Построение и анализ модели множественной регрессии

 

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение высшего профессионального образования финансовый  университет при правительстве российской федерации ярославский филиал
Кафедра математики и информатики
Факультет: экономики                   Направление: финансы и кредит
Контрольная работа
по  дисциплине
«Эконометрика»
Вариант № 12
Студент:	Козлова Виктория Сергеевна
	Курс:	3
	Форма обучения:	День
	Личное дело №:	100.31/120185
Преподаватель:	Черномордик Владимир Дмитриевич
Ярославль 2013

 

План работы

 

 

 

 

 

 

 

1. Задача №  1 «Построение и анализ модели  множественной регрессии»

 

Изучите зависимость  стоимости квартиры от ряда основных факторов.

 

№ п/п	x1 – общая площадь квартиры  (м2)	x2 – жилая площадь квартиры  (м2)	x3 – площадь кухни (м2)	x4 – тип дома (1 - кирпичный, 0 - другой)	y - цена квартиры, тыс. долл.
1	39,0	20,0	8,2	0	15,9
2	68,4	40,5	10,7	0	27,0
3	34,8	16,0	10,7	0	13,5
4	39,0	20,0	8,5	0	15,1
5	54,7	28,0	10,7	0	21,1
6	74,7	46,3	10,7	0	28,7
7	71,1	45,9	10,7	0	27,2
8	74,5	47,5	10,4	0	28,3
9	137,7	87,2	14,6	0	52,3
10	40,0	17,7	11,0	1	22,0
11	53,0	31,1	10,0	1	28,0
12	86,0	48,7	14,0	1	45,0
13	98,0	65,8	13,0	1	51,0
14	62,6	21,4	11,0	1	34,4
15	45,3	20,6	10,4	1	24,7
16	56,4	29,7	9,4	1	30,8
17	37,0	17,8	8,3	0	15,9
18	67,5	43,5	8,3	0	29,0
19	37,0	17,8	8,3	0	15,4
20	69,0	42,4	8,3	0	28,6
21	40,0	20,0	8,3	0	15,6
22	69,1	41,3	8,3	0	27,7
23	68,1	35,4	13,0	1	34,1
24	75,3	41,4	12,1	1	37,7
25	83,7	48,5	12,1	1	41,9
26	48,7	22,3	12,4	1	24,4
27	39,9	18,0	8,1	1	21,3
28	68,6	35,5	17,0	1	36,7
29	39,0	20,0	9,2	1	21,5
30	48,6	31,0	8,0	1	26,4

 

 

Решение:

 

Линейная модель множественной  регрессии имеет вид:

,

где   - расчётные значения исследуемой переменной,

- факторные переменные.

- коэффициенты уравнения, каждый  из которых показывает, насколько  изменится значение исследуемого  признака при изменении соответствующего  фактора на 1 при неизменных прочих  факторных переменных.

 

 

Рассмотрим факторные признаки для построения регрессионной модели.

- Цена квартиры – это зависимая  переменная Y;

Независимые объясняющие переменные:

- общая площадь квартиры Х₁;

- жилая площадь квартиры Х₂;

- площадь кухни Х₃;

- тип дома Х₄

 

1. Построим классическую  модель множественной регрессии

 

Классическая линейная модель множественной  регрессии можно представить  в виде:

 

 

 

Проведем регрессивный анализ, используя  инструмент Excel  «Регрессия» (Сервис – Анализ данных – Регрессия).

 

Таблица 2 - Протокол выполнения регрессивного анализа многофакторной модели
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,988184182
R-квадрат	0,976507977
Нормированный R-квадрат	0,972749254
Стандартная ошибка	1,690232392
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	4	2968,85	742,2125	259,7978
Остаток	25	71,42214	2,856886
Итого	29	3040,272
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-0,919569337	1,553442	-0,59196	0,559196
x1 – общая площадь квартиры (м2)	0,413111875	0,076969	5,367227	1,45E-05
x2 – жилая площадь квартиры (м2)	0,000524556	0,098309	0,005336	0,995785
x3 – площадь кухни (м2)	-0,017685345	0,220126	-0,08034	0,936605
x4 – тип дома (1 - кирпичный, 0 - другой)	7,946876901	0,727228	10,92763	5,2E-11

 

Из анализа получаем коэффициенты уравнения.

