Принципы управления

Для любой трапециидальной ВЧХ, на которые разбита реальная ВЧХ (рис.99б), можно построить подобную ей единичную трапецию со значением k = 1 2, где 1 - частота, соответствующая перелому реальной трапеции, 2 - основание трапеции реальной ВЧХ. Для данной единичной трапеции по таблице hk-функций строят кривую hk(k,t), где t - время. Затем, используя свойства 2 и 3 масштабирования ВЧХ и переходной характеристики строят кривую переходного процесса, соответствующего данной трапециидальной ВЧХ. Причем оба описанных процесса можно совместить: сначала задаются моментом времени t, для него по таблице находят значение hk(k,t), потом умножают это значение на P(0) (масштабирование по вертикальной оси) и откладывают полученное значение на графике h(t) для времени t = t/ 2 (масштабирование по горизонтальной оси). Строя таким образом точки для различных моментов времени получают кривую  

 

hi(t/

2) = P(0) hk(k,t).  

 

Данный алгоритм удобно оформить в таблицу: 

 

t	hk(k,t)	t = t/ 2	hi(t) = P(0) hk(k,t)
.....	.....	.....	.....

 

 

После суммирования составляющих переходного процесса, соответствующих каждой трапеции, получают реальную характеристику h(t).

Описанный метод построения переходной характеристики называется методом трапеций.

 

Лекция 14. Синтез САУ

14.1. Синтез САУ

 

 

В ТАУ можно выделить две характерные задачи: 1) в заданной САУ найти и оценить переходные процессы - это задача анализа САУ; 2) по заданным переходным процессам и основным показателям разработать САУ - это задача синтеза САУ.

Вторая задача сложнее в виду своей неоднозначности, многое определяется творческими способностями проектировщика. Поэтому обычно задачу синтеза САУ ставится ограниченно. Считается, что основная часть системы уже задана, что обычно имеет место. Требуется синтезировать корректирующие звенья, то есть выбрать их схему и параметры. При этом необходимо, чтобы в результате коррекции САУ обеспечивался требуемый запас устойчивости; точность управления в установившихся режимах и качество управления в динамических режимах. 

 

14.1.1. Включение корректирующих устройств

 

 

Корректирующее устройство можно включить последовательно, параллельно-согласно или параллельно-встречно (по схеме с обратной связью).

Последовательное корректирующее устройство с передаточной функцией Wп включается обычно после предварительного усилителя. На рис.103а предварительный усилитель имеет передаточную функцию W3, выходной каскад усилителя - W2, исполнительный элемент - W1.

Параллельно-согласное корректирующее устройство с передаточной функцией Wпс (рис.103б) может иногда при меньшей сложности обеспечить нужное преобразование сигнала. Например, для коррекции свойств САУ часто требуются дифференцирующие и форсирующие звенья, которые конструктивно очень сложны. В то же время параллельно-согласное включение предварительного усилителя (W3 = K3) и простого апериодического звена с передаточной функцией Wпс = позволяет  реализовать функцию реального форсирующего звена. Такое соединение можно заменить эквивалентным форсирующим звеном с передаточной функцией 

 

Wф = W3 + Wпс =

,  

 

где Tф1 = ; Tф2 = Tпс; Kф = K3 + Kпс.

Наибольшими возможностями в плане коррекции свойств САУ обладает корректирующее устройство с передаточной функцией Wпв, включенное по схеме с отрицательной или положительной обратной связью, охватывающей один из звеньев САУ, как правило исполнительный элемент или выходной каскад усилителя (усилитель мощности)(рис.103в). Такие обратные связи называются местными. При этом передаточная функция эквивалентного звена:  

 

Wэкв =

.  

 

Обычно передаточную функцию выходного каскада усилителя W2 выбирают из условия |W2.Wпв| >> 1 в широком диапазоне частот, поэтому

Wэкв 1/Wпв.

То есть свойства участка цепи с параллельно-встречным включением корректирующего устройства определяются только свойствами данного корректирующего устройства. Это основное достоинство данного способа включения. Влияние плохих свойств какого либо необходимого для САУ звена, например, его нелинейности, могут быть практически полностью устранены.

Местные корректирующие обратные связи делятся на жесткие и гибкие. Жесткая обратная связь действует на систему как в переходном, так и в установившемся режиме, то есть Wж(0) 0. Она реализуется безынерционным или инерционным звеном:  

 

Wж = Kж или Wж =

.  

