Парная регрессия и корреляция

 

Случайная величина E(t) содержит как положительные, так и отрицательные значения.

1. Проверка условия случайности возникновения отдельных отклонений от тренда.

Для проверки случайности  уровней ряда может быть использован критерий «пиков», или критерий поворотных точек. р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду (3); p₀ = [1,898] = 1. Так как p > p₀, E(t) является случайной величиной.

Рисунок 6 - График случайной величины

2. Для проверки подчиненности случайной величины E(t) нормальному закону распределения используется критерий размаха (RS- критерий)

Так как N= 9, P = 0,95, α = 0,05, критерий размаха RS должен принадлежать промежутку (2,58; 3,54)

S = √ 151,08 /8 = 4,345;      RS = (9,11 - (-4,72))/ 4,345 = 3,184

Так как 2,58< 3,184 < 3,54, значит, случайная величина распределена нормально.

3. Для проверки отсутствия  автокорреляции применяется критерий  Дарбина-Уотсона. d₀ = 175,1/151,08 = 1,159

Так как d₀ = 1,159 < 2, то d = 1,159. Значение случайной величины d сравнивается с критическими числами d₁ = 1,08; d₂ = 1,36.

d = 1,159, d₁ = 1,08, d₂ = 1,36

Так как  d₁< d < d₂, нельзя сделать вывод об отсутствии или наличии автокорреляции.

Так как пункты проверки, кроме третьего, дают положительный результат, то выбранная трендовая модель не полностью адекватна. Необходимо осуществить оценку точности модели прогноза.

Оценка точности линейной модели тренда.

Средняя относительная  ошибка: Е_отн = 1/ n ∙ ∑|Е_max| / Y_t ∙100%

Е_отн = 7,11%

Модель имеет удовлетворительный уровень точности, так как средняя относительная ошибка: Е_отн = 7,11 % не превышает 8-10%. следовательно, регрессионную модель можно использовать для построения прогнозных оценок.

Вычислим значение прогнозируемого индекса потребительских цен x(t) в 10 году.

САП = (51 - 65)/8 = -1,75.

x_p(10) = 51 - 1,75 = 49,25

_Xp(11) = 49,25 - 1,75 = 47,5

 

 Построим точечный и  доверительный прогноз на два  шага вперед для Y(t). Для точечного  прогноза необходимо подставить вместо значения t в уравнение модели Y(t) = 121,31 - 1,278 ∙ x (t) значения t =10;11 Вычислим объем продаж Y(t) при данном индексе потребительских цен.

Y_p(10) = 121,31 - 1,278 ∙ 10 = 58,35

Y_p(11) = 121,31 - 1,278 ∙ 11= 60,59

Для доверительного прогноза необходимо вычислить U = S ∙ t_{1-L, N-2} = 10,299.

S = 4,347; t_{1-L, N-2} = 2,37.

Y_p(10) (58,35 - 10,299; 58,35 + 10,299). Следовательно, с вероятностью 0,95 Y(10) попадет в интервал (48,05; 68,65).

Y_p(11) (60,59 - 10,299; 60,59 + 10,299). Следовательно, с вероятностью 0,95 Y(10) попадет в интервал (50,29; 70,89).

Расширенные характеристики регрессионной модели.

Коэффициент детерминации: R² = 0,713. Таким образом, 71,3% изменения величины y (объема продаж) объясняется изменением величины x (индекса потребительских цен).

Коэффициент эластичности: Э = -1,643. Таким образом, если x(t) –индекс потребительских цен возрастет на 1%, то Y(t) – объем продаж уменьшится на 1,643%.

β - коэффициент = -0,845. Таким образом, величина среднего квадратического отклонения показателя y уменьшится на 0,845 при увеличении фактора x на 1 среднеквадратическое отклонение.

Для проверки используется надстройка Excel «Анализ данных».

Таблица 22 Проверка расчетов с помощью Excel

	Коэффициенты		Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	A0	121,3063	18,13975	6,68732
t	A1	-1,27826	0,306331	-4,17281

Таблица 23 Вывод остатка

Наблюдение	Предсказанное Y(t)	Остатки
1	38,21932	-3,21932
2	35,6628	1,337198
3	40,77585	-0,77585
4	44,61063	-3,61063
5	49,72367	-4,72367
6	53,55845	-2,55845
7	48,44541	3,554589
8	45,88889	9,111111
9	56,11498	0,885024

 

Во втором столбце таблицы 21 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a₀, a₁, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии. Предсказанные значения и остатки полностью совпадают с рассчитанными.

Необходимо выбрать  лучшую модель тренда из полученных.

Уравнение линейного  тренда имеет вид: Y(t) = 31,222 + 2,933 ∙ t

Уравнение регрессии  имеет вид: Y(t) = 121,31 - 1,278 ∙ x (t)

Обе модели являются не полностью адекватными. Лучшей по точности считается та модель, у которой все перечисленные характеристики имеют меньшую величину.

Таблица 24 Сравнение показателей точности моделей

Показатели	Линейная модель	Регрессионная модель
Средняя относительная  ошибка	1,76  %	7,11 %
Среднеквадратическое отклонение	1,152	4,345
Ширина доверительного интервала	2,731	10,299

 

По всем параметрам линейная модель превосходит регрессионную.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1) Алехина Г.В. Вычислительные  сети системы и телекоммуникаций./Московский  международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. - М., 2003. – 213 с.

2) Бородич С. А. Эконометрика: Учеб. пособие / С.А. Бородич. - Мн.: Новое знание, 2001. - 408 с.

3) Доугерти К. Введение  в эконометрику. Пер с англ. / К.  Доугерти. - М.: ИНФА-М, 1997. - 402 с.

4) Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник  для вузов / Под ред. проф. Н.Ш.  Кремера. – М.: Юнити-дана, 2002. –  311 с.

5) Магнус Я.Р.  Эконометрика Начальный курс / Я.Р.  Магнус, П.К. Катышев, А.А. Перечецкий. - М.: Дело, 2000 - 400 с.

6) Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.