Парная регрессия и корреляция

 

Параметры уравнения: a₁ = 83,776; a₀ = -230,745.

Уравнение полулогарифмической модели имеет вид:

ŷ = -230,745 + ln x ∙ 83,776.

Величина коэффициента эластичности = 0,589 означает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%, среднедневная заработная плата увеличится на 0, 589%.

Индекс корреляции: r_xy = 0,837. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь сильная.

Коэффициент детерминации = 0,701. Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 70,1% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 29,9% от вариации приходится  влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = 4,207 %. Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 23,401 F_табл = 4,96. Так как F_факт >  F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

 

Обратная модель парной нелинейной регрессии и корреляции: ŷ = 1/(a₀ + x ∙a₁).

Таблица 5 Расчет показателей обратной парной нелинейной регрессии и корреляции

№	x	y	X=x	Y=1/y	XY	X2	Y2	ŷ=1/(a0+a1x)	(y-ŷ)2	A
1	81	124	81	0,0081	0,6532	6561	0,00007	136,2349	149,69	9,866
2	77	131	77	0,0076	0,5878	5929	0,00006	132,9150	3,6672	1,461
3	85	146	85	0,0068	0,5822	7225	0,00005	139,7249	39,377	4,298
4	79	139	79	0,0072	0,5683	6241	0,00005	134,5545	19,762	3,198
5	93	143	93	0,0070	0,6503	8649	0,00005	147,2702	18,234	2,986
6	100	159	100	0,0063	0,6289	10000	0,00004	154,5741	19,589	2,783
7	72	135	72	0,0074	0,5333	5184	0,00005	128,9860	36,168	4,454
8	90	152	90	0,0066	0,5921	8100	0,00004	144,3471	58,566	5,034
9	71	127	71	0,0079	0,5591	5041	0,00006	128,2279	1,5076	0,966
10	89	154	89	0,0065	0,5779	7921	0,00004	143,3984	112,39	6,884
11	82	127	82	0,0079	0,6457	6724	0,00006	137,0909	101,82	7,945
12	111	162	111	0,0062	0,6852	12321	0,00004	167,6389	31,797	3,480
Итого	1030	1699	1030	0,0854	7,2641	89896	0,00061	1694,9626	592,58	53,36
Среднее значение	85,83	141,5	85,83	0,0071	0,6053	7491,3	0,00005	141,2469	49,382	4,446

 

Параметры уравнения: a₁ = - 0,00005; a₀ = 0,011.

Уравнение обратной модели регрессии имеет вид: ŷ = 1/(0,011 - x ∙ 0,00005).

Величина коэффициента эластичности = 0,553 означает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%, среднедневная заработная плата увеличится на 0, 553%.

Индекс корреляции: r_xy = 0,830. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь сильная.

Коэффициент детерминации = 0,688. Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 68,8% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 31,2% от вариации приходится  влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = 4,446%. Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 22,078; F_табл = 4,96. Так как F_факт >  F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

 

Гиперболическая модель парной регрессии и корреляции: ŷ = 1/(a₀ + x ∙a₁).

Таблица 6 Расчет показателей гиперболической нелинейной регрессии и корреляции

№	x	y	X=1/x	Y=y	XY	X2	Y2	ŷ=a0+a1∙1/x	(y-ŷ)2	A
1	81	124	0,0123	124	1,530	0,00015	15376	137,899	193,19	11,20
2	77	131	0,0129	131	1,701	0,00017	17161	133,263	5,121	1,727
3	85	146	0,0117	146	1,717	0,00014	21316	142,099	15,216	2,672
4	79	139	0,0126	139	1,759	0,00016	19321	135,640	11,291	2,417
5	93	143	0,0107	143	1,537	0,00012	20449	149,415	41,156	4,486
6	100	159	0,0100	159	1,590	0,00010	25281	154,857	17,167	2,606
7	72	135	0,0138	135	1,875	0,00019	18225	126,743	68,175	6,116
8	90	152	0,0111	152	1,688	0,00012	23104	146,824	26,789	3,405
9	71	127	0,0140	127	1,788	0,00020	16129	125,329	2,792	1,316
10	89	154	0,0112	154	1,730	0,00013	23716	145,922	65,259	5,246
11	82	127	0,0122	127	1,548	0,00015	16129	138,988	143,70	9,439
12	111	162	0,0090	162	1,459	0,00008	26244	162,021	0,000	0,013
Итого	1030	1699	0,1420	1699	19,92	0,00171	242451	1699,000	589,86	50,65
Среднее значение	85,83	141,5	0,0118	141,5	1,660	0,00014	20204,2	141,583	49,155	4,221

 

Параметры уравнения: a₁ = -7229,170; a₀ = 227,148.