 

Гибкая обратная связь действует только в переходном режиме, она реализуется либо дифференцирующим, либо реальным дифференцирующим звеном:  

 

Wг = Kг pили Wг =

.  

 

Например, если интегрирующее звено Wи = Kи/p охвачено жесткой обратной связью звеном Wж = Kж, то  

 

Wэкв =

,  

 

где Kэкв = 1/Kж, Tэкв = 1/(Kи KэквKж). То есть жесткая обратная связь превращает интегрирующее звено в апериодическое. В случае гибкой обратной связи звеном Wг = Kгp получаем  

 

Wэкв =

,  

 

где Kэкв = . То есть гибкая обратная связь не изменяет структуру интегрирующего звена, но уменьшает его коэффициент передачи.

Таким образом, даже простейшие обратные связи способны существенно изменить свойства типовых динамических звеньев. Еще больший эффект дают сложные отрицательные и положительные обратные связи. Если основные элементы регулятора по своей природе позволяют создать обратную связь, то динамические свойства этих элементов часто могут быть изменены в нужном направлении. 

 

14.1.2. Синтез корректирующих устройств.

 

 

Корректирующие устройства синтезируют на основании требований к свойствам САУ. Для этого необходимо знать передаточную функцию реальной САУ Wреал, которая чем то не удовлетворяет разработчика, и желаемую передаточную функцию Wжел , которой должна обладать САУ в результате корректировки ее свойств.

При синтезе корректирующих устройств сначала определяю передаточную функцию возможного последовательного корректирующего устройства исходя из соотношения: Wп = Wжел /Wреал. Затем выясняют, при каких передаточных функциях параллельно-согласного Wпс и параллельно-встречного Wпв корректирующих устройств будет получен тот же эффект. После этого решают, какое из них более целесообразно и проще создать. При этом исходя из рис.103 можно записать:

Wжел = W Wп = W1 W2.(W3 + Wпс) = W (1 + Wпс/W3) = W/(1 + W2 Wпв),

где W = W1 W2 W3. Из этого соотношения можно определить формулы перехода от одного корректирующего устройства к другому. 

 

14.2. Коррекция свойств САУ изменением  параметров звеньев

 

 

Рассмотрим примеры коррекции свойств некоторой исходной замкнутой САУ (рис.104), передаточная функция которой в разомкнутом состоянии:  

 

W(p) =

.  

 

Для этого воспользуемся критерием Найквиста. Значения параметров звеньев в каждом конкретном случае будем оговаривать отдельно.

 

14.2.1. Изменение коэффициента передачи  

 

Для увеличения точности статической САУ надо увеличивать коэффициент передачи K. С ростом K увеличивается жесткость статической характеристики САУ (рис.105), то есть уменьшается статическая ошибка e.

На рис.106 сплошными линиями показаны частотные характеристики исходной разомкнутой САУ при T1 = 0.5c, T2 = 0.02c, T3 = 0.002c, K = 10.

 

При увеличении коэффициента передачи K в N раз ЛАЧХ, не меняя своей формы, поднимается вверх на 20lgN (на рисунке изображена пунктирной линией). При этом ЛФЧХ остается без изменения. Из рисунка видно, что с увеличением коэффициента передачи запас устойчивости по модулю уменьшается с h 30дб/дек до hк 15дб/дек, по фазе - с 60o до к 15o .

 

То есть, при повышении точности САУ путем увеличения коэффициента передачи необходимы мероприятия по повышению запаса устойчивости. Это главный недостаток такой коррекции.

К достоинствам можно отнести повышение быстродействия САУ, так как частота среза wср увеличивается, следовательно постоянная времени САУ - уменьшается.

14.2.2. Изменение постоянной времени  звена САУ

На рис.107 сплошными линиями изображены ЛЧХ разомкнутой САУ с параметрами: T1 = 0.05c, T2 = 0.01c, T3 = 0.001c, K = 100. Из рисунка видно, что САУ неустойчива. При увеличении постоянной времени T1 в 5 раз (T1’ = 0.2с) ЛАЧХ и ЛФЧХ приобретают вид, показанный на рисунке пунктирной линией. При этом видим, что замкнутая САУ становится устойчивой. Заметим, что сопрягающая частота W1 данного звена располагается левее частоты среза ср. Если бы она располагалась правее частоты среза, то есть, если бы мы увеличивали постоянную времени, например, третьего звена T3, то это привело бы к уменьшению запаса устойчивости.

 

Частотные характеристики для этого случая приведены на рис.108.

