Построение и анализ модели множественной регрессии

 

Оценим значимость модели в целом  на основе вычисления F-критерия Фишера.

 

По данным дисперсионного анализа F = 129,268

 

Табличное значение F-критерия  со степенями свободы n₁= k и n₂ = (n - k - 1), где n = 30 (количество наблюдений),  k = 1  (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()

 

F табл = 4,19597

 

 

Поскольку F > Fтабл , уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

 

Определим среднюю относительную  ошибку аппроксимации 

 

 

Поскольку E_отн.ср. меньше 15%, следовательно точность считается удовлетворительной.

 

Сравним модель со значимыми факторами (двухфакторную) и однофакторную  модель с наиболее значимым фактором.

 

Двухфакторная модель	Однофакторная модель
y = -4,5414 + 0,3445 x1 + 1,1026 x2	y = 2,934 + 0,412 x1
R = 0,9265	R = 0,9066
F = 81,8519	F = 129,268

 

Средняя относительная ошибка аппроксимации Е_отн.ср. в двухфакторной модели несколько лучше.

 

Коэффициент множественной корреляции  R в двухфакторной модели несколько лучше.

Чем ближе величина R  к единице, тем теснее выбранный вид функции связывает между собой факторные переменные и исследуемый признак, тем лучше качество модели.

 

Чем больше расчётное значение F-критерия, тем лучше качество модели.

F-критерий Фишера значительно  лучше в однофакторной модели, следовательно модель, в которой  цена квартиры зависит только  от общей площади квартиры (однофакторная)  обладает лучшим качеством.

 

5. Осуществим прогнозирование  (для однофакторной модели) среднего  значения показателя Y при условии,  что прогнозное значения фактора  X составит 80% от его максимального  значения.

 

Точечный прогноз вычисляем  путём подстановки в уравнение  прогнозного значения факторной переменной:

 

Для однофакторной модели максимальное значение Х = 137,7*80% = 110,16

= 48,355

 

Доверительный интервал прогноза зависит  от стандартной ошибки, удаления x_прогн от своего среднего значения в ряде наблюдений x_ср, количества наблюдений n и уровня значимости прогноза α :

Стандартная ошибка S_ст =  4,397 (по данным таблицы 6)

 

t_0,1 =  СТЬЮДРАСПОБР(0,1; 28) = 1,701

 

Доверительный интервал  L = 1,32

 

 

Тогда фактические значения исследуемого признака с вероятностью (1-α) попадут  в интервал

.

 

6. Представим графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

 

Таблица 7 - Прогнозирование
№ п/п	Фактическое y - цена   квартиры, тыс. долл.		x1 – общая площадь   квартиры, (м2)			Предсказанное y - цена   квартиры, тыс. долл.
1	15,9		39			19,01444394
2	27		68,4			31,13647903
3	13,5		34,8			17,28272464
4	15,1		39			19,01444394
5	21,1		54,7			25,4877756
6	28,7		74,7			33,73405798
7	27,2		71,1			32,24972715
8	28,3		74,5			33,65159516
9	52,3		137,7			59,70984747
10	22		40			19,42675806
11	28		53			24,7868416
12	45		86			38,39320752
13	51		98			43,34097695
14	34,4		62,6			28,74505714
15	24,7		45,3			21,61202289
16	30,8		56,4			26,18870961
17	15,9		37			18,1898157
18	29		67,5			30,76539633
19	15,4		37			18,1898157
20	28,6		69			31,3838675
21	15,6		40			19,42675806
22	27,7		69,1			31,42509892
23	34,1		68,1			31,0127848
24	37,7		75,3			33,98144645
25	41,9		83,7			37,44488505
26	24,4		48,7			23,01389089
27	21,3		39,9			19,38552665
28	36,7		68,6			31,21894186
29	21,5		39			19,01444394
30	26,4		48,6			22,97265948
31			110,16			48,355
Таблица 8 – Результаты прогнозных оценок
Прогнозируемое значение					48,355
Уровень значимости					0,1
Стандартная ошибка					4,396788203
Размер выборки					30
Число степеней свободы					28
Табличное  t-статистики Стьюдента					1,701130908
Доверительный интервал					1,320389844
Нижняя граница y					47,034
Верхняя граница y					49,675

 

 

 

 

2. Задача №  2 «Построение и анализ модели  временного ряда»

 

 

Таблица 2.1 – Исходные данные
Дан временной ряд, характеризующий  месячную динамику численности занятых  в сфере услуг фирмы yt (чел.) за 8 месяцев:
Месяц, t	1	2	3		4	5	6	7	8
Число занятых yt, чел.	5	8	7		15	22	23	26	33

 

1. Проверим наличие  аномальных наблюдений.

Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в  отсутствии аномальных данных. Для  этого воспользуемся методом Ирвина.

