Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Октября 2014 в 05:31, курс лекций
Теория автоматического управления (ТАУ) появилась во второй половине 19 века сначала как теория регулирования. Широкое применение паровых машин вызвало потребность в регуляторах, то есть в специальных устройствах, поддерживающих устойчивый режим работы паровой машины. Это дало начало научным исследованиям в области управления техническими объектами. Оказалось, что результаты и выводы данной теории могут быть применимы к управлению объектами различной природы с различными принципами действия. В настоящее время сфера ее влияния расширилась на анализ динамики таких систем, как экономические, социальные и т.п. Поэтому прежнее название “Теория автоматического регулирования” заменено на более широкое - “Теория автоматического управления”.
Знаменатель передаточной функции D(p) = aopn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + an называют характеристическим полиномом. Его корни, то есть значения p, при которых знаменатель D(p) обращается в ноль, а W(p) стремится к бесконечности, называются полюсами передаточной функции.
Числитель K(p) = bopm + b1pm - 1+ ... + bm называют операторным коэффициентом передачи. Его корни, при которых K(p) = 0 и W(p) = 0, называются нулями передаточной функции.
Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функция Wи(p) = 1/p. Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называется структурной.
Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:
Wэ(p) =
Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета модно записать
D(p) = aopn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + an = ao(p - p1)(p - p2)...(p - pn),
где p1, p2, ..., pn - корни полинома D(p). Аналогично
K(p) = bopm + b1pm - 1+ ... + bm = bo(p - p~1)(p - p~2)...(p - p~m),
где p~1, p~2, ..., p~m - корни полинома K(p). То есть
Корни любого полинома могут быть либо вещественными pi = ai , либо комплексными попарно сопряженными pi = ai ± j i . Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель (p - ai ). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как
(p - ai + j
То есть
Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.
В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то есть
W(p) = , W(p) = ,
W(p) = 1/p, W(p) = p, W(p) = Tp + 1, W(p) = k.
Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.
Структурная схема САУ в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем. Рассмотрим возможные способы преобразований.
1. Последовательное соединение (рис.28) - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего.
При этом можно записать:
y1 = W1 yo; y2 = W2 y1; ...; yn = Wn yn - 1 = >
yn = W1 W2.....Wn.yo = Wэкв yo,
где .
То есть цепочка последовательно соединенных звеньев преобразуется в эквивалентное звено с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев.
2. Параллельно - согласное соединение (рис.29) - на вход каждого звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы складываются. Тогда:
y = y1 + y2 + ... + yn = (W1 + W2 + ... + W3)yo = Wэкв
где .
То есть цепочка звеньев, соединенных параллельно - согласно, преобразуется в звено с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций отдельных звеньев.
3. Прараллельно - встречное соединение (рис. 30а) - звено охвачено положительной или отрицательной обратной связью. Участок цепи, по которому сигнал идет в противоположном направлении по отношению к системе в целом (то есть с выхода на вход) называется цепью обратной связи с передаточной функцией Wос. При этом для отрицательной ОС:
y = Wпu; y1 = Wосy; u = yo - y1,
следовательно
y = Wпyo - Wпy1 = Wпyo - WпWocy = >
y(1 + WпWoc) = Wпyo = > y = Wэквyo,
где .
Аналогично: - для положительной ОС.
Если Woc = 1, то обратная связь называется единичной (рис.30б), тогда Wэкв = Wп /(1 ± Wп).
Замкнутую систему называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой либо точке получают цепочку из последовательно соединенных элементов (рис.31а). Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных звеньев, соединяющий точку приложения входного сигнала с точкой съема выходного сигнала называется прямой цепью (рис.31б, передаточная функция прямой цепи Wп = Wo W1 W2). Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур называют разомкнутой цепью (рис.46в, передаточная функция разомкнутой цепи Wp = W1 W2 W3 W4). Исходя из приведенных выше способов эквивалентного преобразования структурных схем, одноконтурная система может быть представлена одним звеном с передаточной функцией: Wэкв = Wп/(1 ± Wp) - передаточная функция одноконтурной замкнутой системы с отрицательной ОС равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи. Для положительной ОС в знаменателе знак минус. Если сменить точку снятия выходного сигнала, то меняется вид прямой цепи. Так, если считать выходным сигнал y1 на выходе звена W1, то Wp = Wo W1. Выражение для передаточной функции разомкнутой цепи не зависит от точки снятия выходного сигнала.
Замкнутые системы бывают одноконтурными и многоконтурной (рис.32).Чтобы найти эквивалентную передаточную функцию для данной схемы нужно сначала осуществить преобразование отдельных участков.
Если многоконтурная система имеет перекрещивающиеся связи (рис.33), то для вычисления эквивалентной передаточной функции нужны дополнительные правила:
4. При переносе сумматора через
звено по ходу сигнала
Так с выхода системы на рис.34а снимается сигнал
y2 = (f + yoW1)W2.
