытие неевклидовой геометрии явно противоречило официально принятым и все более широко распространявшимся в то время в ученом мире Германии мировоззренческим и методологическим установкам Канта. Кроме того, данное противоречие имело место и в пределах мировоззрения самого ученого. Для него разработка неевклидовой геометрии - это разрыв с усвоенными ранее фундаментальными представлениями о природе математике. Не удивительно, что она сопровождалась сомнениями, неуверенностью, а подчас и нежеланием выступить с пропагандой новых идей.

Н.И. Лобачевский подошел  к открытию неевклидовой геометрии  существенно иных философских позиций  по сравнению с Гауссом. Ряд исследований специально посвященных изучению мировоззрения  Лобачевского, показывают, что этот великий математик был ярким  представителем материализма в науке. Важно подчеркнуть, что его материалистическое мировоззрение не является каким-то эпизодическим явлением, а продолжением и развитием материалистических традиций в русской математике, естественным следствием той идейной борьбы, которую  русские математики проводили против различных форм идеализма, в частности  кантианства.

Если у Гаусса мировоззренческие  и методологические установки были тормозом на пути развертывания исследований по неевклидовой геометрии, то мировоззрение  и методология Н.И. Лобачевского открывали для них широкий  простор. Можно сделать вывод, что  философской основой деятельности математиков был материализм. Именно на этой основе были получены наиболее выдающиеся открытия. Конечно, степень  развития и осознанности материалистических принципов существенно видоизменялись. Признание объективного существования  в действительности, первичность  материального бытия по отношению  к сознанию сочетаются с религиозностью, с определенными уступками идеализма. Особенно в среде немецких математиков  все более широкое признание  получает кантианство, что нашло  отчетливое выражение в деятельности Гаусса. Таким образом, если в развитии математики в первые десятилетия  ХIХ века и прослеживается влияние немецкой философии, то оно исходило не от Гегеля, а именно от Канта.