Уравнение регрессии зависимости  цены квартиры от независимых объясняющих  переменных принимает вид:

 

y = -0,9196 + 0,4131 x₁ + 0,0005 x₂ + -0,0177 x₃ + 7,9469 x₄

 

Оценим качество модели.

Определим коэффициент детерминации.

 

 

= 1 -  71,422 / 3040,272  = 2968,85 / 3040,272  = 0,9765

 

Коэффициент детерминации показывает, что около 98% вариации зависимой  переменной учтено в модели и обусловлено  влиянием включенных факторов.

 

Коэффициент множественной корреляции    R = 0,9882

Он показывает высокую тесноту  связи зависимой переменной Y с  двумя включенными в модель объясняющими факторами.

 

Оценим значимость модели в целом  на основе вычисления F-критерия Фишера.

 

 

По данным дисперсионного анализа  F = 259,798

 

Табличное значение F-критерия  со степенями свободы n₁= k и n₂ = (n - k - 1), где n = 30 (количество наблюдений),  k = 4  (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()

 

F табл = 2,75871

 

Поскольку F > Fтабл , уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

С помощью t-статистики Стьюдента оценим статистическую значимость отдельных  параметров.

По данным дисперсионного анализа:

tb₀ = -0,592,   tb₁ = 5,367,   tb₂ = 0,005,  tb₃ = -0,080,   tb₄ = 10,928

 

Табличное значение t-статистики Стьюдента  найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР()

 

t табл = 2,0595

 

Среди всех коэффициентов значимыми (tb > t_табл) являются  коэффициенты b₁ и b₄.

По такой модели прогноз сделать  не представляется возможным, поскольку большинство коэффициентов регрессии при переменных не значимы.

 

2. Проведем корреляционный  анализ для исключения незначимых  факторов и устранения мультиколлинеарности.

 

Используем инструмент Excel  «Корреляция» (Сервис – Анализ данных – Корреляция).

 

Таблица 3 - Матрица коэффициентов  парной корреляции
	y - цена   квартиры,   тыс. долл.	x1 –  общая   площадь   квартиры   (м2)	x2 –   жилая   площадь  квартиры   (м2)	x3 –   площадь   кухни   (м2)	x4 –  тип дома   (1 - кирпичный,   0 - другой)
y - цена   квартиры,   тыс. долл.	1
x1 – общая   площадь   квартиры   (м2)	0,906620301	1
x2 –   жилая   площадь  квартиры   (м2)	0,84380517	0,972572884	1
x3 –   площадь   кухни   (м2)	0,70841664	0,615372581	0,505214415	1
x4 – тип дома   (1 - кирпичный,   0 - другой)	0,392706276	-0,000451759	-0,097618434	0,387353613	1
Анализ матрицы  показывает, что цена квартиры имеет  тесную связь с индексами:
x1 – общая  площадь квартиры (0,907)
x2 – жилая  площадь квартиры (0,844)
x3 – площадь кухни (0,708)
Факторы х1 и  х2 тесно связаны между собой (0,97 > 0,8)
Т. е. наблюдается  мультиколлинеарность
Оставляем в  модели фактор х1 и фактор х3
После исключения незначимых факторов n = 30, k = 2

 

3. Построим линейную модель регрессии только со значимыми факторами.

 

 

 

Из анализа получаем коэффициенты уравнения регрессии а0, а1, а2

 

Уравнение регрессии зависимости  цены квартиры от общей площади квартиры и площади кухни принимает  вид:

 

y = -4,5414 + 0,3445 x₁ + 1,1026 x₂

 

Это означает, что величина стоимости  квартиры в среднем по совокупности возрастала на 344,5 доллара при увеличении общей площади квартиры на 1 кв. м  и увеличивалась на 1102,6 долларов при увеличении площади кухни  на 1 кв. м.  (Экономическая интерпретация коэффициентов модели).

 

Оценим качество построенной модели.

 

Определим коэффициент детерминации.