Такой же сигнал должен сниматься с выходов систем на рис.34б:
y2 = fW2 + yoW1W2 = (f + yoW1)W2,
и на рис.34в:
y2 = (f(1/W1) + yo)W1W2 = (f + yoW1)W2.
При подобных преобразованиях могут возникать неэквивалентные участки линии связи (на рисунках они заштрихованы).
5. При переносе узла через
звено по ходу сигнала
Так с выхода системы на рис.35а снимается сигнал
y1 = yoW1.
Такой же сигнал снимается с выходов рис.35б:
y1 = yoW1W2/W2 = yoW1
и рис.35в:
y1 = yoW1.
6. Возможны взаимные
Во всех случаях переноса элементов структурной схемы возникают неэквивалентные участки линии связи, поэтому надо быть осторожным в местах съема выходного сигнала.
При эквивалентных преобразованиях одной и той же структурной схемы могут быть получены различные передаточные функции системы по разным входам и выходам. Так на рис.48 имеется два входа: по управляющему воздействию u и возмущению f при одном выходе y. Такая схема может быть преобразована к одному звену с двумя передаточными функциями Wuy и Wfy.
Для примера рассмотрим схему САР напряжения генератора постоянного тока (рис.37).
Выведем дифференциальное уравнение исполнительного двигателя постоянного тока. Его схема замещения изображена на рис. 38.
Для якорной цепи справедливо уравнение
Если принять, что , гдеj – угол поворота вала двигателя, то
то есть
где – постоянная времени якорной цепи; , – коэффициенты пропорциональнсти.
Если учесть, что , где J – момент инерции якоря, M - электромагнитный момент, Мс – момент сторонних сил, то получим
Следовательно
Здесь – электромеханическая постоянная времени;
; ; ; – коэффициенты пропорциональности;
, – передаточные функции по напряжению и моменту сторонних сил.
Структурная схема двигателя постоянного тока показана на рис.39.
Аналогичным образом выводится передаточная функция генератора постоянного тока, которая с учетом пренебрежения индуктивностью обмотки якоря имеет вид, показанный на рис.40, где
Усилитель можно представить пропорциональным звеном с коэффициентом усиления Kу. В окончательном виде структурная схема САР напряжения генератора постоянного тока показана на рис.41.
Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия, которые наиболее полно отражают особенности реальных возмущений. Во - первых, это позволяет сравнивать отдельные элементы между собой с точки зрения их динамических свойств. Во - вторых, зная реакцию системы на типовые воздействия, можно судить о том, как она будет вести себя при сложных изменениях входной величины.
Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются: ступенчатое, импульсное и гармоническое воздействия. Любой сигнал u(t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий ui(t) и исследовать реакцию системы на каждую из составляющих, а затем, пользуясь принципом суперпозиции, получить результирующее изменение выходной величины y(t) суммируя полученные таким образом составляющие выходного сигнала yi(t).
Особенно важное значение в ТАУ придают ступенчатому воздействию 1(t) = . Все остальные воздействия могут быть сведены к нему. Так, например, реальный импульсный сигнал может быть представлен двумя ступенчатыми сигналами одинаковой величины, но противоположными по знаку, поданными один за другим через интервал времени t (рис.42).
Зависимость изменения выходной величины системы от времени при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой и обозначается h(t).
Не менее важное значение в ТАУ уделяется импульсной переходной характеристике, которая описывает реакцию системы на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях, обозначают (t). Единичный импульс физически представляет из себя очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота - к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Математически он описывается дельта - функцией d(t) = 1’(t).
Переходная и импульсная переходная характеристики называются временными характеристиками. Каждая из них является исчерпывающей характеристиками системы и любого ее звена при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии.
Зная передаточную функцию W(p) = K(p)/D(p), выражение для переходной функции можно найти из формулы Хевисайда: , где pk - корни характеристического уравнения D(p) = 0. Взяв производную от переходной функции можно получить выражение для импульсной переходной функции (t) = h’(t).
Здесь мы рассмотрим только самые основные звенья.
Это звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной.
Его уравнение: y(t) = k u(t).
Передаточная функция: W(p) = k.
Переходная характеристика: h(t) = k 1(t).
В ответ на единичное ступенчатое воздействие сигнал на выходе мгновенно достигает величины в k раз большей, чем на входе и сохраняет это значение (рис.43). При k = 1 звено никак себя не проявляет, а при k = - 1 - инвертирует входной сигнал.
Любое реальное звено обладает инерционностью, но с определенной точностью некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безынерционные, например, жесткий механический рычаг, редуктор, потенциометр, электронный усилитель и т.п.
Его уравнение , или , или py = ku.
Передаточная функция: W(p) = k/p.
Переходная характеристика: (рис.44).