Сетевое планирование в условиях неопределенности. Анализ и оптимизация сетевого графика

рис. 1.

 

При невыполнении указанных требований бессмысленно приступать к вычислениям характеристик  событий, работ и критического пути.[7. С.291]

 

1.3. Анализ сетевого графика

 

После нахождения критического пути и резервов времени  работ и оценки вероятности выполнения проекта в заданный срок должен быть проведён всесторонний анализ сетевого графика и приняты меры по его оптимизации. Этот весьма важный этап в разработке сетевых графиков раскрывает основную идею СПУ. Он заключается в приведении сетевого графика в соответствие с заданными сроками и возможностями организации, разрабатывающей проект.

Оптимизация сетевого графика в зависимости  от полноты решаемых задач может  быть условно разделена на частную  и комплексную. Видами частной оптимизации сетевого графика являются: минимизация времени выполнения комплекса работ при заданной его стоимости; минимизация стоимости комплекса работ при заданном времени выполнения проекта. Комплексная оптимизация представляет собой нахождение оптимального соотношения величин стоимости и сроков выполнения проекта в зависимости от конкретных целей, ставящихся при его реализации.

Анализ  сетевого графика начинается с анализа  топологии сети, включающего контроль построения сетевого графика, установление целесообразности выбора работ, степени их расчленения.

Затем проводятся классификация и группировка  работ по величинам резервов. Следует  отметить, что величина полного резерва  времени далеко не всегда может достаточно точно характеризовать, насколько  напряжённым является выполнение той  или иной работы некритического пути. Всё зависит от того, на какую  последовательность работ распространяется вычисленный резерв, какова продолжительность  этой последовательности.

Обратим внимание на то, что больший полный резерв одной работы (по сравнению  с другой) не обязательно свидетельствует  о меньшей степени напряжённости её выполнения. Это объясняется разным удельным весом полных резервов работ в продолжительности отрезков максимальных путей, не совпадающих с критическим путём.

 

1.4. Оптимизация сетевого графика

 

В практике стратегического планирования в  зависимости от конкретных условий предприятий или фирм оптимизация сетевых графиков подразделяется на частную и комплексную. Основными видами частной оптимизации являются два известных экономических подхода:

1) минимизация времени выполнения комплекса планируемых

работ при  заданной стоимости проекта;

2) минимизация  стоимости всего комплекса работ  при заданном времени выполнения проекта.

Комплексная оптимизация сетевых моделей  состоит в нахождении наилучших  соотношений показателей затрат экономических ресурсов и сроков выполнения планируемых работ применительно к определенным производственным условиям и ограничениям. В рыночных отношениях в качестве критерия оптимальности сетевых систем планирования могут быть выбраны такие важные экономические показатели, как максимальная прибыль (доход) от производства товаров и услуг, минимальный расход ресурсов на реализацию планов, максимальная производительность труда исполнителей, минимальные затраты рабочего времени на достижение конечной цели и т.д.[7. С.317]

Наиболее  полно правила планирования рабочего времени сформулированы немецким специалистом в области менеджмента Л. Зайвертом. Приведём только некоторые из них:

1. Планировать  только 60% рабочего дня, оставляя 20% на решение непредвиденных проблем и 20% на творческую деятельность, в том числе на повышение квалификации.

2. Тщательно  документировать и контролировать  расход времени, чтобы иметь о нём чёткое представление и правильно распределять его.

3. Классифицировать  все задачи в предстоящем периоде  на долгосрочные, среднесрочные и краткосрочные, устанавливать приоритеты действий по их решению.

4. Стремиться  сразу же восполнять потери  времени и не откладывать на  будущее, когда резервов уже  не останется.

5. Задавать  точные временные нормы и предусматривать  на ту или иную работу ровно  столько времени, сколько она  действительно требует.

6. Постоянно  пересматривать и корректировать  планы с точки зрения полной  реализации задач.

 

1.5. Числовые характеристики сетевого графика

 

Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и потому в практической работе вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки — минимальная и максимальная.

Минимальная (оптимистическая) оценка характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) — при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается, как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение toж оценивается по формуле (при бета-распределении плотности вероятности):

 

Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии:

 

На основе этих оценок можно рассчитать все  характеристики СМ, однако они будут иметь иную природу, будут выступать как средние характеристики. При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом — лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.

Кроме обычных  характеристик СМ, при вероятностном  задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:

1) определить  вероятность того, что продолжительность  критического пути tкр не превысит заданного директивного уровня Т;

2) определить  максимальный срок выполнения  всего комплекса работ Т при  заданном уровне вероятности  р.

Первая  задача решается на основе интеграла  вероятностей Лапласа Ф(z) использованием формулы:

 

где нормированное  отклонение случайной величины:

 

— среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути.