 

R² = 1 - 430,444 / 3040,272  = 2609,827 / 3040,272  = 0,8584192

 

Коэффициент детерминации показывает, что около 86% вариации зависимой  переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

 

Коэффициент множественной корреляции    R = 0,9265

Он показывает высокую тесноту  связи зависимой переменной Y с  двумя включенными в модель объясняющими факторами.

 

Оценим значимость модели в целом  на основе вычисления F-критерия Фишера.

 

По данным дисперсионного анализа F = 81,8519

 

Табличное значение F-критерия  со степенями свободы n₁= k и n₂ = (n - k - 1), где n = 30 (количество наблюдений),  k = 2  (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()

 

F табл = 3,354

 

Поскольку F > Fтабл , уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

Определим среднюю относительную  ошибку аппроксимации 

 

 

 

Она выражается в процентах и характеризует точность модели. Широко применяется критерий, в соответствии с которым точность считается удовлетворительной, если средняя относительная погрешность меньше 15%. Если E_отн.ср. меньше 5%, то говорят, что модель имеет высокую точность. Не рекомендуется применять для анализа и прогноза модели с неудовлетворительной точностью, то есть, когда E_отн.ср. больше 15%.

 

В нашей модели E_отн.ср. меньше 15%, следовательно точность считается удовлетворительной.

 

С помощью t-статистики Стьюдента оценим статистическую значимость отдельных параметров.

По данным дисперсионного анализа  ta₀ = -1,2799,   ta₁ = 8,2461,   ta₂ = 2,6368

 

Табличное значение t-статистики Стьюдента  найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР()

 

t табл = 2,052

 

Поскольку  ta > t_табл  коэффициенты a₁ и a₂ является значимыми.

 

Оценим влияние значимых факторов на результат с помощью коэффициентов  эластичности, β- и Δ- коэффициентов.

 

Эластичность Y по отношению к Х определяется как процентное изменение Y, отнесенное к соответствующему процентному изменению Х.

 

 

 

Тогда

Эyx₁  = 0,3445 (60,89 / 28,04) = 0,748

 

Следовательно при увеличении общей  площади квартиры на 1% цена квартиры увеличивается на 0,75%

 

Эyx₂  = 1,1026 (10,52 / 28,04) = 0,414

 

Следовательно при увеличении площади  кухни на 1% цена квартиры увеличивается на 0,414%

 

Бета-коэффициент показывает, на какую  часть величины среднего квадратического отклонения S_y изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной Х_j на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

 

где S_xj  — среднеквадратическое отклонение фактора j

Тогда

 

byx₁  = 0,3445 (22,514 / 10,239) = 0,758

 

byx₂  = 1,1026 (2,249 / 10,239) = 0,242

 

 

Долю влияния фактора в суммарном  влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов D (j)

 

где — коэффициент парной корреляции между фактором j (j = 1,...,m) и зависимой переменной.

 

Dyx₁  = 0,907 × 0,758 / 0,8584 = 0,80

 

Dyx₂  = 0,708 × 0,242 / 0,8584 = 0,20

 

Значения дельта – коэффициентов  показывают, что доля влияния первого  фактора составила 80%, а второго  – 20%.

(Заметим, что сумма дельта – коэффициентов всегда равна 1. Этот факт можно использовать для проверки правильности произведённых вычислений.)

 

Анализ коэффициентов показывает, что наиболее значимым фактором является х₁ – общая площадь квартиры.

 

4. Построим линейную  модель парной регрессии с наиболее значимым фактором.

 

 

 

Из анализа получаем коэффициенты уравнения регрессии а0, а1

 

Уравнение регрессии зависимости  цены квартиры только от общей площади  квартиры принимает вид:

 

y = 2,934 + 0,412 x₁

 

Это означает, что величина стоимости квартиры в среднем по совокупности возрастала на 412 долларов при увеличении общей площади квартиры на 1 кв. м .

 

Оценим качество построенной модели.

 

Определим коэффициент детерминации.

 

R² = 1 - 541,288/ 3040,272  = 2498,983 / 3040,272  = 0,82196

 

Коэффициент детерминации показывает, что около 82% вариации зависимой  переменной учтено в модели и обусловлено  влиянием наиболее значимого фактора.

 

Коэффициент множественной корреляции    R = 0,9066

Он показывает высокую тесноту  связи зависимой переменной Y с объясняющим фактором.