Схематическое моделирование при обучении младших школьников решению задач на сложение и вычитание

1) Нахождение первого  слагаемого по известным сумме  и второму слагаемому. Девочка  вымыла несколько глубоких тарелок  и 2 мелкие, а всего она вымыла 5 тарелок. Сколько глубоких тарелок  вымыла девочка? 

2) Нахождение второго  слагаемого по известным сумме  и первому слагаемому. Девочка  вымыла 3 глубокие тарелки и несколько  мелких. Всего она вымыла 5 тарелок.  Сколько мелких тарелок вымыла  девочка?

3) Нахождение уменьшаемого  по известным вычитаемому и  разности. Дети сделали несколько  скворечников. Когда 2 скворечника  они повесили на дерево, то  у них осталось еще 4 скворечника.

4) Нахождение вычитаемого  по известным уменьшаемому и  разности.

Дети сделали 6 скворечников. Когда несколько скворечников они  повесили на дерево, у них еще  осталось 4 скворечника. Сколько скворечников дети повесили на дерево?

5) Нахождение первого  множителя по известным произведению  и второму множителю.

Неизвестное число умножили на 8 и получили 32. Найти неизвестное  число.

6) Нахождение второго  множителя по известным произведению  и первому множителю.

9 умножили на неизвестное  число и получили 27. Найти неизвестное  число.

7) Нахождение делимого  по известным делителю и частному.

Неизвестное число разделили  на 9 и получили 4. Найти неизвестное  число.

8) Нахождение делителя  по известным делимому и частному.

24 разделили на неизвестное  число и получили 6. Найти неизвестное  число.

К третьей группе относятся  задачи, при решении которых раскрываются понятия разности и кратного отношения. К ним относятся простые задачи, связанные с понятием разности (6 видов), и простые задачи, связанные  с понятием кратного отношения (6 видов).

1) Разностное сравнение  чисел или нахождение разности  двух чисел (I вид).

Один дом построили  за 10 недель, а другой за 8 недель. На сколько недель больше затратили  на строительство первого дома?

2) Разностное сравнение  чисел или нахождение разности  двух чисел (II вид).

Один дом построили  за 10 недель, а другой за 8. На сколько  недель меньше затратили на строительство  второго дома?

3) Увеличение числа на  несколько единиц (прямая форма). Один дом построили за 8 недель, а на строительство второго  дома затратили на 2 недели больше. Сколько недель затратили на  строительство второго дома?

4) Увеличение числа на  несколько единиц (косвенная форма).

На строительство одного дома затратили 8 недель, это на 2 недели меньше, чем затрачено на строительство  второго дома. Сколько недель затратили  на строительство второго дома?

5) Уменьшение числа на  несколько единиц (прямая форма).

На строительство одного дома затратили 10 недель, а другой построили  на 2 недели быстрее. Сколько недель строили второй дом?

6) Уменьшение числа на  несколько единиц (косвенная форма).

На строительство одного дома затратили 10 недель, это на 2 недели больше, чем затрачено на строительство  второго дома. Сколько недель строили  второй дом?

Задачи, связанные с понятием кратного отношения.(не приводя примеры)

1) Кратное сравнение чисел  или нахождение кратного отношения  двух чисел (I вид). (Во сколько раз больше?)

2) Кратное сравнение чисел  или нахождение кратного от-ношения  двух чисел (II вид). (Во сколько раз меньше?)

3) Увеличение числа в  несколько раз (прямая форма).

4) Увеличение числа в  несколько раз (косвенная форма).

5) Уменьшение числа в  несколько раз (прямая форма).

6) Уменьшение числа в  несколько раз (косвенная форма). [3]

Здесь названы только основные виды простых задач. Однако они не исчерпывают всего многообразия задач.

Порядок введения простых  задач подчиняется содержанию программного материала. В 1 классе изучаются действия сложения и вычитания и в связи с этим рассматриваются простые задачи на сложение и вычитание.

1.1.3  Процесс решения задачи

Под процессом решения  задачи понимается процесс, начинающийся с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, то, очевидно, что этот процесс состоит  не только из изложения уже найденного решения, а из ряда этапов, одним  из которых и является изложение  решения. [11]

Традиционно сложилось так, что к решению текстовых задач  младшие школьники приступают довольно рано. Правда, сначала это простые  задачи, для решения которых надо выполнить одно арифметическое действие (сложение или вычитание). Но уже  на этом этапе учащихся знакомят со структурой задачи (условие, вопрос), с  такими понятиями, как известное, неизвестное, данные искомые, с краткой записью  задачи и с оформлением ее решения  и ответа.

Очевидно, что большинство  первоклассников не только не способны на данном этапе проанализировать текст  задачи, установить взаимосвязь между  условием и вопросом, выделить известные  и неизвестные величины и выбрать  арифметическое действие для решения  задачи, но не могут даже прочитать  задачу. [18]

Одной из важнейших проблем  обучения математике является формирование у учащихся умения решать текстовые  задачи.

Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого  слова – это, значит, раскрыть связи  между данными, указанными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих  положений математики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя  эти общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения. [3]

Термин «решение задачи»  широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные  между собой, но все же не одинаковые понятия:

1. решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи;
2. решением задачи называют процесс нахождения этого результата, то есть всю деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения;
3. решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи. [3]

Решение задач – это  работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться  какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы  научиться решать задачи, надо разобраться  в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных  частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Основная особенность  текстовых задач состоит в  том, что в них не указывается  прямо, какое именно действие (или  действия) должно быть выполнено для  получения ответа на требование задачи.

Итак, различают общий  и частный подходы к решению  задач. Названия не случайны. Частный  подход связан с решением задач частных  видов. Общий подход основан на том, что есть общее при решении  любых задач – этапы решения, которые вычленил Д.Пойа. Количество этапов и их содержание примерно одинаково  у разных авторов, что говорит  об объективном характере существования  соответствующих этапов в деятельности решающего.

Итак, весь процесс решения  задачи можно разделить на восемь этапов [16]:

I-й этап - анализ задачи;

2-й этап - схематическая  запись задачи;

З-й этап - поиск способа  решения задачи;

4-й этап - осуществление  решения задачи;

5-й этап - проверка решения  задачи;

6-й этап - исследование  задачи;

7-й этап - формулирование  ответа задачи;

8-й этап - анализ решения  задачи.

Из указанных восьми этапов пять являются обязательными, и они  имеются (в том или ином виде) в  процессе решения любой задачи. Это этапы анализа задачи, поиска способа ее решения, осуществления решения, проверки решения и формулирования ответа. Остальные три этапа (схематическая запись задачи, исследование задачи и заключительный анализ решения) являются необязательными и в процессе решения многих задач отсутствуют. [17]

Важнейшим этапом решения  задачи является первый этап – восприятие задачи (анализ текста). Цель этапа –  понять задачу, т.е. выделить все множества  и отношения, величины и зависимости  между ними, числовые данные, лексическое  значение слов.

Результатом выполнения этого  этапа является понимание задачи, так как с точки зрения психологии восприятие текста – это его понимание. Не поймешь задачу – не решишь ее. Для того чтобы добиться понимания задачи, полезно воспользоваться разными приемами, которые накопились в современной методике.

Приемы выполнения анализа  задачи:

• драматизация, обыгрывание задачи;
• разбиение текста задачи на смысловые части;
• постановка специальных вопросов;
• переформулировка текста;
• перефразирование задачи (заменить термин содержанием; заменить описание термином, словом; заменить слово синонимом; убрать несущественные слова; конкретизировать, добавив не меняющие смысл подробности);
• построение модели (схема, рисунок, таблица, чертеж, предметная модель, выражение);
• определение вида задачи и выполнение соответствующей схемы – краткой записи.

Второй этап – поиск  плана решения. Долгие годы методисты  именно этот этап называли основным, но до него надо еще дойти, добраться. Цель этапа – соотнести вопрос с  условием.

Данный этап требует рассуждений, но если их осуществлять устно, как  часто бывает, то многие дети, особенно «визуалы», не освоят умения искать план решения задачи. Нужны приемы графической  фиксации подобных рассуждений. Такие  приемы, как граф-схема и таблица  рассуждений, существуют в российской методике более 100 лет.

Приемы выполнения этапа:

• рассуждения (от условия к вопросу; от вопроса к условию; по модели; по словесному заданию отношений);
• составление уравнения;
• частный подход решения задач, название вида, типа задачи.

Третий этап решения задачи – выполнение плана – наиболее существенный этап, особенно при арифметическом решении задачи. Цель этапа –  выполнить операции в соответствующей  математической области (арифметика, алгебра, геометрия, логика и др.) устно или  письменно.

Приемы выполнения этапа:

• арифметические действия, оформленные выражением, по действиям (без пояснения, с пояснением, с вопросами);
• измерение, счет на модели;
• решение уравнений;
• логические операции;

Анализ школьной практики свидетельствует, что на уроках математики при решении текстовых задач  преимущественное внимание уделяется  второму и особенно третьему этапам. Первый этап считается пройденным, если ученики смогли сказать, что  в задаче дано, и что нужно найти. [18]

Четвертый этап – проверка выполненного решения. Цель этапа –  убедиться в истинности выбранного плана и выполненных действий, после чего сформулировать ответ  задачи.

Это самый нелегальный  этап. Большинство учителей убеждено в том, что если дети во время решения  задачи проверяли себя (по действиям  с пояснением или с вопросами), то в другой проверке они не нуждаются.

Приемы выполнения этапа:

До решения:

• прикидка ответа или установление границ с точки зрения здравого смысла, без математики.
• Во время решения:
• по смыслу полученных выражений;
• осмысление хода решения по вопросам
• После решения задачи:
• решение другим способом;
• решение другим методом;
• подстановка результата в условие;
• сравнение с образцом;
• составление и решение обратной задачи.

Все четыре этапа решения  задачи одинаково важны. Только выполнение всех этапов позволяет считать решение  завершенным полностью.