При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0,8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность  выполнения всего комплекса работ.

Для решения  второй задачи используется формула:

 

Кроме описанного способа расчета сетей с детерминированной  структурой и вероятностными оценками продолжительности выполнения работ, используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В соответствии с ним на вычислительной технике многократно моделируется продолжительность выполнения работ и рассчитывается на основе этого основные характеристики сетевой модели. Большой объем испытаний позволяет более точно выявить закономерность моделируемой сети.

Для событий  рассчитывают три характеристики: ранний и поздний срок совершения события, а также его резерв.

Ранний  срок свершения события определяется величиной наиболее длительного  отрезка пути от исходного до рассматриваемого события, причем , а :

 

Поздний срок свершения события характеризует  самый поздний допустимый срок, к которому должно совершиться событие, не вызывая при этом срыва срока свершения конечного события:

 

Этот  показатель определяется «обратным  ходом», начиная с завершающего события, с учетом соотношения [13. С.259]

Все события, за исключением событий, принадлежащих  критическому пути, имеют резерв :

 

Резерв  показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.  Для всех работ на основе ранних и поздних сроков свершения всех событий можно определить показатели:

Ранний  срок начала—;

Ранний  срок окончания — 

Поздний срок окончания — 

Поздний срок начала —

Полный  резерв времени —

Независимый резерв — 

Полный  резерв времени показывает, на сколько  можно увеличить время выполнения конкретной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.

Независимый резерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие — начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ. [13. С.260]

Путь  характеризуется двумя показателями — продолжительностью и резервом. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.

Резерв  определяется как разность между  длинами критического и рассматриваемого путей. Из этого определения следует, что работы, лежащие на критическом пути, и сам критический путь имеют нулевой резерв времени. Резерв времени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ, составляющих данный путь, без изменения продолжительности общего срока выполнения всех работ.

Перечисленные выше характеристики СМ могут быть получены на основе приведенных аналитических формул, а процесс вычислений отображен непосредственно на графике, либо в матрице (размерности ), либо в таблице.

Для оптимизации  сетевой модели, выражающейся в перераспределении  ресурсов с ненапряженных работ  на критические для ускорения  их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть вычислен одним из двух

где — продолжительность максимального пути, проходящего через работу ;

— продолжительность отрезка  рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.

Коэффициентом напряжённости работы (i,j) называется отношение продолжительности несовпадающих, но заключённых между одними и теми же событиями, отрезков пути, одним из которых является путь максимальной продолжительности, проходящий через данную работу, а другим — критический путь:

 

где - продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i,j);

- продолжительность (длина)  критического пути;

- продолжительность отрезка  рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.

Эту формулу  можно привести к виду:

 

где - полный резерв времени работы (i,j).

Коэффициент напряженности изменяется от нуля до единицы, причем, чем он ближе к  единице, тем сложнее выполнить  данную работу в установленный срок. Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых он равен 1. На основе этого коэффициента все работы СМ могут быть разделены на три группы [7. С.318]:

-напряженные ;

-под критические ;

-резервные 

Предварительный анализ сетей со случайными продолжительностями  работ, как правило, не ограничивается расчетами временных параметров сети. Весьма важным моментом анализа становится оценка вероятности того, что срок выполнения проекта не превзойдет заданного директивного срока Т.

Полагая случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения, получим:

 

где - значение интеграла вероятностей Лапласа, где

— среднее квадратическое отклонение длины критического пути:

 

Если мала (например, меньше 0,3), то опасность срыва заданного срока выполнения комплекса велика, необходимо принятие дополнительных мер. Если значительна (например, более 0,8), то, очевидно, с достаточной степенью надежности можно прогнозировать выполнение проекта в установленный срок.

В некоторых  случаях представляет интерес и  решение обратной задачи: определение  максимального срока выполнения проекта Т, который возможен с заданной надежностью (вероятностью) . В этом случае

 

где — нормированное отклонение случайной величины, определяемое с помощью функции Лапласа .[7. С. 314.]

 

 

 

2. Задача и ее решение

 

В таблице  указанны оценки времени выполнения некоторого проекта,  данные ответственными исполнителями и экспертами.

Табл. 1.

№	Работа (i,j)	Оценки времени выполнения работ, сутки
		оптимистическая	пессимистическая	наиболее вероятная
1 2 3 4 5 6 7 8 9	(1,2) (1,3) (1,4) (3,4) (2,5) (4,5) (5,6) (6,7) (4,7)	4 1 3 8 6 1 4 6 5	8 6 9 13 11 5 7 10 12	5 4 7 10 8 3 6 7 8