Уравнение гиперболической модели регрессии имеет вид:

ŷ = 1/(227,148 - x ∙ 7229,170).

Величина коэффициента эластичности = 0,589 означает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%, среднедневная заработная плата увеличится на 0,589%.

Индекс корреляции: r_xy = 0,830. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь сильная.

Коэффициент детерминации = 0,690. Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 69,0% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 31,0% от вариации приходится  влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = 4,221 %. Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 22,226; F_табл = 4,96. Так как F_факт >  F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

Выберем наилучшую модель, для чего объединим результаты построения парных регрессий в одной таблице.

Таблица 7 Сводная таблица результатов

Модель / параметры	R²	F кр	rxy	Ā	Э
Линейная	0,702	23,579	0,838	4,264	0,574
Степенная	0,703	23,614	0,838	4,216	0,582
Экспоненциальная	0,698	23,09	0,835	4,35	0,564
Полулогарифмическая	0,701	23,401	0,837	4,207	0,589
Обратная	0,688	22,078	0,830	4,450	0,530
Гиперболическая	0,690	22,226	0,830	4,221	0,589

 

Предпочтение можно отдать степенной функции, для которой значения коэффициентов корреляции и детерминации и F-критериев Фишера наибольшие.

Если прогнозное значение среднедушевого прожиточного минимума увеличится на 10 % от его среднего значения (94,42 рублей), прогнозное значение заработной платы = 2,367.

Интервал прогноза: -15,4818 ≤ ŷ _р≤ 20,216

Оценим точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его  доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05

Стандартная ошибка прогноза:

M r_xy = √ (1 - r²_xy)/ (n - 2) =  0,055.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии  и корреляции рассчитывается t- критерий Стьюдента:

ta₀ = a₀/ma₀; ta₁ = a₁/ma₁;   tr_xy = r_xy/ M r_xy; t факт = S _ост/ σ²∙√n

ta₀ = 0,140, ta₁ = 2,987; tr_xy = 15,367.

Таким образом,  t a₀ < t _табл. (2,2281), значит, коэффициент не значим; ta_1, tr_xy > t _табл  - коэффициенты значимы.

Доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05:

γa₀ = a₀ ± ∆ a₀; γa₁ = a₁ ± ∆ a₁; ∆ a₀ = ma₀ ∙ t_табл; ∆ a₁ = ma₁ ∙ t_табл;

Получим -35,271 ≤ a₀≤ 39,993;         0,148 ≤ a₁≤ 1,017.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Задача 2. По 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов  x₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x₂ (%)

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти коэффициент множественной детерминации.

4. С помощью F -критерия Фишера и коэффициента детерминации R²_yx1x2 оценить статистическую надежность уравнения регрессии.

5. Найти также интервальные оценки параметров a₁, a₂ и показать значимость уравнения регрессии.

6. Оценить качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

7. Определить частные коэффициенты эластичности, β-коэффициенты и Δ-коэффициенты. Проанализировать, какой из факторных признаков оказывает наибольшее влияние на результативный признак.

8. Определить доверительный интервал прогноза.

9. Проверить результаты с помощью инструментов анализа данных Регрессия и Корреляция ППП Excel.

Таблица 8 Исходные данные для корреляционно-регрессионного анализа

Номер предприятия	y	x1	x2
1	9	6,3	21
2	11	6,4	22
3	11	7	24
4	12	7,5	25
5	12	7,9	28
6	13	8,2	30
7	13	8	30
8	13	8,6	31
9	14	9,5	33
10	14	9	36

Цель работы – овладеть методикой построения линейных моделей  множественной регрессии, оценки их существенности и значимости, расчетом показателей множественной регрессии и корреляции.

Таблица 9 Расчет параметров уравнения множественной регрессии

№	x1	x2	y	x12	x1x2	yx1	x22	yx2	ŷ
1	6,3	21	9	39,69	132,3	56,7	441	189	10,064
2	6,4	22	11	40,96	140,8	70,4	484	242	10,288
3	7	24	11	49	168	77	576	264	11,007
4	7,5	25	12	56,25	187,5	90	625	300	11,500
5	7,9	28	12	62,41	221,2	94,8	784	336	12,240
6	8,2	30	13	67,24	246	106,6	900	390	12,756
7	8	30	13	64	240	104	900	390	12,621
8	8,6	31	13	73,96	266,6	111,8	961	403	13,183
9	9,5	33	14	90,25	313,5	133	1089	462	14,103
10	9	36	14	81	324	126	1296	504	14,236
Итого:	78,4	280	122	624,76	2239,9	970,3	8056	3480	122
Среднее значение	7,84	28	12,2	62,476	223,99	97,03	805,6	348	12,2