Для всех или только для подозреваемых  в аномальности наблюдений вычисляется  величина  y_t.

где

 

Если рассчитанная величина  y_t превышает табличный уровень (например, для 10 наблюдений значение критерия Ирвина равно 1,5), то уровень  y_t считается аномальным. 

Для расчета l воспользуемся функцией Excel  СТАНДОТКЛОН().

 

Таблица 2.2 – Результаты расчетов по методу Ирвина

 

Месяц, t		1	2	3	4	5	6	7	8
Число занятых yt, чел.		5	8	7	15	22	23	26	33
l		0,58	0,35	0,12	0,93	0,81	0,12	0,35	0,81

 

Из результатов мы видим, что  аномальных значений не наблюдается.

 

2. Проверим наличие  тренда.

 

Поделим исходный временной ряд  на две равные части и для каждой части найдем среднее и дисперсию, воспользовавшись пакетом анализа Excel.

 

Число занятых yt, чел.

5

8

7

15

22

23

26

33

 

Таблица 2.3 – Результаты двухвыборочного  F-теста для дисперсии

 

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	8,75	26
Дисперсия	18,92	24,67
Наблюдения	4	4
df	3	3
F	0,767
P(F<=f) одностороннее	0,416
F критическое одностороннее	0,108

 

Среднее значение и дисперсия второй части значительно превышают  среднее значение и дисперсию  первой части, следовательно можно  сделать вывод, что имеется повышающий тренд.

 

 

 

3. Построим линейную  модель временного ряда   ,  
параметры которой оценить с помощью метода наименьших квадратов.

 

Согласно методу наименьших квадратов  при оценке параметров модели всем наблюдениям присваиваются равные веса, т. е. их информационная ценность признается равной, а тенденция развития на всем участке наблюдений – неизменной.

 

Для определения параметров модели воспользуемся инструментом Регрессия  в надстройке Excel  Анализ данных.

Из анализа таблицы 4 получаем коэффициенты уравнения регрессии:

а₀ = -0,893,    а₁ = 4,06

Тогда уравнение модели примет вид:

Коэффициент детерминации R² = 0,95354, что говорит о высокой точности модели.

 

Таблица 4 –  Протокол регрессивного анализа  линейной модели временного ряда
			Месяц, t	Число занятых yt, чел.
			1	5
			2	8
			3	7
ВЫВОД ИТОГОВ			4	15
			5	22
Регрессионная статистика			6	23
Множественный R	0,97649		7	26
R-квадрат	0,95354		8	33
Нормированный R-квадрат	0,94579
Стандартная ошибка	2,37087
Наблюдения	8
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	692,1488	692,149	123,136	3,19E-05
Остаток	6	33,72619	5,62103
Итого	7	725,875
	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-0,89286	1,8474	-0,4833	0,646	-5,413	3,627
Месяц, t	4,05952	0,3658	11,0966	3,2E-05	3,164	4,955
ВЫВОД ОСТАТКА
	Предска-занное Число занятых yt, чел.	Остатки
1	3,16667	1,833333
2	7,22619	0,77381
3	11,2857	-4,285714
4	15,3452	-0,345238
5	19,4048	2,595238
6	23,4643	-0,464286
7	27,5238	-1,52381
8	31,5833	1,416667

 

4. Оценим адекватность  модели, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  уровней ряда остатков и соответствия  ряда остатков нормальному закону  распределения.

 

а) Независимость остаточной компоненты (отсутствие автокорреляции) проверим с помощью d-критерия  Дарбина–Уотсона по формуле

Месяц, t	Остатки	Точки поворота
1	1,833333		3,361111
2	0,77381		0,598781	1,122591
3	-4,285714	*	18,36735	25,59878
4	-0,345238		0,119189	15,52735
5	2,595238	*	6,735261	8,6464
6	-0,464286		0,215561	9,360686
7	-1,52381	*	2,321995	1,122591
8	1,416667		2,006944	8,6464
Сумма	0		33,72619	70,0248

 

Значение статистики Дарбина-Уотсона изменяется в диапазоне от 0 до 4. При этом d = 2 указывает на отсутствие автокорреляции элементов временного ряда. Если d меньше двух, то имеет место положительная автокорреляции, а больше двух - отрицательная.

 

d = 70,0248 / 33,7269 = 2,076

 

Так как d попало в интервал от 2 до 4, то вычисляем d’ :

 

d’ = 4 – 2.076 = 1,924

 

Зададим  уровень  значимости равной 0,05. По таблицам значений  критерия Дарбина-Уотсона для числа n=8 и числа независимых переменных модели k=1 критическое значение d1=0,76 и d2=1,33.

Поскольку d’ попало в интервал от d2<d’<2, по данному  критерию  модель адекватна.