Системы эконометрических уравнений

Чтобы получить единственно возможное решение необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой их взаимосвязи с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другими путями: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т. е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково и пр.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

·  идентифицируемые;

·  неидентифицируемые;

·  сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов нахождения параметров.

Чтобы определить тип структурной модели необходимо каждое ее уравнение проверить на идентифицируемость.

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель кроме идентифицируемых содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

3.1. Необходимое достаточное условие идентифицируемости модели.

Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Введем следующие обозначения:

М – число предопределенных переменных в модели;

m- число предопределенных переменных в данном уравнении;

- число эндогенных переменных  в модели;

- число эндогенных переменных  в данном уравнении;

Обозначим число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через  ,  .

Тогда условие идентифицируемости каждого уравнения модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

	уравнение идентифицируемо
	уравнение неидентифицируемо
	уравнение сверхидентифицируемо

 

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но не достаточное условие идентификации.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны  . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию структурных уравнений системы тождества участвуют..

Пример .

Изучается модель (одна из версий модели Кейнса):

(3.1)

где   – потребление в период  ;   – ВВП в период  ;  - ВВП в период ( );   – валовые инвестиции в период  ;   – государственные расходы в период  .

Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение –тождество ВВП. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные   и две предопределенные переменные (одна экзогенная переменная –   и одна лаговая переменная – ).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

N	Уравнение			счетное правило
1		2	1		идентифицируемо
2		2	2		сверхидентифицируемо
3		тождество, не подлежит проверке

 

Например, первое уравнение содержит две эндогенные переменные   и   и одну предопределенную переменную  .

Таким образом,  ; D=2-1=1. Условие условие   выполняется, т. е. уравнение идентифицируемо. Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

I уравнение	-1	b11	b12	0	0
II уравнение	0	b21	0	-1	0
Тождество	1	0	0	1	1

 

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид: . Ее определитель не равен нулю, поэтому ранг матрицы равен 2, т. е равняется числу эндогенных переменных без одного. Достаточное условие идентификации выполняется.

Второе уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:  . Ранг данной матрицы равен 2, так как существут определитель второго порядка не равный нулю: . Следовательно, достаточное условие идентификации для данного уравнения также выполняется Но в соответствии с необходимым условием считаем это уравнение сверхидентифицируемым.

Таким образом, эта система уравнений является сверхидентифицируемой.

3.2. Методы оценки параметров структурной формы модели.

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

1)  косвенный метод наименьших квадратов;

2)  двухшаговый метод наименьших квадратов;

3)  трехшаговый метод наименьших квадратов;

4)  метод максимального правдоподобия с полной информацией;

5)  метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Рассмотрим сущность некоторых из этих методов.

 

3.3.Косвенный метод  наименьших квадратов(КМНК).

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов:

1.  Для структурной модели строится приведенная форма модели.

2.  Для каждого уравнения приведенной формы традиционным МНК оцениваются приведенные коэффициенты  .

3.  На основе коэффициентов приведенной формы находятся путем алгебраических преобразований параметры структурной модели.

3.4Двухшаговый  метод наименьших квадратов(ДМНК).

  Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод (ДМНК).

Основная идея ДМНК состоит в следующем:

·  на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения расчетные значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части этого уравнения;

·  подставляя найденные расчетные значения эндогенных переменных вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.

Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК:

·  на первом шаге при определении параметров приведенной формы модели и нахождении на их основе оценок расчетных значений эндогенных переменных  ;   ;

·  на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению, когда вместо фактических значений эндогенных переменных рассматриваются их расчетные значения, найденные на предыдущем шаге.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

·  все уравнения системы сверхидентифицируемы;

·  система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним можно найти на основе косвенного МНК. Двухшаговый метод, примененный к точно идентифицированным уравнениям дает такой же результат, что и косвенный МНК.

3.5.Практика применения  систем одновременных уравнений  в макроэкономическом анализе.

Продолжим рассмотрение примера 15.

Система является сверхидентифицируемой: первое уравнение идентифицируемо, а второе уравнение сверхидентифицируемо. Поэтому для определения коэффициентов первого уравнения можно применить косвенный МНК, а для второго уравнении двухшаговый МНК.

Построим приведенную форму модели:

(3.2)

Исходные данные задачи (в млрд. руб.)

годы						Предсказанное
1999	4823.23	2281.18	670.44	674	2629.62	4182,05
2000	7305.65	3009.42	1165.23	1014.2	4823.23	6731,57
2001	8943.58	3972.81	1504.71	1193.5	7305.65	9496,45
2002	10830.54	5001.77	1762.41	1947.3	8943.58	11692,48
2003	13243.24	6147.26	2186.37	2345.6	10830.54	13947,4
2004	17048.12	7670.68	2865.01	2659.4	13243.24	16716,24
2005	21625.37	9613.84	3611.11	3472.1	17048.12	21268,68
2006	26903.49	11927.59	4730.02	4284.8	21625.37	26648,73
2007	33258.14	14831.38	6716.22	5983	26903.49	33297,77

 

Найдем параметры модели (7.9), применяя МНК к каждому уравнению,