Аналогичное влияние оказывает постоянная времени колебательного звена. Влияние постоянной времени форсирующего звена обратное, то есть, если сопрягающая частота форсирующего звена располагается левее частоты среза, то увеличение его постоянной времени уменьшает запас устойчивости САУ, если правее, то запас устойчивости увеличивается.

Указанные зависимости справедливы лишь при условии, что сопрягающая частота расположена на некотором удалении (около одной декады) от частоты среза. Бывают и исключения из этого правила.

 

Лекция 15. Включение корректирующих звеньев

15.1. Коррекция свойств САУ включением последовательных корректирующих звеньев

 

 

Это один из наиболее распространенных путей коррекции свойств САУ, особенно в случае структурно неустойчивых САУ. Рассмотрим несколько типичных случаев. 

 

15.1.1. Включение интегрирующего звена в статическую САУ

 

 

Если в статическую САУ последовательно с регулятором включить астатическое звено с передаточной функцией W = 1/p, то САУ станет астатической, то есть теоретически она будет иметь нулевую статическую ошибку eуст = 0 (рис.109). Если в исходной САУ T1 = 0.5c, T2 = 0.02c, T3 = 0.002c, K = 10, то включение последовательного астатического звена приведет к изменению частотных характеристик, как это показано на рис.110 пунктирными линиями.

Видим, что все ветви ЛАЧХ приобрели дополнительный наклон в -20дб/дек. ЛФЧХ интегрирующего звена есть горизонтальная линия

= - /2,

поэтому ЛФЧХ разомкнутой САУ после включения данного звена опускается вниз на 90о. Из рисунка видно, что запас устойчивости по модулю данной САУ снижается с h 25дб до hк 10дб, по фазе - с 60о до к 20о.

Можно сделать вывод: введение в статическую САУ последовательного интегрирующего звена переводит ее в разряд астатических САУ, повышая тем самым точность управления, но требует, как правило, специальных мер по повышению запаса устойчивости САУ, например, можно уменьшить коэффициент передачи САУ.

Кроме снижения запасов устойчивости существенным недостатком данного способа коррекции САУ является снижение частоты среза wср, следовательно увеличение постоянной времени переходного процесса, то есть уменьшение быстродействия САУ. 

 

15.1.2. Включение апериодического звена

 

 

Пусть в исходной САУ T1 = 0.05c, T2 = 0.01c, T3 = 0.001c, K = 40. Введем в прямую цепь апериодическое звено с передаточной функцией

Wa(p) = 1/(Tap + 1),

где Ta = 8c, то есть постоянная времени корректирующего звена больше, чем постоянные времени остальных звеньев САУ (рис.111). ЛАЧХ дополнительного звена представлена на рисунке тонкой сплошной линией. ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной САУ представлены пунктирными линиями.

Из рисунка видно, что изначально неустойчивая САУ после коррекции стала устойчивой. Вообще введение в прямую цепь апериодического звена с постоянной времени значительно большей, чем у звеньев исходной САУ, повышает запас устойчивости САУ. К достоинствам можно отнести также снижение высокочастотных помех и колебательности переходных процессов, о чем свидетельствует смещение вниз высокочастотной части ЛАЧХ. Поэтому такой прием повышения запаса устойчивости называется демпфированием с подавлением высоких частот.

Недостаток - уменьшается частота среза wср, то есть снижается быстродействие системы. 

 

15.1.3. Включение форсирующего звена  

 

Передаточная функция идеального форсирующего звена Wф(p) = Tф(p)p + 1. При Tф(p) = 0.005с его ЛАЧХ выглядит так, как это показано на рис.112 тонкой сплошной линией. Частотные характеристики скорректированной САУ показаны пунктирными линиями. Из рисунка видно, что изначально неустойчивая САУ после коррекции стала устойчивой. Кроме того увеличилась частота среза, то есть повысилось быстродействие системы. Это достоинства данного способа корректировки. Вместе с тем высокочастотная часть ЛАЧХ сместилась вверх, то есть усилилось влияние высокочастотных помех. Поэтому данный способ называется демпфирванием с поднятием высоких частот. Это серьезный недостаток, ограничивающий применение данного способа корректировки.

 
 

 

15.1.4. Включение звена со сложной  передаточной функцией

 

 

Введем в исходную систему дополнительное звено со сложной передаточной функцией: ,

где T1д = T2д = 0.01, T3д = 0.1,T4д = 0.001.